四川省成都市2011年中考数学试卷—解析版
一、选择题：（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1、（2011?成都）4的平方根是（ ） A 、±16 B 、16 C 、±2 D 、2 考点：平方根。 专题：计算题。
分析：由于某数的两个平方根应该互为相反数，所以可用直接开平方法进行解答． 解答：解：∵4=（±2）2， ∴4的平方根是±2． 故选C ．
点评：本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2、（2011?成都）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 考点：简单几何体的三视图。 专题：应用题。
分析：题干图片为圆柱，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：圆柱的主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆形． 故选D ．
点评：本题考查了圆柱体的三视图，考查了学生的空间想象能了及解决问题的能力． 3、（2011?成都）在函数y =√1﹣2x 自变量x 的取值范围是（
）
A 、x
≤
12
B 、x ＜12
C 、x ≥
12
D 、x ＞12
考点：函数自变量的取值范围。 专题：计算题。
分析：让被开方数为非负数列式求值即可． 解答：解：由题意得：1﹣2x≥0， 解得x≤12
．
故选A ．
点评：考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：函数有意义，二次根式的被开方数为非负数． 4、（2011?成都）近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温．据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为万人，这一数据用科学记数法表示为（ ） A 、×104人 B 、×105人 C 、×104人 D 、×103人 考点：科学记数法—表示较大的数。 专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 解答：解：∵万=203000， ∴203000=×105； 故选B ．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5、（2011?成都）下列计算正确的是（ ） A 、x+x=x 2 B 、x?x=2x C 、（x 2）3=x 5 D 、x 3÷x=x 2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。 专题：计算题。
分析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可． 解答：解：A 、x+x=2x ，选项错误；B 、x?x=x 2，选项错误； C 、（x 2）3=x 6，选项错误；D 、正确． 故选D ．
点评：本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等多个运算性质，需同学们熟练掌握．6、（2011?成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（）
A、n2﹣4mk＜0
B、n2﹣4mk=0
C、n2﹣4mk＞0
D、n2﹣4mk≥0
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac直接得到答案．
解答：解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，
∴△=n2﹣4mk≥0，
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
7、（2011?成都）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（）
A、116°
B、32°
C、58°
D、64°
考点：圆周角定理。
专题：几何图形问题。
分析：根据圆周角定理求得、：∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知
∠BOD=180°﹣∠AOD，∴∠BCD=32°．
解答：解：连接OD．
∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，
∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD=32°；
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．
8、（2011?成都）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）
A、m＞0
B、n＜0
C、mn＜0
D、m﹣n＞0
考点：实数与数轴。
分析：从数轴可知数轴知m小于0，n大于0，从而很容易判断四个选项的正误．
解答：解：由已知可得n大于m，并从数轴知m小于0，n大于0，所以mn小于0，则A，B，D均错误．
故选C．
点评：本题考查了数轴上的实数大小的比较，先判断在数轴上mn的大小，n大于0，m小于0，从而问题得到解决．9、（2011?成都）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（）
A、6小时、6小时
B、6小时、4小时
C、4小时、4小时
D、4小时、6小时
考点：众数；条形统计图；中位数。
专题：常规题型。
分析：在这50人中，参加6个小时体育锻炼的人数最多，则众数为60；50人中锻炼时间处在第25和26位的都是6小时，则中位数为6．
解答：解：出现最多的是6小时，则众数为6；
按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．
故选A．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
10、（2011?成都）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A、相交
B、相切
C、相离
D、无法确定
考点：直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．
解答：解：设圆O的半径是r，则πr2=9π，∴r=3，
∵点0到直线l的距离为π，∵3＜π，即：r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当r=d时相切；当r＞d时相交．
二、填空题：（每小题4分，共16分）
11、（2010?济南）分解因式：x2+2x+1=（x+1）2．
考点：因式分解-运用公式法。
分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
解答：解：x2+2x+1=（x+1）2．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
12、（2011?成都）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC、BC的中点，若DE=4，则AB=8．
考点：三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：根据三角形的中位线定理得到AB=2DE，代入DE的长即可求出AB．
解答：解：∵D，E分别是边AC、BC的中点，∴AB=2DE，
∵DE=4，∴AB=8．
故答案为：8．
点评：本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．
13、（2011?成都）已知x=1是分式方程1
x+1=3k
x的根，则实数k=
1
6．
考点：分式方程的解。
分析：先将x的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求出k的值．
解答：解：将x=1代入1
x+1=3k
x得，
1
1+1=
3k
1，解得，k=
1
6．
故本题答案为：
1
6．
点评：本题主要考查分式方程的解法．
14、（2011?成都）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD
?
