《高等数学B》(二)模拟试卷(12)2

《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。

2.求直线4951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。

二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求yz x z ∂∂∂∂,.2. 设x e u y x sin +=，求yx u x u ∂∂∂∂∂222,.三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 计算σd e x D y ⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .2. 计算二重积分⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.1. 解微分方程)(2y x e dx dy +=.2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？六、(9分) 证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n 收敛.七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解.八、(9分) 把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）解答1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B )0,3,1(-C .求该三角形的面积. 解 }1,1,1{=AB ,}0,4,2{-=AC ，因此 (2)04211121-=⨯=∆k j i S ABCρρρ145621==. …….……….…2+2+2 2. 求直线4951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点.解 把直线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=9411553t z t y t x ………3 代入球面方程得21=t ，32=t .故得交点为 )1,1,1(1-M ，)3,4,4(2-M . .. 5二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求yz x z ∂∂∂∂,. 解 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v u v u ⋅+=2ln 2x y x xy y x 2)(ln )(2+++= (4)y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x v u v u ⋅+=2ln 2yy x xy y x 2)(ln )(2+++= . (4)2. 设x e u y x sin +=，求yx u x u ∂∂∂∂∂222,；解 x e x e xu y x y x cos sin +++=∂∂，x e x u y x cos 222+=∂∂ …….2+3 =∂∂∂yx u 2x e x e y x y x cos sin +++ (3)三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 计算σd e x D y⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .解 原式⎰⎰--=11112dx x dy e y ])1(1[31)(3311--⋅-=-e e )1(32e e -=. ………4+2+22. 计算二重积分⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.解 ⎰⎰⎰⎰-=24020x D xdy dx xdxdy 384202=-=⎰dx x x .……4+2+2四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 解微分方程)(2y x e dxdy +=. 解 原方程可化为 dx e dy e x y 22=- …………3 两边积分得⎰⎰=-dx e dy e x y 22…………2 解得C e e x y =+-22 (C 为任意常数). (3)2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.解 特征方程为 0652=+-λλ 解得 3,221==λλ…………..2+3所以该方程的通解为 x x C C y 3221+= (1C ,2C 为任意常数). (3)五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？解 依题意得 3002=+y x (1)则拉格朗日函数为)3002(005.0),(2-++=y x y x y x F λ (3) (3)解得 50,200==y x .答：购进两种原料50,200==y x ，可使生产数量最多. (2)六、(9分)证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0300202005.0001.02y x F x F xy F y x λλλ收敛.证明 因为 )1(1sin+n n )1(1+≤n n ，…….…….4 又∑∞=+1)1(1n n n 收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2七、(9分) 求微分方程25x y y -=-''的通解.解 对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 21+=- (3)设原方程的一个特解为c bx ax y ++=*2， 代入得 225)(2x c bx ax a -=++-，解得 5=a ，0=b ，10=c ，所以原方程的一个特解为1052+=*x y . (3)故所给方程的通解为xx e C eC y Y y 21+=+=-*1052++x (1C ，2C 为任意常数). (3)八、(9分)把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数. 解 ΛΛΘ+++++=!!212n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x ………3 ΛΛ+++++=∴!!212422n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x ………3 因此 2)(x xe x f -=ΛΛ------=+!!21253n xx x x n ，),(∞+-∞∈x . (3)。

参考答案与提示第7章 向量代数与空间解析几何§7.1 空间直角坐标系1． (1)b=c=0; c=0; 0,0,0>>>c b a . (2)222c b a ++;22b a +; c .(3) )0,0,(a ;),,0(c b 2．)2,1,0(-§7.2 柱面与旋转曲面1．绕x 轴：22249()36x y z -+=是一个双叶双曲面 绕y 轴：2224()936x z y +-=是一个单叶双曲面 2(1)表示母线平行于z 轴，准线为xoy 平面上的椭圆22410x y z +=⎧⎨=⎩的椭圆柱面; (2)表示母线平行于x 轴，准线为yoz 平面上的双曲线2210y z x -=⎧⎨=⎩的双曲柱面; §7.3空间曲线及其在坐标面上的投影1．221168y x += 2. (1)222(1)90x y x z ++-=⎧⎨=⎩ (2)22360z x y +-=⎧⎨=⎩3．0,222=≤+z y x§7.4 二次曲面1．22224116()(1)()339x y z +++++=2433表示的是以(-,-1,-2．(1)表示椭球面; (2)表示单叶双曲面; (3)表示双叶双曲面; (4)表示椭圆抛物面; (5)表示圆锥面.§7.5 向量及其线性运算1.j 2;0);1,2,0(2．向量与x 轴、y 轴垂直，即垂直于xOy 面或 平行于z 轴. 32= ,21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα;3,43,32πγπβπα===,)21,22,21(021--=M M§7.6 数量积、向量积1．(1) 正确 (2) 错误 (3)正确 (4) 错误 (5) 正确(6) 错误 2．C 3．3(1)1(2)2--4．10 5．)2,2,3(171--±6.§7.7 平面与直线1．(1)37540x y z -+-= (2) 1,1,3-交点坐标为()(3) 1d = (4) 143215y x z +--==2．(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。

2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。

3．设函数在闭区域上连续，且，则。

4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。

5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。

（A ）（9，2，-3）。

（B ）（2，9，11）。

（C ）（2，11，13）。

（D ）（11，9，2）。

2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。

（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） 。

（B ） 。

（C ） 。

（A ） 。

5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）。

（B ）。

（C ）。

（D ）。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。

【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。

【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。

【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。

【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。

又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。

高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总 分23四14得分一、选择题（ 本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则 与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与 斜交C L 与 平行D L 落于 内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二 、 计算题（ 本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三 、 计算题（ 本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（ 本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得： 切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得： 切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

2018年4月全国网络统考资料《高等数学B》第2套模拟题及参考答案高等数学B2一．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A，认为不正确请选B。

?x?1,x?0,1．函数f?x???则f?0??1．2,x?0,?A．正确B．不正确2．极限lim3x?0．x?0A．正确B．不正确3．函数f?x??x?1在点3x?1处连续．A．正确B．不正确4．定积分?10x2dx??x2dx．10A．正确B．不正确二．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A，认为不正确请选B。

