中国矿大考研初试资料(电路原理)第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

 重点：

1． 平均值、有效值及平均功率

2． 非正弦周期电路的分析

非正弦周期电路

对于线性非时变电路而言，可以运用叠加定理计算多个正弦电源作用下的稳态响应，前面我们往往只涉及到同频率的情况，如果这些正弦电源的频率不同，电路分析的情况又会有改变。

本章中，我们先从叠加的角度来看非正弦周期电路的分析，然后，我们再从分解的角度来看非正弦周期电路的分析及频谱的概念。

12.3.1 正弦稳态的叠加

一、不同频率的激励作用时

根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。我们看下面的电路，其中VtuS 5cos210，A 4cos22tiS，由于两个电源的频率不同，就整个电路来说，我们不能直接使用相量法。但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。再笔筒频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。

1 1F + 1H uS _ iS图12-17 不同频率的电源叠加 1 -0.2j + 5j 10o0 o'I -(a) 1 -0.25j

4j

2o0 o''I(b)

图（a）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据srad/5计算；图（b）是电流源单独作用时的电路，其中的阻抗根据srad/4计算；

图（a）中Ajjjjj.jj.jooo8.112.105242502.055205)20(51010'I

图（b）中Ajjjjooo9.1406.24153225.041402'I

所以： Atio)8.115cos(22.10'o

Atio)9.144cos(206.2''o

待求量： AtAtiiiooo)9.144cos(206.2)8.115cos(22.10'''oo

二、各种频率正弦激励的叠加 tAtfsin4)(1

)3sin31(sin4)(2ttAtf

)5sin513sin31(sin4)(3tttAtf

)7sin715sin513sin31(sin4)(4ttttAtf P267

f1(t)

4A/

O

t

f2(t) A

O

t

f3(t)

A

O t

f4(t)

A

O t

12.3.2非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱

一、 非正弦周期函数的傅立叶分解

1．定义

如果给定的周期函数)(tf满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。而在电工技术中，我们所遇到的周期函数通常均满足该条件。这样

1010)cos()sincos()(kkkmkkktkAAtkbtkaatf

其中，两式中的各个系数的计算公式及对应的系数的关系

2200)(1)(1TTTdttfTdttfTa

)()cos()(1)()cos()(1)cos()(2)cos()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTaTTTk)()sin()(1)()sin()(1)sin()(2)sin()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTbTTTk

参见教材P265。

在该展开式中，0A称为周期函数)(tf的恒定分量，也称为直流分量；与原周期函数的周期相同的正弦分量)cos(11tAm称为一次谐波，也称为基波分量。其他各项称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）

2．各种常用周期信号的傅立叶展开 1） 方波

f(t) A

t 0.5T -A T图12-18(c) 矩形波三

)7sin715sin513sin31(sin4)(ttttAtf，其中的T2

2） 三角波

f(t) A

t T

-A

图12-19 三角波

)7cos4915sin2513sin91(sin8)(2ttttAtf，其中的T2

3） 锯齿波

f(t) A t T 2T 3T图12-20 锯齿波

)4sin413sin312sin21(sin2)(ttttAAtf，其中T2

4） 正弦整流全波

f(t)

A t

O 0.5T T图12-21

正弦全波整流波形

)8cos6316cos3514cos1512cos3121(4)(tttAtf，其中T2

12.3.3非正弦周期函数的有效值与平均功率

一、有效值

以电流为例，周期电压、电流的有效值的定义为：TdttiTI02)(1

前面已经谈到，任意周期函数均可展开为傅立叶级数：110)sin()(nnnmtnIIti

代入有效值的定义式：TnnnmdttnIITI02110)]sin([1

积分号内的平方式展开有以下几种情况：

200201IdtITT 2)(sin120122nmTnnmIdttnIT

0)sin(21010TnnmdttnIIT

npdttptnIITTpnpmnm 0)sin()sin(21011

因此，)(ti的有效值为：2322212012202IIIIIIInnm。其中，2nmnII为各个n次谐波分量的有效值。同理，任意电压)(tu的有效值为：2322212012202UUUUUUUnnm，其中，2nmnUU为各n次谐波分量的有效值。

二、平均功率

平均功率的定义为：TdttituTP0)()(1

如果电压与电流均可展开为傅立叶级数：

110)sin()(nnnmtnUUtu

110)sin()(nnnmtnIIti

代入平均功率的定义式：

1100110)]}sin([)]sin({[1nnnmTnnnmdttnIItnUUTP

积分号内的乘积式展开有以下几种情况：

000001IUdtIUTT

0)sin(1010TnnmdttnIUT

0)sin(1010TnnmdttnUIT

npdttptnIUTTnnpmnm 0)sin()sin(1011

nnnnnnmnmTnnnmnmIUIUdttptnIUTcos)cos(21)sin()sin(1011

因此，二端网络吸收的平均功率为：10100cosnnnnnnPPIUIUP。其中，000IUP为电压电流的直流分量构成的功率，nnnnIUPcos为各电压电流n次谐波构成的平均功率。

另外，我们可以发现，只有同频率的电压电流才构成平均功率，不同频率的电压电流所构成的平均功率总为零。 12.3.4 频谱

一、非正弦周期函数的频谱

对某函数以频率为横轴，各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为该函数的频谱。

对于周期函数而言，其频谱为一系列谱线。如

 方波

f(t) A t 0.5T -A T Akm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7  3 5 7 

图12-22 矩形波的傅立叶频谱

 三角波

f(t) A t T

-A Akm 8A/2

8A/252

 3 5 7

 8A/92

图12-23 三角波的傅立叶频谱

 锯齿波

f(t) A t T 2T 3T Akm A/2 A/ A/2