，则图中阴影部分的面积是
π
6．
考点：扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到AB=√2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=√2，
∴S扇形ABD=
30?π（√2）
2
360=
π
6．
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=
π
6．
故答案为：
π
6．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=
n?π?R2
360．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
三、解答题：（本大题共6个小题，共54分）
15、（2011?成都）（1）计算：002011
2cos3033(2010)(1)
π
+---+-．
（2）解不等式组：
20
3121
23
x
x x
+≥
?
?
-+
?
<
??
，并写出该不等式组的最小整数解．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解。
专题：计算题。
分析：（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂的性质即可解答本题，
（2）先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
解答：解：（1）原式=2×
√3
2+3﹣
√3×1﹣1=2；
（2）不等式组解集为﹣2＜x＜1，
其中整数解为﹣1，0，
故最小整数解是﹣1．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂的性质以及解不等式组，难度适中．
16、（2011?成都）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题。
专题：计算题；几何图形问题。
分析：易得∠A 的度数为60°，利用60°正切值可得BC 的值． 解答：解：由题意得∠A=60°，
∴BC=AB×tan60°=500×
√3=500m ． 答：该军舰行驶的路程为500√3m ．
点评：考查解直角三角形的应用；用∠A 的正切值表示出所求线段长是解决本题的关键． 17、（2011?成都）先化简，再求值：2
32(
)111
x x x x x x --÷+--，其中3
2x =． 考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算，最后把x 的值代入计算即可．
解答：解：原式=
3x （x ﹣1）﹣x （x+1）（x+1）（x ﹣1）×（x+1）（x ﹣1）
x ﹣2
=2x （x ﹣2）（x+1）（x ﹣1）×（x+1）（x ﹣1）x ﹣2
=2x ， 当x=√32时，原式=2×√3
2
=√3．
点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法． 18、（2011?成都）某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B 1、B 2、B 3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J 1、J 2、J 3表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签． （1）用树状图或列表法表示出所有可能的结构；
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B 1”的下表为“1”）均为奇数的概率． 考点：列表法与树状图法。 专题：数形结合。 分析：（1）分2步实验列举出所有情况即可；
（2）看小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：（1）
；
（2）共有9种情况，下标均为奇数的情况数有4种情况， 所以所求的概率为4
9
．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的情况数是解决本题的关键． 19、（2011?成都）如图，已知反比例函数)0(≠=
k x k y 的图象经过点P （2
1
，8）
，直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结OP 、OQ ，求△OPQ 的面积．
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：（1）把点（1
2
，8）代入反比例函数(0)k y k x
=
≠，确定反比例函数的解析式为y=4
x ；再把点Q （4，m ）代入反比例函数的解析式得到Q 的坐标，然后把Q 的坐标代入直线y=﹣x+b ，即可确定b 的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P 点坐标；对于y=﹣x+5，令y=0，求出A 点坐标，然后根据S △OPQ =S △AOB ﹣S △OBP ﹣S △OAQ 进行计算即可． 解答：解：（1）把点（1
2
，8）代入反比例函数(0)k y k x
=≠，得k=1
2?8=4， ∴反比例函数的解析式为y=4
x ；
又∵点Q （4，m ）在该反比例函数图象上， ∴4?m=4，
解得m=1，即Q 点的坐标为（4，1）， 而直线y=﹣x+b 经过点Q （4，1）， ∴1=﹣4+b ， 解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；
（2）联立{
y =﹣x +5
y =4x ，
解得{
x =4y =1或x=1y=4
， ∴P 点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5， ∴A 点坐标为（0，5），
∴S △OPQ =S △AOB ﹣S △OBP ﹣S △OAQ
=12?5?5﹣12?5?1﹣12
?5?1
=152
． 点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法（转化为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法． 20、（2011?成都）如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK=5
2KC ，求
CD
AB
的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE=1
2
AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1
n AD （n ＞2），而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。 专题：计算题；几何动点问题。 分析：（1）由已知得