5．f?x??cosx在???,???内不是周期函数．A．正确B．不正确?3?lim6．极限x?1?1???2．?x?A．正确B．不正确7．设函数y?4x，则dy?4dx．A．正确B．不正确d2y8．设函数y?4，则2?4．dxA．正确B．不正确29．不定积分?2xdx?23x?C．3A. 正确B. 不正确10．dy?xy 是可分离变量的微分方程．dxA. 正确B. 不正确三．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．x2?1?( ) ．11．极限limx?1x?1A. 1B. 2C. 4D. 012．设函数y?e，则dy?（）．A．2edx B．edxC．2x2x2x12xedx D．exdx 2dy13．设函数y?xsinx，则．?（）dxA．sinx B．xcosxC．cosx D．sinx?xcosx14．设函数f?x??f?x?( ).A．在???,0?内单调增加,在?0,???内单调减少B．在???,0?内单调减少,在?0,???内单调增加C．在???,???单调增加D. 在???,???内单调减少15．ddx．???x?1?dx??（）A. xB. ?1C. x?1D. x?116．定积分?π20(cosx?2x)dx?（）．π2π2π2π2?1 D．1? A．?1? B．1? C．4444四．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．x17．不定积分?xd3?( ) ．xxA. x3??3dx B. x3x??3xln3dxxxxxC. x3??3dx D. x3?3ln3dx ?18．曲线y??x?3x?1的凸区间是（）．A．??2,?1? B．(?1,??) C．(??,?1) D．???,???19．定积分32?e-10ln(x?1)．x=（）x?1A．?11 B．0 C．e?1 D．22dycosx 的通解是（）．??dxcosy20．微分方程A．sinx?siny?C B．cosx?cosy?CC．sinx?siny?C D．cosx?cosy?C1．B 2．A5．B 6．B11．B 12．A17．C 18．B解答3．A 4．B 7．A 8．B 9．A 13．D 14．C 15．C 19．D 20．A ．A 16．D 10。

高等数学（B ）（1）模拟练习题一、选择题1.下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 2. 下列极限存在的为（ ） A. x x e 10lim → B. 121lim 0-→x x C. x x 1sin lim 0→ D.2)1(lim x x x x +∞→ 3. 在同一变化过程中，下列结论正确的是（ ）A. 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量B. 有界变量与无穷大量的乘积是无穷大量C. 无穷小量与无穷大量的乘积是有界变量D. 无穷大量与无穷大量的和为 无穷大量4. 在下列各式中，=)(0/x f ( ) A. x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 B.xx x f x f x ∆∆+-→∆)()(lim 000 C.x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000 D.xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim 000 5．根据定积分的几何意义计算，则dx x ⎰-1021 =（ ） A.π B.2π C. π2 D. 4π 二、填空题1.函数的表达形式有_________，____________ ，____________ .2.函数42sin 2-+=x x y 的定义域______________ .3.可导的函数是连续的，但连续函数__________________________.4.若连续函数y=f(x)的自变量x 从x 0的左邻域变到x 0的右邻域时，()f x '的符号由负变为正，则x=x 0是函数y=f(x)的____________点.5 .=-⎰-dx x x x 332)sin 4(_________.三、判断题1.函数)1sin()(2x x f +=是偶函数 （ ）2．1sin lim =∞→xx x （ ） 3．函数)(x f 在0x 有定义，则函数在0x 点一定可导。

一、选择题（每小题3分共15分）1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).(A) x 2a +c ； (B) a a xln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.2. F(x)= dt te 1x t⎰--, 则 F'(x)= ( ).(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.3. ⎰10xdx ( ) ⎰102dx x .(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.4. 级数∑∞=+-1n n1n n )1( () .(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.1 (B)；2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰badx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞=1n nna 也收敛. ( ).4. 级数∑∞=13sin 2n n n π收敛. ( ).5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )y ,x (f ∂∂∂=x y )y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.( ).7. ⎰π-02xdx sin <⎰π20xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).三、填空题（每小题3分共18分）1.dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1123)3(= -2 .3. 0x lim →x tdtcos x02⎰ = 1 .4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1-.5. 级数∑∞=-1n n)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.解： ∵ (x)...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 21dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n nx 2n 1-∞=∑的收敛半径，并求和函数解：收敛半径R=n )1n (n 2n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 21-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2/x 1121x0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 21)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。

高等数学B(2)题库精选-(1)第5章1、若1x m e dx =⎰，11en dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ a ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定2、设I 1=⎰1xdx ，I 2=⎰212dx x ，则[ d]A ． I 1≥I 2B ．I 1>I 2C ．I 1≤I 2D ．I 1<I 23、设dtt x F x⎰=12sin )(则)(x F ' = 【a 】:A x 2sin :B x2cos:C x2sin 2 :D x 2cos 2 4、=-⎰-dx x 0111【 a 】:A 2ln:B 2ln 2:C 2ln 21:D2ln 215、⎰+xxdt t dx dln 2)1ln(=( b )(A) )21ln(2)ln 1ln(1x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1x x x +-+ (C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+6、[]202sin lim xx t dt x→=⎰aA ．21 B ．31C ．0D ．1 7、定积分dxx x ⎰-2223}1,,max {等于( c )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）12978、定积分 dx xx ⎰++121)1ln( =（ ） （A ） 1 （B ） 2π（C ） 2ln （D ）2ln 8π9、下述结论错误的是 （ ）(A ) dxx x ⎰+∞+021 发散 ( B )dx x ⎰+∞+0211收敛(C ) 012=⎰+∞+∞-dx x x ( D )dx x x ⎰+∞+∞-21发散1、 比较大小, 321x dx⎰331x dx⎰.2、11.limln(1_______;x x dt =3、设2()sin xf x t dt =⎰,则()f x '= .4、设21cos ()t xf x e dt-=⎰,则()f x '= .5、=+⎰dx x )32(10____________________________6、=+⎰dx x )43(21____________________________7、 311dx x +∞=⎰.8、广义积分⎰∞+2)(ln kx x dx ，当______k 时收敛，广义积分⎰-b aka x dx )(当_______k 时敛。

