06-07(2)高等数学试题(B)

五邑大学试卷学期： 2006 至 2007 学年度第 2 学期课程：高等数学(II)竞赛专业：姓名：完整学号：填空题。

（每小题4分，总计16分）1．设函数)(xf在0=x点处具有二阶连续导数，且(0)0f=，(0)1f'=，(0)2f''=-，则2()limxf x xx→-＝。

2．求sin xy x=的导数y'= 。

3．区域D：1,02x y≤≤≤，积分D＝.4．设11()n nnn u u s∞-=-=∑，且lim nnnu A→∞=，则nnu∞=∑＝.单项选择题，答案填入下表。

（每小题4分，总计24分）5．设21,0()1,0xexf x kxx x⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩在x＝0处连续，k＝( )（A）－1 （B）1（C）－2 （D）26．如果函数1()1xf xx+=-，则()()nf x＝( )（A）2!(1)nnx⋅-（B）12!(1)nnx+⋅-（C）1(1)2!(1)nnnx+-⋅⋅-（D）2(1)!(1)nnnx⋅-⋅-7．如果()f x dx c=⎰，则()f x＝( )（A）（B（C（D8．若22(,)f xy x y x y xy+=+-，则(,)f x yx∂∂＝( )（A）－1 （B）2y(C) 2(x＋y) (D) 2x9．设D是由曲线y y ＝x 围成，则x yDe dxdy ⎰⎰＝( )（A ）12e - （B ）2e （C ）12e+ （D ） 110．下列级数中，绝对收敛的是( )（A）11n n -∞= （B）1n ∞= （C ） 211cos 3n n n π∞=∑ （D ）11(1)21n n n n -∞=--∑解答题（每小题10分，总计60分）11．求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值与最小值。

12．过曲线2y x =（x ≥0）上某点A 作一条切线，使之与曲线及x 轴围成的图形的面积为112，求：(1) 切点A 的坐标；(2) 过切点A 的切线方程；(3) 由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V 。

江汉大学 2008——2009 学年第 2 学期一、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）1. =⎰4][dx x x ，其中][x 表示不超过x 的最大整数；2. 过点A(1,-2,3)且与平面2x +y -5z = 9垂直的直线的方程为 。

3. yxz arctan=, 则 =dz . 4. 设可微函数z = f (x 2-y 2 ,e xy ), 则xz∂∂= ，y z ∂∂= 。

5. 若⎰+=xdt t f x f 0)(21)(，则=)(x f .。

6. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n =_______________.7. 幂级数∑∞=+-0)1(3)1(n n nnx n 的收敛区域为 . 8. 若交换积分顺序，则=⎰⎰+-2212),(x x dy y x f dx。

9. 微分方程y ' =xyy x +的通解为 。

10. 微分方程 y"+y = x 的特解的形式可设为: 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 下列积分中，积分值为0的是（ ）.⎰-2 22cos .ππxdx x A ⎰202cos .πxdx x B ⎰-2 22sin .ππxdx x C ⎰2 02sin .πxdx x D2. 设f (x+y, x -y)=x 2 – y 2, 则=∂∂+∂∂yf x f （ ）。

(A) 2x –2y (B) 2x+2y(C) x+y (D) x-y3. 设),(y x f 在D 上连续，⎰⎰+=Ddxdy y x f x y x F ),(2),(，则=∂∂x F（ ）.A 2B ),(2y x f +C ),(2y x f x '+D ),(2y x f y '+ 4. 对于幂级数∑∞=13n n n x a ,有0lim1≠=+∞→a a a nn n , 则其收敛半径为( )A. aB. a 1C.3a D.31a5. 若21,y y 是某二阶线性齐次微分方程的解,则2211y c y c +是此方程的( )A.通解B.特解C. 解D. 全部解三、计算题（本大题共7小题，每题8分，共56分）1. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .2. 设z=z(x,y)是由方程z=f (x+y+z)所确定的隐函数, 其中f 具有二阶连续导数,求x z ∂∂,22x z∂∂3. 试求函数z = x 2 + y 2 在x + y = 1条件下的极值。

高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。

答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。

答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。

答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。

答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。

答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。

解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。

设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。

由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。

显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。

"高等数学"一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与以下那个函数不是等价的 〔 C 〕A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的〔 A 〕A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 以下各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有〔D 〕.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 以下各式正确的选项是〔B 〕A 〕、2ln 2x x x dx C =+⎰B 〕、sin cos tdt tC =-+⎰C 〕、2arctan 1dx dx x x =+⎰D 〕、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 以下等式不正确的选项是〔A 〕.A 〕、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B 〕、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C 〕、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D 〕、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 00ln(1)lim x x t dt x →+=⎰〔A 〕A 〕、0B 〕、1C 〕、2D 〕、47. 设bx x f sin )(=，那么=''⎰dx x f x )(〔C 〕A 〕、C bx bx b x +-sin cosB 〕、C bx bx bx +-cos cosC 〕、C bx bx bx +-sin cosD 〕、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx x a e f e dx f t dt =⎰⎰，那么〔D 〕 A 〕、1,0==b a B 〕、e b a ==,0C 〕、10,1==b a D 〕、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( A )A 〕、0B 〕、π2C 〕、1D 〕、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( A )A 〕、0B 〕、π2C 〕、1D 〕、22π11. 假设1)1(+=x x xf ，那么dx x f ⎰10)(为〔D 〕 A 〕、0 B 〕、1 C 〕、2ln 1-D 〕、2ln 12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，那么)(x F 是)(x f 的〔B 〕. A 〕、不定积分B 〕、一个原函数C 〕、全体原函数D 〕、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，那么dx dy=〔 D 〕 A 〕、11cos 2y - B 〕、11cos 2x - C 〕、22cos y - D 〕、22cos x- 14. )1ln(1lim 20x e x x x +-+→=( A ) A 21-B 2C 1D -1 15. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为〔 B 〕A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 假设⎰+=C e dx e x f x x 11)(，那么⎰=dx x f )( 4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在处有拐点三.判断题 1. x xy +-=11ln 是奇函数. 〔〕2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，那么()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( )3. 假设函数()f x 在0x 处极限存在，那么()f x 在0x 处连续. 〔〕4. 0sin 2xdx π=⎰. 〔 〕5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim 20x xx -→2. 求nx mxx sin sin lim π→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx x x 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分40⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，假设2)(=πf ，⎰=''+π05sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积"高等数学"答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A10. A11. D12. B13. D14. A15. B二.填空题 1. 21e2. 2π3. C x +14. 412x x +5. (0,0)三.判断题1. T2. F3. F4. T5. T四.解答题1. 82. 令,π-=x t nm n nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim0πππ 3. 根据零点存在定理.4. 1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰5. 令 t x =6，那么dt t dx t x 566,== 原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在， 7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ000sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx e x x x x πππππ "高等数学"试题2一.选择题1. 当0→x 时，以下函数不是无穷小量的是 〔 〕A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，那么当0→x 时,)(x f 是x 的〔 〕。