CK BK =25，由CD ∥AB 可证△KCD ∽△KBA ，利用CD AB =CK
BK
求值； （2）AB=BC+CD ．作△ABD 的中位线，由中位线定理得EF ∥AB ∥CD ，可知G 为BC 的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE ，则EG=BG=1
2
BC ，而GF=12
CD ，EF=12
AB ，利用EF=EG+GF 求线段AB 、BC 、CD 三者之间的数量关系；
当AE=1n AD （n ＞2）时，EG=BG=1n BC ，而GF=1
n CD ，EF=n ﹣1
n AB ，EF=EG+GF 可得BC+CD=（n ﹣1）AB ． 解答：解：（1）∵BK=5
2KC ，∴CK BK =25，
又∵CD ∥AB ， ∴△KCD ∽△KBA ，∴
CD AB =CK BK =25
； （2）当BE 平分∠ABC ，AE=1
2
AD 时，AB=BC+CD ．
证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 与G 点，
由中位线定理，得EF ∥AB ∥CD ，∴G 为BC 的中点，∠GEB=∠EBA ， 又∠EBA=∠GBE ，∴∠GEB=∠GBE ， ∴EG=BG=12BC ，而GF=12CD ，EF=12
AB ， ∵EF=EG+GF ，∴AB=BC+CD ；
当AE=1
n AD （n ＞2）时，BC+CD=（n ﹣1）AB ．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律． 一、填空题：（每小题4分，共20分） 21、（2011?成都）在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，a ）在正比例函数y
=1
2
x 的图象上，则点Q （a ，3a ﹣5）
位于第 四 象限．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标。 专题：数形结合。
分析：把点P 坐标代入正比例函数解析式可得a 的值，进而根据点的Q 的横纵坐标的符号可得所在象限． 解答：解：∵点P （2，a ）在正比例函数y
=1
2
x 的图象上，
∴a=1，
∴a=1，3a ﹣5=﹣2，
∴点Q （a ，3a ﹣5）位于第四象限． 故答案为：四．
点评：考查一次函数图象上点的坐标特征；得到a 的值是解决本题的突破点． 22、（2011?成都）某校在“爱护地球，绿化祖图”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植
植树数量（单位：棵）
4
5 6 8 10 人数
30 22 25 15 8 名同学平均每人植树 棵；若该校共有名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是 5800 棵．
考点：用样本估计总体；加权平均数。 专题：数字问题。 分析：（1）根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． （2）根据总体平均数约等于样本平均数，用样本的平均数乘以总人数即可． 解答：解：平均数=（30×4+5×22+6×25+8×15+10×8）÷100=580÷100=棵， 植树总数=×1000=5800棵． 故答案为：，5800．
点评：本题考查的是加权平均数的求法．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可． 23、（2011?成都）设S 1
=1+
112+1
2
2，S 2=1+
122+1
3
2，S 3=1+
132+14
2，…，S n =1+1
n 2+
1
（n+1）
2．
设S
=√S 1+√S 2+?+
√S n ，则S=n 2+2n
n+1（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）
． 考点：二次根式的化简求值。 专题：计算题；规律型。 分析：由S n =1+1
n 2+
1
（n+1）
2=
n 2（n+1）2
+（n+1）2
+n 2n 2（n+1）
2
=
[n （n+1）]2
+2n 2+2n+1
[n （n+1）]
2
=
[n （n+1）+1]2
[n （n+1）]
2，求
√
S n ，得出一般规律．
解答：解：∵S n =1+1
n
2+
1
（n+1）
2=
n 2（n+1）2+（n+1）2
+n 2
n 2（n+1）
2
=
[n （n+1）]2
+2n 2+2n+1
[n （n+1）]
2
=
[n （n+1）+1]
2
[n （n+1）]
2，
∴√S n =n （n+1）+1n （n+1）
=1+1n ﹣1
n+1，
∴S=1+1﹣12+1+12﹣13+…+1+1n ﹣1n+1=n+1﹣1n+1=（n+1）2
﹣1n+1=n 2+2n
n+1
．
故答案为：n 2+2n
n+1
．
点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律． 24、（2011?成都）在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为 14﹣2√7（计算结果不取近似值）．
考点：翻折变换（折叠问题）。 专题：应用题。
分析：关键在于找到两个极端，即AT 取最大或最小值时，点M 或N 的位置．经实验不难发现，分别求出点M 与A 重合时，AT 取最大值6和当点N 与C 重合时，AT 的最小值8﹣2√7．所以可求线段AT 长度的最大值与最小值之和．
解答：解：当点M 与A 重合时，AT 取最大值是6，
当点N 与C 重合时，由勾股定理得此时AT 取最小值为8﹣√8
2
﹣62=8﹣2√7．
所以线段AT 长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2√7=14﹣2√7． 故答案为：14﹣2√7．
点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．
25、（2011?成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数y =
2k x
（k ≠0）满足：当x ＜0时，y 随x
的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y =﹣x +√3k 都经过点P ，且∣OP ∣=√7，则实数k=73
．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：由反比例函数y=2k
x 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，可判断k ＞0，设P （x ，y ），则P 点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy=2k ，x+y=√3k ，又OP 2=x 2+y 2，将已知条件代入，列方程求解． 解答：解：∵反比例函数y=2k
