22.2(4)平行四边形

第2课时平行四边形的判定定理2、31．掌握平行四边形的判定定理；(重点)2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)一、情境导入我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题．是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD ＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．探究点二：对角线相互平分的四边形是平行四边形如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO ＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠D，∠COA＝∠DOB，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F 分别是OC、OD的中点，∴OF＝12OD，OE＝12OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．探究点三：平行四边形的判定定理的应用【类型一】利用平行四边形的判定定理证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD 于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.解：DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】平行四边形的判定定理的综合运用如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)； (2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC ＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．三、板书设计1．平行四边形的判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理的应用在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．。

22.2平行四边形判定（2）博奥学校李振中自主学习一关于平行四边形的判定，小亮有如下发现。

小亮：我通过动手操作，用四根木棒，搭成右图所示的四边形，其中AB=CD，AD=BC。

提出猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

你能帮我证明一下吗？预设：虽然在第一课时有所提示平行四边形的问题往往转化成三角形问题来解决，部分学困生可能还是想不到，应视情况决定是否提示连接对角线。

1.自学内容：屏幕当中小亮提出的猜想。

2.自学要求：独立思考小亮提出的猜想，努力给出证明过程。

3.自学效果：理解平行四边形的判定定理“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的内容以及证明方法。

4.自学时间：3分钟5.检测：在练习本上完成证明过程。

让学生有个独立思考的过程，掌握知识探究的一般规律：动手操作、提出猜想、验证猜想、得出结论。

在掌握平行四边形识别条件的同时培养学生探究能力、推理能力及合作意识。

小组讨论自学时间到后，教师停止自学，组织学生小组讨论：1.以四人小组交流小亮猜想的证明过程。

2.由C号生发言，其他同学补充。

3.组长制定记录人以及发言人。

小组可能出现的疑惑预设：证明方法不唯一。

1.讨论主题：小组内交流小亮猜想的证明过程。

2.讨论要求：由C号生发言，其他同学补充。

3.讨论安排：组长制定记录人以及发言人。

交流每名学生的想法，求同存异。

交流展示先指定小组代表讲述他们组的证明方法，如果有纰漏其他组补充，而后教师给出证明过程。

解：连结BD，因为在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB；所以△ABD≌△CDB（SSS）；所以∠ABD=∠CDB, ∠ADB=∠CBD；所以AB//CD，AD//BC所以四边形ABCD是平行四边形.学生理解判定定理的证明过程，体会转化的数学思想让学生明确学习任务小结一两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

几何语言：∵ AB=CD，AD=BC；∴四边形ABCD为平行四边形齐读，理解，掌握。

数学八年级下 第二十二章 四边形22.1 多边形（1）一、选择题1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是 （ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．内角和等于外角和2倍的多边形是 （ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．凸n 边形的内角中，锐角的个数最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 （• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、各内角相等的n 边形的一个外角等于 （ ）A 、n n )2(1800-B 、n 0180C 、nn )2(3600- D 、n 0360 7、n 边形所有的对角线条数是 （ ）A 、2)1(-n nB 、2)2(-n nC 、22nD 、2)3(-n n 8、如果正n 边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n 的值是 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题9. 五边形的内角和等于_______度．10．六边形的内角和等于_______度．11．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．12．如图，你能数出 个不同的四边形。

第12题13、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。

∠A+∠B +∠C +∠D+∠E= ________+∠1+∠2=________度。

14、一个多边形的每一个外角等于300，则这个多边形为___________ 边形。

15、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度 。

16、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的内角和是___________ 。

第 1 页 共 1 页 22.2 平行四边形的判定（一）教学设计 八年级数学组主备人 任素英 授课人 任素英 教学目标： 1.经历平行四边形判定定理的探究过程 2.会用平行四边形的定义和判定定理证明一个四边形是平行四边形 教学重点：平行四边形判定方法的探究及平行四边形性质和判定的综合运用 教学难点：平行四边形性质和判定的综合运用 教学过程：

教学环节 教学活动 设计意图

温 故 知 新 1.平行四边形的定义是什么？ 2.填空： ∵AB___CD ,AD___BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 本节课采用复习引入的方式，以问题唤醒学生的回忆，引起学生的思考。让学生明确平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定。

交 流 预 习 验证 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,且AB=DC 求证：四边形ABCD是平行四边形 让学生自己动手、实验，亲历得到平行四边形判定定理这个知识的发生过程，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。

定理的验证是学生在老师的

ABCD

A B C D 第 2 页 共 2 页

互 助 探 究 得出结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言： ∵AD∥CB，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 4．总结 判定一个四边形是平行四边形的基本方法： 定 义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定 理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 展示一例题 引导下，通过思——说——写——议——讲——改六步完成的。使学生有一个不断的自我矫正过程,突出了重点。 学生板演，师生共同修改完善的过程是学生自我提升的过程，进一步体会几何证明的逻辑性和严密性。 总结判定一个四边形是平行四边形的方法，使学生的解题思路更加明确，培养学生归纳概括能力。 至此，完成第一个教学重点。 利用微课展示一例题，形象，直观。