高等数学B(二)复习题一、填空题：（定义，性质）向量x 与向量(2,1,2)a =-共线，且18a x ⋅=- ，则向量x = （-4,2,-4）,2．向量(1,0,)x m = 与向量(2,3,1)a =垂直，则m = -2(1)交换积分次序:=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy .一、填空题1.选择:(1)设平面区域(){}(){}0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( ). (A)⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f . (B)⎰⎰⎰⎰=14D Dxydxdy xydxdy.(C)14DD =. (D)⎰⎰⎰⎰=14D Dxdxdy xdxdy .(2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+⎰⎰Ddxdy y x xy )sin cos (( ).(A)⎰⎰1sin cos2Dydxdyx. (B)⎰⎰12Dxydxdy.(C)⎰⎰+1)sin cos( 4Ddxdyyxxy. (D)0.三、计算题（计算公式-求导数，复合函数偏导数，隐函数偏导数，求微分，二重积分，曲线积分，格林公式，幂级数的和函数，函数展开成幂级数）四、应用题：（求直线，平面方程，求曲线的切线和法平面，求曲面的切平面和法线方程；求无条件极值，条件极值，最值；格林公式及与路径无关的四个等价条件）3、 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体. ？ 解： 设(,,)x y z 为长方体在第一卦限内的顶点体积为：8v xyz = 且2222x y z a ++=令2222(,,,)8()F x y z xyz x y z a λλ=+++-求解2222820820820Fyz x x F xz y y Fxy z z x y z aλλλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪++=⎩，得：x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩故内接于半径为a 的球的长方体的最大体积为38a五、证明题：（二重积分，与路径无关四个等价条件，证明极限不存在）填空，计算，应用练习题一）填空题（本题总分25分，每小题5分）.2．向量x 与向量(2,1,2)a =-共线，且18a x ⋅=- ，则向量x = （-4,2,-4）,2．向量(1,0,)x m = 与向量(2,3,1)a =垂直，则m = -21．设2222(,),(,)f x y x y x y x y ϕ=+=-，则2[(,),]__________f x y y ϕ=. 2．1_________y x y →→=.3．将二次积分⎰⎰-1011),(x dy y x f dx 交换积分次序后得 .4．将()x f x e =展开成x 的幂级数为x e =__________.答:（1）422422x x y y -+ （2） ln 2 (3) 1101(,)ydy f x y dx -⎰⎰(4) 212!!nxx x e x n =+++++ 1．已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，则(,,)f x y x y xy +-=______________. 2．(0,2)sin()limxy x →（x,y）=_____________.3．若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=_____________________.4．曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为______________. （1）2()()xy x x y xy ++ （2） 2 (3) 0 (4) 245x y z +-=1．函数2222y xz y x +=-在_____22y x =_____间断.2．00x y →→=_____14-3．估计积分22sin sin DI x yd σ=⎰⎰的值，其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，则____I ≤≤. (3) 20π≤≤I4．某级数的前n 项和1n ns n =+，则它的一般项____n u =，其和____s =. (4)21;1n u s n n ==+ 1．函数z =的定义域为____________________. 2．00x y →→3．=⎰⎰dxdy D1_____________（其中D 为122=+y x 围成的区域）.4．若lim 0n n u →∞≠或不存在，则1n n u ∞=∑________________.答：（1）20y x ≤≤ （2） 2 (3) π (4)发散 1.函数arcsin2x yz +=的定义域为 . {}(,)|22x y x y -≤+≤ 2. 级数1n n u ∞=∑收敛，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1()n n n u v ∞=+∑_____________. 发散三、计算下列积分 1．设(2)y z x =，求(1,1)z x ∂∂，(1,1)zy ∂∂.2．已知z =，求dz .3．设20,zx y z x∂++-=∂求. 解：（1）11(2)22(2)y y z y x y x x --∂=⋅=∂(2)ln(2)y z x x y∂=⋅∂22ln 2(1,1)(1,1)zzx y ∂∂==⋅∂∂（2）z x ∂=∂z y∂=∂)z z dz dx dy xdx ydy x y ∂∂=+=-∂∂（3）法一)对所给的方程两边对x 求导1)0z z z x x x ∂∂+-+⋅=∂∂则zx ∂=∂（其中0≠）法二) F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz , X F =1-xyzyz , X F =1-xyzxy=-=∂∂ZX F F x z6. 已知()22,xy z f x y e =-（其中f 具有一阶连续偏导数），求,z zx y∂∂∂∂. 解：6. 设 22,xyu x y v e =-= 则''2xy u v zxf ye f x ∂=+∂ ''2xy u v z yf xe f y∂=-+∂1．已知ln(z x =+求2z x y∂∂∂.2．设23z x y =，当2,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=-时，计算dz . 3．设函数(,)z z x y =由方程(1)ln 10xz z y e ++-=确定，求(1,1,0)z y∂∂.解：（1）z x∂=∂2z x y ∂=∂∂ （2）z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 且32223zzxy x y xy∂∂==∂∂ 当2,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=-时0.2dz =-（3）对所给的方程对y 求导得1l n (1)0xz z z y z e x y y y∂∂⋅++⋅+⋅⋅=∂∂ 当1,1,0x y z ===时，上式中1(1,1,0)zy ∂=-∂三、计算下列积分（本题总分16分，每小题8分）.1．计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是以原点为圆心，a 为半径的上半圆的区域.2．计算曲线积分22(6)(32)Ly xy dx x xy dy +++⎰，L 是从点（0，0）沿3y x =到点(1,1)A 的一段弧.解：（1）用极坐标系来求此积分值{(,)0,0}D a ρθθπρ=≤≤≤≤cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 0[cos ]aDxdxdy d d πρθρρθ=⎰⎰⎰⎰20cos 0ad d πθθρρ=⋅=⎰⎰（2）26P y x y ∂=+∂ 26Q y x x ∂=+∂ P Qy x ∂∂=∂∂(,),(,)P x y Q x y 具有一阶连续偏导数, 故此曲线积分与路径无关则22(6)(32)Ly xy dx x xy dy +++⎰2210(6)(32)(32)4oB BAy xy dx x xy dyy dy +=+++=+=⎰⎰1． 计算Dxyd σ⎰⎰，其中D是由两条抛物线2y y x ==所围成的区域.答：2{(,)01,D x y x x y =≤≤≤≤21xDxydxdy dx ∴=⎰⎰⎰14011()212x x x dx =-=⎰ 1．计算1120sin xI dx y dy =⎰⎰，解：（x 型求不出，先交换积分次序再计算积分.） {(,)01,1}D x y x x y =≤≤≤≤ 先取x 后取y 的次序 ，则{(,)0,01}D x y x y y =≤≤≤≤故有120sin ydy y dx =⎰⎰I1201220sin (0)11sin ()(1cos1)22y y dyy d y =-==-⎰⎰1. 求⎰⎰Ddxdy yx 22,其中D: 由x=2,y=x,xy=1围成. 解：1. I=dy yx dx xx ⎰⎰21122I= 492.求⎰+Lds y x 22 ,其中L 为圆周ax y x =+22 (a >0).解：2. L 参数方程为θθsin 2,cos 22ay a a x =+=I=θθπd aa 2)cos 1(2202⎰+ = 22a1. 计算()()2,321,12xydx x dy +⎰.解：. 22,,2P Q P xy Q x x y x∂∂==∴==∂∂，即曲线积分与路径无关。