x 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＞0， 设P （x ，y ），则xy=2k ，x+y=√3k ， 又∵OP 2=x 2+y 2，
∴x 2+y 2=7，即（x+y ）2﹣2xy=7， （√3k ）2﹣4k=7， 解得k=73
或﹣1，而k ＞0， ∴k=73
． 故答案为：73
．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数、一次函数解析式，列方程组求解． 二、解答题：（本大题共3个小题，共30分） 26、（2011?成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）并求出这个最值；
（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l ）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
考点：二次函数的应用；相切两圆的性质。 专题：计算题；代数几何综合题。 分析：（1）表示出BC 的长120﹣2x ，由矩形的面积公式得出答案；
（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行． 解答：解：（1）∵AB=x ，∴BC=120﹣2x ， ∴S=x （120﹣2x ）=﹣2x 2+120x ；
当x=120
2×2=30时，S 有最大值为0﹣1202
4×（﹣2）
=1800；
（2）设圆的半径为r ，路面宽为a ， 根据题意得：{4r +2a =602r +2a =30
解得：{r =15a =0
∵路面宽至少要留够0.5米宽， ∴这个设计不可行．
点评：本题考查了二次函数的应用，题目中还涉及到了二元一次方程组及方案设计的相关知识，是一道难度适中的综合题． 27、（2011?成都）已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
（1）求证：AE=CK ； （2）如果AB=a ，AD=
1
3
a （a 为大于零的常数），求BK 的长： （3）若F 是EG 的中点，且DE=6，求⊙O 的半径和GH 的长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理。 专题：证明题；几何综合题。 分析：（1）根据ABCD 是矩形，求证△BKC ≌△ADE 即可；
（2）根据勾股定理求得AC 的长，再求证△BKC ∽△ABC ，利用其对应边成比例即可求得BK ．
（3）根据三角形中位线定理可求出EF ，再利用△AFD ≌△HBF 可求出HF ，然后即可求出GH ；利用射影定理求出AE ，再利△AED ∽△HEC 求证AE=13
AC ，然后即可求得AC 即可． 解答：（1）证明：∵四边形据ABCD 是矩形， ∴AD=BC ，
∵BK ⊥AC ，DH ∥KB ， ∴∠BKC=∠AED=90°， ∴△BKC ≌△ADE ， ∴AE=CK ； （2）∵AB=a ，AD=
1
3
a =BC ， ∴AC=√AB 2+BC 2=√a 2+（13
a ）2
=a
3
√10
∵BK ⊥AC ，
∴△BKC ∽△ABC ，
∴AC BC =BK AB ， ∴a 3√10
13
a =a
BK ，
∴√10BK=a ， ∴BK=
√10
10
a ．
（3）连接OF ， ∵ABCD 为矩形， ∴
EF ED =OF BC ，
∴EF=12ED=12
×6=3，
∵F 是EG 的中点， ∴GF=EF=3，
∵△AFD ≌△HBF ， ∴HF=FE=3+6=9， ∴GH=6，
∵DH ∥KB ，ABCD 为矩形， ∴AE 2=EF?ED=3×6=18， ∴AE=3√2， ∵△AED ∽△HEC ，
∴
AE EC =ED HE =12
， ∴AE=1
3
AC ，
∴AC=9√2， 则AO=
9√2
2
． 点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理，圆周角
定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目． 28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S|28、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为7√2若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：综合题。
分析：（1） 由已知设OA=m ，则OB=OC=5m ，AB=6m ，由△ABC =1
2
AB×OC=15，可求m 的值，确定A 、B 、C 三点坐标，由A 、B 两点坐标设抛物线交点式，将C 点坐标代入即可； （2）设E 点坐标为（m ，m 2﹣4m ﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m ﹣2）=EH ，列方程求解；
（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为y=x ﹣5，则直线y=x+9或直线y=x ﹣19与BC 的距离为7√2，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M 点的坐标即可． 解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|， 设OA=m ，则OB=OC=5m ，AB=6m ，
由△ABC =12AB×OC=15，得12
×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值）， ∴A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5）， 设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣5），将C 点坐标代入，得a=1， ∴抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣5）， 即y=x 2﹣4x ﹣5；
（2）设E 点坐标为（m ，m 2﹣4m ﹣5），抛物线对称轴为x=2，
由2（m ﹣2）=EH ，得2（m ﹣2）=﹣（m 2﹣4m ﹣5）或2（m ﹣2）
=m 2﹣4m ﹣5，
解得m=1±
√10或m=3±√10， ∵m ＞2，∴m=1+√10或m=3+√10，
边长EF=2（m ﹣2）=2√10﹣2或2√10+2； （3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为y=x ﹣5， 依题意，直线y=x+9或直线y=x ﹣19与BC 的距离为7√2，
联立{y =x +9y =x 2﹣4x ﹣5，{y =x ﹣19y =x 2﹣4x ﹣5
，
解得{
x =﹣2y =7
或{x =7y =16，
∴M 点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．
