《高等数学B》(二)模拟试卷(12)2

《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）

一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。

2.求直线4

951135

--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。

二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y

z x z ∂∂∂∂,.

2. 设x e

u y x sin +=，求y x u x u ∂∂∂∂∂222,.

三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 计算

σd e x D y ⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .

2. 计算二重积分

⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面

区域.

四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 解微分方程

)(2y x e dx dy +=.

2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.

五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？

六、(9分) 证明级数

∑∞=+1)

1(1sin n n n 收敛.

七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解.

八、(9分) 把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.

《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）解答

一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B )0,3,1(-C .求该三角形的面积. 解 }1,1,1{=,}0,4,2{-=，因此 (2)

4211121-==∆k j i S ABC

145621==. …….……….…2+2+2 2. 求直线4

951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点.

解 把直线的参数方程 ⎪⎩

⎪⎨⎧+-=-=-=9411

55

3t z t y t x ………3 代入球面方程得

21=t ，32=t .故得交点为 )1,1,1(1-M ，)3,4,4(2-M . .. 5

二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y

z x z ∂∂∂∂,. 解 x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v

u v u ⋅+=2ln 2x y x xy y x 2)(ln )(2+++= (4)

y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x v u v u ⋅+=2ln 2y

y x xy y x 2)(ln )(2+++= . (4)

2. 设x e u y x sin +=，求y

x u x u ∂∂∂∂∂222,； 解 x e x e x u y x y x cos sin +++=∂∂，x e x

u y x cos 222+=∂∂ …….2+3 =∂∂∂y

x u 2x e x e y x y x cos sin +++ (3)

三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 计算σd e x D y

⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .

解 原式⎰⎰--=11112dx x dy e y ])1(1[31)(331

1--⋅-=-e e )1(32e e -=. ………4+2+2

2. 计算二重积分

⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.

解 ⎰⎰⎰⎰-=24020x D xdy dx xdxdy 384202

=-=⎰dx x x .……4+2+2

四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 解微分方程

)(2y x e dx

dy +=. 解 原方程可化为 dx e dy e x y 22=- …………3 两边积分得

⎰⎰=-dx e dy e x y 22…………2 解得

C e e x y =+-22 (C 为任意常数). (3)

2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.

解 特征方程为 0652=+-λλ 解得 3,221==λλ…………..2+3

所以该方程的通解为 x x C C y 3221+= (1C ,2C 为任意常数). (3)

五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？

解 依题意得 3002=+y x (1)

则拉格朗日函数为 )3002(005.0),(2-++=y x y x y x F λ (3)

(3)

解得 50,200==y x .

答：购进两种原料50,200==y x ，可使生产数量最多. (2)

六、(9分)证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=

+='=+='0

300202005.00

01.02y x F x F xy F y x λλλ收敛.

证明 因为 )1(1sin +n n )

1(1+≤n n ， (4)

又 ∑∞=+1)

1(1n n n 收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2