分 层 闯关比赛 规则： 比赛共五关，题目难度逐渐加大，闯关过后有“ ”奖励！ 闯关结束统计各组成绩，评选优秀小组和优秀个人。 第一关：小试牛刀 对于新知识，学生由懂到会需要一个过程。课堂上设计一组层层递进的题目，使不同层次的学生都可以获得成功。 以计分的形式进行闯关比赛，学生很有兴趣，容易激起他们内心学习的欲望和竞争意识。 第一关是让学生巩固两种判定方法。（1）中可以填两种答案，提醒学生注意从不同的角度思考问题。 这里第一次出现一题多解，学生 第 3 页 共 3 页

22.2.2平行四边形（学生活动单）
班级： ___________ 姓名： ______________ 学号： ___________
课前复习：
平行四边形性质定理 1: __________________________________________
平行四边形性质定理 2: ___________________________________________
新课内容：
1、探究：平行四边形的性质（用直尺、量角器或圆规量一量）
2、验证：平行四边形的性质
3、小结：平行四边形的性质：
（1）平行四边形性质定理 3：如果一个四边形是 ______________________ ，那么这个四边形的 _________________________ 。

简述为：平行四边形的 ______________________________________ 符号语言：
特殊
线段
对称
性
已知如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AB//DC,证明： ______________________________ A D A D
4、例题:
例1、已知：如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, EF过点0且与边AB、CD分别相交于点E、F。

求证：0E=0F。

例2、已知：如图，在口ABCD中，E、F分别是BC、AD 上的点，且AE // CF。

求证：/ BAE= / DCF。

例3:已知□ ABC冲，△ B0G的周长比△ DOG的周长大2, □ ABCD勺周长为12,求口ABCD各边的长。

练习：（书74页）。

沪教版八年级下册数学知识点梳理复习提纲第二十章一次函数20.1 一次函数的概念一次函数的解析式一般形如 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0.一次函数的定义域是所有实数。

另外，我们把函数 y = c（c 为常数）称为常值函数。

20.2 一次函数的图像我们可以通过列表、描点、连线的方式绘制一次函数的图像。

一条直线与 y 轴的交点的纵坐标称为这条直线在 y 轴上的截距，简称直线的截距。

对于一般形式的直线 y = kx + b（k ≠ 0），其与 y 轴的交点坐标为 (0.b)，截距为 b。

一次函数 y = kx + b（b ≠ 0）的图像可以由正比例函数 y = kx 的图像平移得到。

当 b。

0 时，向上平移 b 个单位；当 b < 0 时，向下平移 |b| 个单位。

此外，一元一次不等式与一次函数之间存在一定的关系，具体可以通过图像来观察。

20.3 一次函数的性质一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）具有以下性质：当 k。

0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大；当 k < 0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小。

对于一般形式的直线 y = kx + b（k ≠ 0），其截距 b 的正负值以及 k 的正负值不同，会影响直线经过的象限。

具体可以通过图像来观察。

20.4 一次函数的应用我们可以利用一次函数及其图像来解决实际问题。

第二十一章代数方程21.1 一元整式方程一元整式方程的一般形式为 ax = 12（a 是正整数），其中x 是未知数，a 是已知数。

在项 ax 中，字母 a 是项的系数，我们把 a 叫做字母系数。

如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程就叫做一元整式方程。

如果经过整理后，一元整式方程中含未知数的项的最高次数是 n（n 是正整数），那么这方程就叫做一元 n 次方程。

其中，次数 n 大于 2 的方程统称为一元高次方程。

22.2 平行四边形一、课本巩固练习1、如图所示，ABCD 中，M,N,P,Q 分别为AB,BC,CD,DA 上的点，且AM=BN=CP=DQ,求证四边形MNPQ 为平行四边形。

2、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． 求证：四边形AFCE 是平行四边形。

思考：若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．二、基础过关一、判断题1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。

（ ）2.在四边形ABCD 中，如果AB=BC ，CD=AD,那么四边形ABCD 一定是平行四边形。

（ ）3.如果在四边形中，有一组对边平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形。

（ ）4.若在四边形中，一组对边相等，另一组对角相等，那么此四边形一定是平行四边形。

（ ）5.如果四边形的一条对角线把四边形分成两个全等的三角形，那么此四边形一定是平行四边形。

（ ）6. 有两组内角分别相等的四边形一定是平行四边形。

（ ）7．如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ．8、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

9. 如图，在Rt △ABC 中， ∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=AB 21,点E,F 分别为边BC ，AC 的中点。

1）求证：四边形AEFD 是平行四边形。

2）若BC=10cm,求DF 的长。

3）若BC=10cm ，且∠C=30°，求四边形AEFD 的面积。

10、已知：如图43-1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，∠EAF=60°，BE=2cm ，DF=3cm 。