高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰ 14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、(33-22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)nnn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110-29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++ 34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xxx exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x++⎰4、求定积分 21ln x xdx ⎰ 解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．已知复数z 满足()i 4i 2i 1z -=+，则z =（）AB C ．5D【正确答案】B【分析】根据复数的乘除运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】由已知得i i 2z =+,所以2ii(2iz +==-i)12i +=-,所以||z ==故选：B.2．已知集合2101x A xx ⎧⎫+=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x mx =≥，若A B A ⋃=，且0m ≤，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．(]1,0-C ．()1,0-D ．(]1,1,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】先求出集合A ，然后根据A B A ⋃=的关系，结合0m ≤进行分析即可.【详解】因为()()211021101210x x x x x x ⎧++≥+≥⇒⇒≥-⎨++≠⎩或1x <-，所以1{|2A x x =≥-或}1x <-，由0m ≤，所以当0m =时，{}{}101B x mx x =≥=≥不成立，所以集合B 为空集，A B A ⋃=满足题意，当0m <时，{}11B x mx x x m ⎧⎫=≥=≤⎨⎬⎩⎭，由A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以有1101m m-⇒>-，综上所述实数m 的取值范围是(]1,0-，故选：B.3．命题p：1x ∀>230x ->，命题q ：x ∃∈R ，22430x x -+=，则（）A ．p 真q 真B ．p 假q 假C ．p 假q 真D ．p 真q 假【正确答案】D【分析】对于命题p ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q ：根据存在命题结合二次函数的∆判别式分析判断.【详解】对于命题p ：令1t =>，则222323y t t t t =+-=+-开口向上，对称轴为14t =-，且1|0x y ==，则2230y t t =+->，所以1x ∀>230x ->，即命题p 为真命题；对于命题q ：因为()2442380∆=--⨯⨯=-<，所以方程22430x x -+=无解，即命题q 为假命题；故选：D.4．已知函数()13212xxf x +⨯=+，则下列函数为奇函数的是（）A ．()1f x -B ．()2f x -C ．()2f x -D ．()2f x +【正确答案】B【分析】根据对称性分析可得函数()f x 有且仅有一个对称中心()0,2，结合图象变换分析判断.【详解】由题意可得：()132231212x x xf x +⨯==-++，因为()()2212336212121222x a x a x a xx a f a x f a x +-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222262212222a x x a a a x x a++=+⨯+⨯++-+，若()()()22222222622221a x x a a x x aa f a x f a x +++⨯++-=-+++⨯+为定值，则2212a +=，解得0a =，此时()()4f x f x +-=，所以函数()f x 有且仅有一个对称中心()0,2.对于选项A ：()1f x -有且仅有一个对称中心为()0,1，不合题意，故A 错误；对于选项B ：()2f x -有且仅有一个对称中心为()0,0，符合题意，故B 正确；对于选项C ：()2f x -有且仅有一个对称中心为()2,2，不合题意，故C 错误；对于选项D ：()2f x +有且仅有一个对称中心为()2,2-，不合题意，故D 错误；故选：B.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为BD 的中点，点F 为11B C 的中点，则直线BF 与1D E 所成角的正弦值为（）A ．6B ．6C D ．12【正确答案】A【分析】取11A D 的中点G ,AD 的中点H ,连接1,,AG D H HE ，通过平行转化异面直线夹角，再利用勾股定理和三角函数即可得到其正弦值.【详解】如图,取11A D 的中点G ,AD 的中点H ,连接1,,,AG D H HE GF ,则易得11//,AH D G AH D G =，则四边形1AGD H 是平行四边形，所以1//AG D H ,因为1111//,AB A B AB A B =，1111//,GF A B GF A B =，所以//,AB GF AB GF =，所以四边形GABF 为平行四边形，所以//AG BF ，所以//BF 1D H ，所以1HD E ∠即为直线BF 与1D E 所成的角(或其补角).设止方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则111,2HE AB D E =====,1D H ==所以22211HD HE D E +=,所以1HE D H ⊥,所以11sin6HEHD ED E∠==.故选：A.6．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京石开.会议期间，5男3女共8位代表相约在人民大会堂前站成一排合影，若女代表中恰有2人相邻，且男代表甲不站在两端，则不同的站位方法共有（）A．7920种B．9360种C．15840种D．18720种【正确答案】C【分析】先计算总情况数，再计算男代表站两端的情况数，最后相减即可.【详解】8人站成一排,女代表中恰有2人相邻的站位方法有225213256C A A A21600N==种,其中男代表甲站在两端的方法有12242223245C C A A A5760N==种,故所求的站位方法共有1221600576015840N N N=-=-=种.故选：C.7．释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔AB的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点M，并垂直竖立一高度为1m的标杆MN，从点N处测得木塔顶端A的仰角为60°，再沿BM 方向前进92m到达C点，并垂直竖立一高度为2.5m的标杆CD，再沿BC方向前进2m到达点E处，此时恰好发现点A，D在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离 1.5mEF=，则小张用此法测得的释迦塔的高度AB1.732≈）（）A ．64.5mB ．67.8mC ．70.2mD ．72.4m【正确答案】B【分析】过点N 作NQ AB ⊥于点Q ,过点F 作FP AB ⊥于点P ,交CD 于点G ,利用特殊角的三角函数值以及三角形相似即可得到答案.【详解】如图,过点N 作NQ AB ⊥于点Q ,过点F 作FP AB ⊥于点P ,交CD 于点G,则四边形BMNQ ,BCGP ,BEFQ 都是矩形,所以1m,, 1.5m,2m BQ MN BM QN BP CG EF FG CE ========,所以 2.5 1.51m DG CD EF =-=-=.在Rt AQN △中,1tan tan 60AQ AB QN ANQ ︒-===∠3,所以943FP BM MC CE =+++,由已知得DFG AFP ∽,所以FG FPDG AP=,即94231 1.5AB +=解得58195311AB +=≈58195 1.73267.8m11+⨯≈.故选：B.8．若函数()()πsin πx x f x x -=-，则()f x 极值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】首先根据得到()f x 的图象关于直线2x π=对称，再对其求导，得到其在(,)π+∞上单调性，再对导函数进行求导得到其单调性和零点，从而得到原函数的极值点.【详解】由题得()21sin (ππx f x x x x =-+=-2πsin 24x π⎫+-⎪⎭,因为sin y x =与21ππ2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4π-的图象均关于直线π2x =对称,所以()f x 的图象也关于直线π2x =对称,又()2cos 1πf x x x -+'=,且当πx >时,211πx ->,所以()1cos f x x +'>≥0,即()0f x '>,所以()f x 在()π,∞+上单调递增.令()()2cos 1πh x f x x x -'==+,则()sin h x x '=-+2π,又()()π2210,π0,2ππh h h x ''⎛⎫=- ⎪⎝'=⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以0π,π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()0h x '0=,所以当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0,()h x h x <'单调递减;当()0,πx x ∈时,()0,()h x h x >'单调递增,又()ππ02h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上,()0h x <,即()0,()'<f x f x 单调递减.