单自由度系统强迫振动资料

因为振动系统是线性的，由激振力的各个分量所引起的稳态振动可以迭加， 所以单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应可以表示为：
a cos( jpt ) b sin( jpt ) a0 j j j j x 2k j 1 jp 2 2 jp 2 k [1 ( ) ] ( 2 )
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第一章 单自由度系统的振动
1.1 无阻尼自由振动 1.2 有阻尼自由振动 1.3 简谐激振力引起的强迫振动 1.4 系统对周期激振力的响应 1.5 系统对任意激振力的响应
1.4 系统对周期激振力的响应
前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际 工程问题中遇到的大多是周期激励或一般激励而很少为简谐激励。 一般情况下一个周期性函数都可以展成付氏级数，因此一个周期激振 函数（激振力）总可以分解为一系列不同频率的简谐函数来处理。 假定粘滞阻尼系统受到的周期激振力 F ( t ) F ( t T ) T为周期
2
)cos(2pt 2 )
1 tan 2
1
p

/[ 1 (
p

)2 ]
2 tan 4
1
p

/[ 1 4(
p

)2 ]
1.5 系统对任意激振力的响应
在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的 时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。
振系的微分方程：
T 1s , p 2π s -1
2 1 x1(t) 1 sinjpt π j 1 j
cx kx k1(x x1 ) m x
2k1 1 cx (k k1 )x k1 m x sinjpt π j 1 j

yst FP ' sin t sin t yst sin t 2 2 2 m 1 2 1 2

1
2 1 2
动载与质点不重合时， 质点处沿振动方向 的最大动位移的β
思考：最大动正应力为多少？
FP sin t
m G=35kN
A B
EI
l/ 2
l/2
求：① β
②求跨中最大动位移及最大动弯矩图
③跨中最大位移和最大弯矩图
最大动位移与最大位移一样吗？ 最大动弯矩图与最大弯矩图一样吗？ 最大动弯矩图与最大动弯矩值一样吗？
6 5
M0sin t
32 EI ml 3
2
m
A
最大静位移最大动位移位移动力系数max最大静弯矩最大动弯矩弯矩动力系数max动力系数的本质的内力或位移动载最大值单独作用下位移值共同作用下的内力或动载与惯性力二者最大用该公式求动力系数仅用于单自由度体系的某些特殊情况动载与质点不重合时质点处沿振动方向的最大动位移动载与质点重合且沿振动方向时的所有内力和位移又称为两线重合又称为两线不重合两线不重合时不是一个常数两线不重合时不是一个常数两线重合时是一个常数两线重合时是一个常数荷载的最大值运动微分方程的标准表达式强迫振动仅对质点沿振动方向的位移等效对其它位移并不等效动载与质点不重合时质点处沿振动方向的最大动位移的简谐荷载作用时等效简谐荷载ststsinsin思考


0
0
是什么意思呢？
动力系数的本质
动载与惯性力二者最大 值共同作用下的内力或 位移 动载最大值单独作用下 的内力或位移
最大动位移[ y(t )]max 位移动力系数 最大静位移yst

单自由度系统强迫振动实验一、实验目的1、 了解学习振动系统和测振系统的组成及原理，掌握测振的一般方法。

2、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后以及快速通过共振区的振幅变化情况。

3、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后干扰力与系统位移的相位关系。

4、 测定简支梁振动系统的固有频率及幅频特性曲线。

二、实验装置 1、 实验装置简图测振仪（11）示波器（12）闪光测速仪（9）闪光灯（8）电动机（3）变压器（2）传感器（10）简支梁（1）偏心轮（4）振标（7）标记线（5）图一2、实验装置上各附件的作用 （1） 简支梁简支梁是由一块截面为矩形的弹性钢板通过轴承支撑在两个刚性很强的固定支架上，它在系统中主要起弹簧作用。

（2） 固定架固定架是用来固定偏心轮、标记盘等部件的，其质量同简支梁质量的一半组成系统的质量（根据能量原理而得）。

故此系统可简化为（图二）所示的弹簧质量系统。

图二图中：M ------系统的质量 m -------偏心质量 0F -------离心惯性力k --------简支梁的弹簧刚度 r --------阻尼系数 （3） 自耦变压器自耦变压器用来启动电机和调节电机转速的设备。

当通过变压器手轮改变变压器输出电压时，即可改变电机的转速，借以达到调速之目的。

（4） 电动机电动机是用来驱动偏心轮旋转的动力源。

在本实验中借助改变电机的转速来实现干扰力频率的变化。

（5） 偏心轮偏心轮在系统中是产生干扰力的元件。

当转轴带动偏心轮以转速N 旋转时，偏心质量m 就以2(1/)60Ns πω=作等速圆周运动，同时产生了一个离心惯性力20F me ω=。

该力通过轴和轴承座传给梁。

这个旋转的离心惯性力在铅直方向的分量就构成了对梁沿铅直方向的简谐干扰力，即20sin sin F F t me t ωωω==。

此干扰力使系统产生强迫振动。

以坐标x 表示偏心轮轴心离开静平衡位置的铅垂位移，如图二，则系统振动的微分方程为：2sin Mx rx kx me t ωω++= （1）设 2r n M = , 2k p M =，2me q Mω=上式可以写成22sin xnx p x q t ω++= （2） 这个微分方程的全解为12()()()x t x t x t =+其中 221()sin()nt x t Ae p n t ϕ-=-+是个衰减振动，在振动开始的一定时间后就完全消失了。

利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
图 2—13
图 2—应 幅频特性与相频特性
库仑阻尼和结构阻尼
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
过共振区的办法来解决。
2. 等效阻尼
振动时振动能量的耗散有各种的形式，并且与许多因素有关，处 理起来比较复杂。在线性振动理论中，通常把其他形式的阻尼等 效为粘性阻尼，以使阻尼力线性化，得到等效的线性系统。其方 法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗 散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示，设有下 面两个方程：
图 2—15