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第十一节 变化率与导数、导数的计算

一、导数的概念

1． 函数 y ＝ f(x)在 x ＝x 0 处的导数

(1)定义：

称函数 y ＝ f(x)在 x ＝x 0 处的瞬时变化率 lim f x ＋ x － f x 0 ＝ lim

y

为函数 y ＝ f(x)在 x ＝ x 0 处的导数，记作 f ′ (x 0 )或 y ′ |x ＝ x 0，

x → 0

x

x → 0

x

即 f ′( x 0

y

＝ lim f x ＋ x － f x

)＝ lim

x x →0

x

.

x →0

(2)几何意义：

函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f ′ (x 0)的几何意义是在曲线

y ＝ f(x)上点 (x 0，f(x 0))处的切线的斜

率( 瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数 )．相应地，切线方程为 y － f(x 0)＝ f ′ (x 0)( x － x 0)．

2． 函数 f(x)的导函数

称函数 f ′(x)＝ lim

f x ＋ x － f x

为 f(x)的导函数．

x → 0

x

二、基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝ c(c 为常数 ) f ′ (x)＝0

f(x) ＝x n (n ∈ Q * ) f ′ (x)＝nx n －

1

f(x)＝ sin x f ′ (x)＝cos_x f(x)＝ cos x f ′( x)＝－ sin_x f( x)＝ a x f ′ (x)＝ a x ln_ a f(x)＝ e x

f ′ (x)＝e x

f(x)＝ log a x 1

f ′( x)＝ xln a

f(x)＝ln x

1 f ′ (x)＝ x

三、导数的运算法则

1． [f(x) ±g( x)] ′＝ f ′ (x) ±g ′ (x)；

2． [f(x) ·g(x)] ′＝ f ′(x)g(x)＋ f( x)g ′ (x)；

f x ′＝ f′ x

g x － f x g′ x

(g(x)≠ 0)．

3. g x [g x ]2

1． (教材习题改编 )若 f(x)＝ xe x，则 f′ (1) ＝( )

A ． 0 B． e

C．2e D． e2

解析：选 C ∵ f′ (x)＝ e x＋ xe x，∴ f′ (1)＝ 2e.

2．曲线 y＝ xln x 在点 (e， e)处的切线与直线x＋ ay＝1 垂直，则实数 a 的值为 ()

A ． 2

B ．－ 2

1 1

C.2 D ．－2

解析：选 A 依题意得|

y′＝ 1＋ln x， y′x＝e＝ 1＋ ln e＝ 2，所以－1

× 2＝－ 1， a＝ 2.

a

3 1 2 2

3． (教材习题改编 )某质点的位移函数是 s(t)＝ 2t － gt (g＝ 10 m/s )，则当 t＝ 2 s 时，它

2

的加速度是 ( )

A ． 14 m/s2 B． 4 m/s2

C．10 m/s 2 D．－ 4 m/s2

解析：选 A 由 v(t)＝ s′( t)＝ 6t2－ gt，a(t)＝ v′(t)＝ 12t－ g，得 t＝ 2 时， a(2)＝ v′(2) ＝12× 2－ 10＝ 14(m/s2)．

4． (2012 ·东高考广 )曲线 y＝ x3－ x＋ 3 在点 (1,3) 处的切线方程为________．

解析：∵ y′＝ 3x2－ 1，∴ y′|x＝1＝ 3× 12－ 1＝ 2.

∴该切线方程为y－ 3＝ 2(x－ 1)，即 2x－ y＋ 1＝ 0.

答案： 2x－ y＋ 1＝0

5．函数 y＝ xcos x－ sin x 的导数为 ________．

解析： y′＝ (xcos x)′ － (sin x) ′

＝x′ cos x＋x(cos x)′ － cos x

＝cos x－ xsin x－ cos x

＝－ xsin x.

答案：－ xsin x

1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导

法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的

等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线 y＝ f(x)“在点 P(x0， y0)处的切线”与“过点 P(x0， y0)的切线”的区别与

联系

(1)曲线 y ＝ f(x)在点 P(x 0 ，y 0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f ′ (x 0)的切线，

是唯一的一条切线．

(2)曲线 y ＝ f(x)过点 P(x 0， y 0)的切线，是指切线经过

P 点．点 P 可以是切点，也可以不

是切点，而且这样的直线可能有多条．

典题导入

[例 1] 用定义法求下列函数的导数．

(1)y ＝ x 2；

[自主解答 ]

4

(2)y ＝ x 2.

(1) 因为 y ＝ f x ＋ x － f x

x x

＝

x ＋ x 2－ x 2

x

x 2＋ 2x ·Δx ＋ x 2－ x 2

＝ x

＝ 2x ＋ x ，

所以 y ′＝ x → 0

y x →0 (2x ＋ x)＝ 2x. lim x ＝ lim 4

4 4 x 2x ＋ x (2)因为 y ＝ x ＋ x 2－ x 2

＝－

x 2 x ＋ x 2 ， y

＝－ 4· 2x ＋ x ，

x

x 2 x ＋ x 2

x →0 y x → 0

2x ＋ x

8

＝

－4·2

2 ＝－ 3.

所以 lim

x lim

x ＋ x

x

x

由题悟法

根据导数的定义，求函数

y ＝ f( x)在 x ＝x 0 处导数的步骤

(1)

求函数值的增量 y ＝ f(x 0＋ x)－ f(x 0)； (2)

求平均变化率 y ＝ f x 0 ＋ x － f x 0 ；

x x

(3)

y

x →0

x

以题试法

1．一质点运动的方程为

s ＝8－ 3t 2 .

(1)求质点在 [1,1＋ t]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在 t ＝ 1 时的瞬时速度 (用定义及导数公式两种方法求解

)．

解： (1)∵ s ＝ 8－ 3t 2，

∴ s ＝ 8－3(1＋ t)2－ (8－ 3× 12)＝－ 6 t － 3( t)2，