由()f x 图象的对称性可知,在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上,()0,()'>f x f x 单调递增,在(,0)-∞上,()0,()'<f x f x 单调递减,又(0)f '=()π02f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭'',所以()f x 极值点的个数为3.故选：C.关键点睛：本题的关键是利用多次求导和零点存在定理得到导函数存在三个零点，再根据导函数的变号性从而得到其极值点个数.二、多选题9．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y （单位：千辆）与月份x 的统计数据.月份x 12345销量y55m68现已求得y 与x 的经验回归方程为 0.6 4.2y x =+，则（）A ．6m =B ．y 与x 正相关C ．y 与x 的样本相关系数一定小于1D ．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆【正确答案】ABC【分析】A 选项利用样本中心()x y 在回归直线上即可；利用线性回归方程判断选项B 、C ；把7x =代入线性回归方程求解判断选项D.【详解】由1234535x ++++==，55682455m my +++++==，代入 0.6 4.2y x =+中有：620.632544.mm =⨯+⇒=+，故A 正确；由线性回归系数ˆ0.60b=>，所以y 与x 正相关，故B 正确；由样本点不全在线性回归方程上，则y 与x 的样本相关系数一定小于1，故C 正确，将7x =代入线性回归方程 0.6 4.2y x =+中得： 0.67 4.28.4y =⨯+=，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D 不正确，故选：ABC.10．把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式可以为（）A ．()2cos2f x x =-B ．()2π2cos 33f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()125πcos 236f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】BD【分析】通过往回倒推，将函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,向左平移12π个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式()2π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用诱导公式一一对照化简即可.【详解】把函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,向左平移12π个单位长度,得到πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y =π2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象,最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到()2π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.而()2π3π2π24π2sin 2cos 2cos 3623633f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π2π2cos π2cos 3333x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：BD.11．已知正三棱锥-P ABC 的侧面均为等腰直角三角形，动点E 在其内切球上，动点F 在其外接球上，且线段EF 长度的最小值为3，设该正三棱锥内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则（）A ．1O ，2O ，P 三点共线B ．1PO ⊥平面ABCC ．正三棱锥-P ABC 外接球的体积为π2D ．正三棱锥-P ABC 内切球的表面积为(6π-【正确答案】ABC【分析】对A ，将正三棱锥补成长方体，利用空间向量法证明线面垂直，从而判定AB 选项，利用正方体外接球公式和等体积法结合EF 的最值即可求出内外接球半径，即可判断CD.【详解】由已知将正三棱锥-P ABC 补成正方体,如图所示.设内切球1O 与平面ABC 的切点为G ,因为1O 为正三棱锥-P ABC 内切球的球心,2O 为正三棱锥-P ABC 外接球的球心,而球1O 与正ABC 相切于中心G ，于是12,,,P O O G 四点均在1PD 上，A 正确；设正方体棱长为1，以点P 为坐标原点，,,PA PB PC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ,()0,1,0B ,()0,0,1C ,()11,1,1D ，()()1,1,0,0,1,1AB BC =-=- ，()11,1,1PD =，因为110,0PD AB PD BC ⋅=⋅=，则11,PD AB PD BC ⊥⊥，又因为,AB BC ⊂平面ABC ，且AB BC B ⋂=所以1PD ⊥平面ABC ,故1PO ⊥平面ABC ，B 正确;设正方体的棱长为a ,内切球的半径为r ,外接球的半径为R ,则2R a =,由等体积法可得()1133ACPBCPABPABCABPS SSSr S PC +++=⋅,整理得r =,由等体积法可得1133ABC ABPSPG S PC ⋅=⋅,整理得PG =.将几何体沿截面1PDD C 切开,得到如图所示的截面,大圆为外接球2O 的最大截面,小圆为内切球1O 的最大截面,所以E ,F 两点间距离的最小值为323PG r -=-332333333--==,解得3a =,所以R =333322r =,所以正三棱锥-P ABC 外接球的体积343ππ32V R ==,C 正确;正三棱锥-P ABC 内切球的表面积(24π1263πS r ==-,D 错误.故选：ABC.12．已知函数()()22,02ln 11,0x x t x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若函数()()y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是（）A ．3-B ．2-C ．0D ．2【正确答案】BC【分析】令()u f x =，则()y f u =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求u 的值，再求x 的值，结合函数图象分析运算.【详解】由题意可知：当0x ≤时，()f x 在(],0-∞上单调递减，则()()0f x f t ≥=；当0x >时，()f x 在()0,∞+上单调递增，则()2ln111f x >-=-；若函数()()y f f x =恰好有4个不同的零点，令()u f x =，则()y f u =有两个零点，可得：当0u >时，则()2ln 110u +-=，解得e 10u =>；当0u <时，则220u u t -+=，可得011t u t ≤⎧⎪⎨=--⎪⎩；可得()1f x =和()1f x =即()y f x =与1y =-、1y =-均有两个交点，不论t 与1-的大小关系，则111t->--≥，且111t ⎧>-⎪⎨⎪⎩，解得30t -<≤，综上所述：实数t 的取值范围为(]3,0-.且(](](](]33,0,23,0,03,0,23,0-∉--∈-∈-∉-，故A 、D 错误，B 、C 正确.故选：BC.方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．三、填空题13．在正方形ABCD 中，已知()1,1AB = ，(),BC x y =，则222x y +的值为______.【正确答案】3【分析】ABCD 是正方形,再应用垂直及模长列式求解即可.【详解】ABCD 是正方形,AB BC ∴⊥,0,AB BC x y ∴⋅=+=AB BC ∴=,22,2AB BC x y ∴==∴+= ,22222,x y y ∴+==222222132x y x y y +=+=+=+,故答案为:3.14．已知双曲线()22:10y C x m m-=->的上、下焦点分别为1F ，2F ，C 的一条渐近线过点()3,9，点M 在C 上，且15MF =，则2MF =______.【正确答案】11【分析】将双曲线C 化为标准方程，求出该双曲线的渐近线方程，再利用已知条件求出m 的值，最后利用双曲线的定义求出2MF 即可.【详解】由()22:10y C x m m-=->得双曲线的标准方程为：()2210y x m m-=>，所以1a b ==，所以双曲线的渐近线方程为：ay x b=±=，又C 的一条渐近线过点()3,9，所以93a =⇒=，因为点M 在C 上，1F ，2F 为双曲线的上、下焦点，所以2126MF MF a -==，由15MF =，所以256MF -=，所以211MF =或21MF =-（舍去），故11.15．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为______.【正确答案】47【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算.【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为X ，则X 的可能取值为：0，1，2，可得：()()()21123434222777C C C C 1420,1,2C 7C 7C 7P X P X PX =========，所以最后抽取到的题为多选题的概率为()()()43214432240125557575757P P X P X P X ==⨯+=⨯+=⨯=⨯+⨯+⨯=.故答案为.4716．