三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题18双曲线理含解析75

专题 18 双曲线

考纲解读明方向

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

1.双曲线的定义及其标准方程

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质 了解 2017课标全国Ⅲ,5;2017天津,5;

2016课标全国Ⅰ,5;2016天津,6;

2015天津,6 选择题

填空题 ★★★

2.双曲线的几何性质 了解 2017课标全国Ⅰ,15;2017北京,9;

2017山东,14;2016课标全国Ⅱ,11;

2016浙江,7;2015课标Ⅰ,5 选择题

填空题 ★★★

3.直线与双曲线的位置关系 了解 2015四川,5;2014福建,19 选择题

解答题 ★★☆

分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.

2018年高考全景展示

1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是

A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)

【答案】B

点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.

2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.

点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.

3．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=

A. B. 3 C. D. 4

【答案】B

【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

4．【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A. B. 2 C. D.

【答案】C

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。

5．【2018年理数全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．

【答案】2

【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.

详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此

点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.

2017年高考全景展示

1.【2017课标II，理9】若双曲线22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．233

【答案】A

【解析】

试题分析：由几何关系可得，双曲线222210,0xyabab的渐近线为：0bxay，

圆心2,0到渐近线距离为：22213d，

不妨考查点2,0到直线0bxay的距离：222023babdcab，

即：22243cac，整理可得：224ca,

双曲线的离心率2242cea。故选A。

【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式cea；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。

2.【2017课标3，理5】已知双曲线C：22221xyab (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为

A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy

【答案】B

【解析】

试题分析：双曲线C：22221xyab (a＞0,b＞0)的渐近线方程为byxa ，

椭圆中：2222212,3,9,c3abcab ，椭圆，即双曲线的焦点为3,0 ，

据此可得双曲线中的方程组：222523bacabc ，解得：224,5ab ，

则双曲线 的方程为2145xy .

故选B.

【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.

【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为2220xyab，再由条件求出λ的值即可.

3.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为，离心率为.若经过和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（A）22144xy （B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy

【答案】

【解析】由题意得224,14,22188xyabcabc，选B.

【考点】 双曲线的标准方程

【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn，（2）与22221xyab共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy等，均为待定系数法求标准方程.

4.【2017课标1，理】已知双曲线C：22221xyab（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

【答案】233

【解析】试题分析：

如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线byxa上的点，且(,0)Aa，AMANb

而APMN，所以30PAN， 点(,0)Aa到直线byxa的距离22||1bAPba

在RtPAN中，cosPAPANNA

代入计算得223ab，即3ab

由222cab得2cb

所以22333cbeab.

【考点】双曲线的简单性质.

【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.

5.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线222210,0xyabab的右支与焦点为的抛物线220xpxp交于,AB两点，若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为.

【答案】22yx

【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.

【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122ByAx的形式，当0A，0B，BA时为椭圆，当0AB时为双曲线.

2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 6.【2017北京，理9】若双曲线221yxm的离心率为，则实数m=_________.

【答案】2

【解析】

试题分析：221,abm，所以131cma，解得2m.

【考点】双曲线的方程和几何性质

【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系222cab，否则很容易出现错误．以及当焦点在轴时，哪些量表示22,ab，根据离心率的公式计算.

7.【2015高考北京，理10】已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则．

【答案】33

【解析】双曲线22210xyaa的渐近线方程为1yxa，303xyyx，0a,则133,3aa

【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.

【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数的值.