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为圆2222:O x y a b +=-与C 的一个公共点，若12MF m MF =，则当144m ≤≤时，椭圆C 的离心率的取值范围为______.【正确答案】25⎤⎥⎣⎦【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得22112b a m m=++，结合对勾函数求其范围，进而可得离心率的范围.【详解】设椭圆C 的半焦距为0c >，则圆22222:O x y a c b =-=+，表示以()0,0O ，半径为c 的圆，若圆O 与椭圆C 有公共点，则c b ≥，可得2222c b a c ≥=-，解得e ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，因为122MF MF a +=，且()2222121212122MF MF MF MF MF MF F F +=+-⋅=，可得2212424a MF MF c -⋅=，整理得2122MF MF b ⋅=，又因为12MF m MF =，即12MF m MF =，且122MF MF a +=，则222m MF MF a +=，解得221aMF m=+，可得222122221a MF MF m MF m b m ⎛⎫⋅=== ⎪+⎝⎭，整理得()22222112b m a m m m==+++，因为()12f m m m =++在1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]1,4上单调递增，且()()12514,444f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，可得()12524,4f m m m ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则22281,12522b a m m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦++，可得222171,25b e a ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：椭圆C 的离心率的取值范围为217,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.217,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．四、解答题17．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，政府积极引导某村农户因地制宜种植某种经济作物，该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了解该类经济作物在该村的种植效益，该村引进了甲、乙两个品种，现随机抽取了这两个不同品种的经济作物各100份（每份1千克）作为样本进行检测，检测结果如下表所示：（同一区间的数据取该区间的中点值作代表）分别记甲、乙品种质量指标值的样本平均数为x 和y ，样本方差为21s 和22s .(1)现已求得60y =，21324.64s =，试求x 及22s ，并比较样本平均数与方差的大小；(2)该经济作物按其质量指标值划分等级如下表：质量指标值[)0,40[)40,80[]80,100作物等级二级一级特级利润（元/千克）102050现利用样本估计总体，试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多.【正确答案】(1)65.6x =，22292s =，2212x y s s >>(2)种植甲品种的经济作物获得的利润更高.【分析】（1）利用平均数和方差公式计算出x 和22s ，比较大小即可；（2）分别计算甲、乙品种利润的样本平均数，再进行比较大小即可》【详解】（1）1(102306502470489020)65.6100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,2222222(1060)0.02(3060)0.08(5060)0.38(7060)0.42(9060)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯292.=又因为2160,324.64y s ==所以2212,x y s s >>.（2）分别记甲、乙两品种利润的样本平均数为,X Y ,则1(81072202050)25.2100X =⨯⨯+⨯+⨯=(元),1(101080201050)22100Y =⨯⨯+⨯+⨯=(元),所以X Y >,所以从样本利润平均数的角度看种植甲品种的经济作物获得的利润更高.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos sin sin sin a A C B a A b A C a --=-.(1)求A ；(2)已知ABC 的外接圆半径为4，若b c λ+有最大值，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)π3A =(2)()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意利用利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；（2）根据题意利用利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算化简得()84sin b c C C λλ+=++，分类讨论84λ+的符号，结合辅助角公式分析运算.【详解】（1）因为()2cos cos sin sin sin a A C B a A b A C a --=-，由正弦定理可得()3sin cos cos sin sin sin sin sin A A C B A B A C A --=-，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得()2cos cos sin sin sin 1A C B A B C --=-，则()()()22sin sin cos cos 1sin cos cos cos B C A C B A A C B A =-+-=-+()()()cos cos cos cos cos cos A C B A A C B C B ⎡⎤⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎣⎦2cos sin sin A B C =，又因为(),0,πB C ∈，则sin ,sin 0B C ≠，整理得1cos 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由正弦定理8sin sin b cB C==，可得8sin ,8sin b B c C ==，因为π3A =，则2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()8sin 8sin 8sin 8sin cos 4sin 8sin b c B C A C C C C C λλλλ+=+=++=++()84sin C C λ=++，①若840λ+>，即12λ>-时，则()b c C λϕ+=+，其中πtan ,0,212ϕϕλ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，当π2C ϕ+=，即ππ2π0,0,223C ϕ⎛⎫⎛⎫=-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，b c λ+取到最大值，符合题意；②若840λ+=，即12λ=-时，则b c C λ+=在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，无最值，不符合题意；③若840λ+<，即12λ<-时，则()b c C λϕ+=+，其中πtan ,02ϕϕ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，当π2C ϕ+=-，即ππ,π22C ϕ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭时，b c λ+取到最大值注意到π2π,23C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,026C ϕ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，可得tan 0213ϕλ⎛⎫=∈- ⎪ ⎪+⎝⎭，解得2λ<-；综上所述：实数λ的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.19．在数列{}n a 中，132=-a ，()12222n n a a n n -=--≥.(1)证明：数列{}2n a n +是等比数列；(2)记数列(){}2n n a n +的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)证明见详解(2)3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；（2）由（1）可得()22n nnn a n +=，利用错位相减法可得222nn n T +=-，进而根据恒成立问题结合数列单调性分析运算.【详解】（1）由题意可得：1122a +=，当2n ≥时，可得1112n n a a n -=--，则()()()111111112121222121212n n n n n n a n n a n a n a n a n a n -------++-+===+-+-+-，所以数列{}2n a n +是以首项为12，公比为12的等比数列.（2）由（1）可得：11112222n n na n -⎛⎫+=⨯=⎪⎝⎭，则()22nn n n a n +=，可得212222n n n T =++⋅⋅⋅+，则2311122222n n nT +=++⋅⋅⋅+，两式相减得：231111111221111112111222222222212nn n n n n n n n n n n T ++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=-=--=- ⎪⎝⎭-，所以222n n n T +=-，因为()()()22221n n n n n n T n λ++-=≤+，则()12nn n λ+≤，原题意等价于关于n 的不等式()12n n n λ+≤恒成立，可得()max12n n n λ⎡⎤+≤⎢⎥⎣⎦，构建()12n nn n b +=，令11n n n n b b b b +-≥⎧⎨≥⎩，则()()()()()11112221122n n nn n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪⎨+-⎪≥⎪⎩，解得2n =或3，则1234b b b b <=>>⋅⋅⋅，即当2n =或3n =时，n b 取到最大值32，可得32λ≥，所以实数λ的取值范围3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20．如图，在五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，22AE AD DE AB ====，将ADE V 沿着AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，且平面PAD ⊥平面ABCD ，点F ，M 分别为线段AD ，AP 的中点，点G 在线段PB 上，且BG BP λ=.(1)当12λ=时，证明：//FG 平面PCD ；(2)设平面FGM 与平面PAD 的夹角为θ，求sin θ的最大值及此时λ的值.【正确答案】(1)见解析(2)sin θ的最大值为1,此时λ的值为12.【分析】（1）取PC 的中点H ,连接GH ,DH ,证明四边形GHDF 为平行四边形，再利用线面平行的判定即可；（2）首先利用面面垂直的性质定理，再以点F 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量，利用面面角的空间向量求法即可求出最值.【详解】（1）取PC 的中点H ,连接GH ,DH ,,G H Q 分别为PB ,PC 的中点,1//,2GH BC GH BC ∴=, 四边形ABCD 是矩形,点F 为AD 的中点1//,2FD BC FD BC ∴=.//,GH FD GH FD ∴=,∴四边形GHDF 为平行四边形，//GF DH ∴.又GF ⊄ 平面,PCD DH ⊂平面PCD ,//GF ∴平面PCD .（2）由题可知PA PD =，又点F 为AD 的中点，PF AD ∴⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面,ABCD AD PF =⊂平面PAD ,PF ∴⊥平面ABCD ,∴以点F 为坐标原点,,FA FP的方向分别为x ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,F A B P,1,0,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,(1,1,0),(1,2FM FB BP ⎛∴===-- ⎝⎭由题设(01)BG BP λλ=≤≤,当1λ=时,显然不符合;当01λ≤<时,(,)BG BP λλλ==--,(1,1,)FG FB BG λλ∴=+=--.设平面FGM 的法向量为(,,)m x y z =,则102(1)(1)0m FM x z m FG x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+-=⎩，取x =则1,z y ==,m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，取平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =,||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅∴==⋅，当12λ=时,cos 0θ=,此时sin θ取得最大值1.sin θ∴的最大值为1,此时λ的值为12.21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，圆()()22:124D x y -+-=恰与C 的准线相切.(1)求C 的方程及点F 与圆D 上点的距离的最大值；(2)O 为坐标原点，过点()0,1M 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线AD ，BD 分别与y 轴相交于点P ，Q ，MP mMO = ，MQ nMO = ，求证：mnm n+为定值.【正确答案】(1)24y x =；4(2)证明见解析【分析】（1）由题意可列式求得p ，即可得抛物线方程，进而求得点F 与圆D 上点的距离的最大值；（2）设直线l 方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设()(),0,0,Q P P y Q y 结合MP mMO = ，MQ nMO = 得出,m n 的表达式，进而得mn m n+的表达式，结合根与系数的关系进行化简，即得结论.【详解】（1）由题意得抛物线C 的焦点坐标为(,0)2p F ，准线方程为:2p l x '=-，圆()()22:124D x y -+-=的圆心为(1,2)D ，半径为2r =，由圆()()22:124D x y -+-=恰与C 的准线相切得122p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故2p =，故C 方程为24y x =，(1,0)F ，故点F 与圆D 上点的距离的最大值为||24DF r ++=；（2）由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设过点()0,1M 的直线l 的方程为1122,(,),1(,)y y kx x x B A y =+，2114y x =，2224y x =，联立241y x y kx ⎧=⎨=+⎩，整理得()222410k x k x +-+=，则()222440k k =-->△且0k ≠，即1k <且0k ≠，则121222,241k x x x x k k-+=-=，设()(),0,0,Q P P y Q y ，则()()1,,010,P MP y MO =-=- ，由MP mMO = 可得1P y m -=-，即1P m y =-，同理可得1Q n y =-,直线的AD 方程为()()()11211122421111214y y y x x x y x y ---=-=-=--+-，令0x =，得1122P y y y =+，同理可得2222Q y y y =+,因为()()1212121222821111112222P Q y y y y m n mn m n y y y y y y ++-+=+=+=+=------()()()()()2121212212121212821821111k x x k x x kx kx k x x k x k x x k x x ⎡⎤-+++-++⎣⎦==-++-++424282114224242112k k k k k k k k-⎛⎫--++-⨯ ⎪⎝⎭===---+-,即12mn m n =+，故mn m n+为定值.难点点睛：第二问是关于直线和抛物线的位置关系中的定值问题，解答的思路是联立直线和抛物线方程，得到根与系数的关系，结合向量的数乘得出,m n 的表达式，从而得mn m n +的表达式，然后进行化简，但难点在于计算的复杂性，并且计算量较大，要特别细心.22．已知函数()()()e e R x f x a x a =-+∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析.(2)1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；（2）根据第1问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大（小）值问题，构造新函数，求出λ的范围.【详解】（1）函数()()()e e R x f x a x a =-+∈，x ∈R ，则()(e )e 1x f x a '=-+，当e 0a -≥，即e a ≤时，()0f x '>恒成立，即()f x 在R 上单调递增；当e 0a -<，即e a >时，令()0f x '=，解得ln(e)x a =--，x (,ln(e))a -∞--ln(e)a --(ln(e),)a --+∞()f x '+0-()f x ↗极大值↘综上所述，当e a ≤是，()f x 在R 上单调递增；当e a >时，()f x 在(,ln(e))a -∞--上单调递增，在(ln(e),)a --+∞上单调递减.（2）()f x a λ≤等价于(e )e 0x a x a λ-+-≤，令()(e )e x h x a x a λ=-+-，当e a ≤时，1(1)(e )e 10a h a a λλ++=-+>，所以()0≤h x 不恒成立，不合题意.当e a >时，()f x a λ≤等价于max ()a f a λ≥，由（1）可知max ()(ln(e))1ln(e)f x f a a =--=---，所以1ln(e)a a λ≥---，对e a >有解，所以1ln(e)a aλ---≥对e a >有解，因此原命题转化为存在e a >，使得1ln(e)a a λ---≥.令ln(e)1()a u a a---=，e a >，则min ()u a λ≥，222e ln(e)ln(e)1e e ()a a a a a u a a a a------'=-+=，令e ()ln(e)ea a a ϕ=---，则21e ()0e (e)a a a ϕ'=+>--，所以()a ϕ在(e,)+∞上单调递增，又e (2e)ln(2e e)02e e ϕ=-+-=-，所以当e 2e a <<时，()0a ϕ<，()0u a '<，故()u a 在(e,2e)上单调递减，当2e a >时，()0a ϕ>，()0u a '>，故()u a 在(2e,+)∞上单调递增，所以min 1()(2e)e u a u ==-，所以1eλ≥-，即实数λ的取值范围是1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭.关键点点睛：第二问，问题化为存在e a >，使得1ln(e)a a λ---≥，利用导数研究右侧最小值，即可得范围.。

考研数学二（填空题）模拟试卷129(题后含答案及解析)题型有：1.1．设x→0时，lncosax～一2xb(a＞0)，则a=______，b=_______．正确答案：ncosax=ln[1+(cosax一1)]～cosax一1～则b=2，解得a=2，b=2．涉及知识点：高等数学2．=______正确答案：1解析：知识模块：函数、极限、连续3．函数f(x)=中x3的系数为________，x2的系数为_________。

正确答案：—2，—1解析：方法一：将行列式按对角线法则展开为多项式，得f(x)== —2x3+4x+3—(—2x)—x2—12x= —2x3—x2—6x+3，于是函数f(x)中x3的系数为—2，x2的系数为—1。

方法二：利用行列式的性质，先把行列式的第2行乘以(—2x)加到第1行，再把行列式的第2行乘以(—2)加到第3行，然后按第1列展开，利用对角线法则计算二阶行列式，即有f(x)==(—1)[(2x2+x)(x—4)—(1—4x)(2x+3)]= —2x3—x2—6x+3，于是函数f(x)中x3的系数为—2，x2的系数为—1。

方法三：把行列式的第2行加到第1行，则行列式中只有主对角线上的元素包含字母x，得根据对角线法则可知，行列式展开后只有主对角线上三个元素的乘积才出现x3和x2项，而行列式主对角线上三个元素的乘积为(2x+1)(—x)x= —2x3—x2，所以函数f(x)中x3的系数为—2，x2的系数为—1。

知识模块：行列式4．=______。

正确答案：解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则有又有故原式= 知识模块：函数、极限、连续5．设则AB=__________．正确答案：解析：根据矩阵乘积的计算方法知识模块：矩阵6．函数y=x2x的极小值点为_______．正确答案：解析：令y’=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0得当时，y’＞0，故x=为函数y=x2x 的极小值点．知识模块：高等数学7．设f(x，y)=xy，则正确答案：xy-1+yxy-1lnx 涉及知识点：多元函数微积分8．设变换可把方程＝0简化为＝0求常a_______．正确答案：a＝3 涉及知识点：多元函数微积分9．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．＝________．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分11．设f(sin2x)==_____.正确答案：arcsin2 +C解析：由f(sin2x)=，得f(x)=于是知识模块：高等数学12．设＝_______．正确答案：解析：知识模块：导数与微分13．设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是_________。

2024 届普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数 学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号。

解答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |2x ≥1}，集合N ＝{x |x 2＜4}，则M ∪N ＝A ．[0，2)B ．(－∞，2)C ．[0，＋∞)D ．(－2，＋∞)2．某地区5000名学生的数学成绩X (单位：分)服从正态分布X ～N (90，σ2)，且成绩在[90，100]的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为 A ．200 B ．700 C ．1400 D ．2500 3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线E 的标准方程为x 2－y 22＝1，则E 的共轭双曲线的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．24．函数f (x )＝sin (2x －φ)(|φ|≤π2)在(0， π3)上为单调递增函数，则φ的取值范围为A ．[－ π 2，－π6]B ．[－ π6，0]C ．[π 6，π2]D ．[0，π6]5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为A ．5πB ．12πC ．20πD ．80π6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a 1＋2n ，a 10＝130，则a 1＝A ．1B ．2C ．3D ．47．已知m 为平面α外的一条直线，则下列命题中正确的是 A ．存在直线n ，使得n ⊥m ，n ⊥α B ．存在直线n ，使得n ⊥m ，n ∥αC ．存在直线n ，使得n ∥m ，n ∥αD ．存在直线n ，使得n ∥m ，n ⊥α 8．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点(0，4)的直线l 与x 轴交于点P ，与圆C 交于A ，B 两点，则CP →·(CA →＋CB →)的取值范围是 A ．[0，1] B ．[0，1)C ．[0，2]D ．[0，2)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。