2.8.1 边角网按条件平差
(1) 边角网中的条件
边角网的建网方法有四种，即在测角网的基础上加测部分边;在测边网的基础上加测部分角;观测部分边和部分角;观测全部边长和角度。
由于边角网既测边长又测角度，因此它具有三角网条件，测边网条件及由边、角两类观测量共同组成的边角条件，具体有以下几种：
a. 独立三角网条件
用角度组成的三角网图形、圆周闭合和极三种条件;
b.独立测边网条件
用边长组成的测边网的图形条件;c.边、角条件
由观测边长和观测角度共同组成的正弦条件或余弦条件;
d. 附合网条件
它包括测角网或测边网中的坐标方位角(固定角)、坐标及基线(固定边)(测边网除外)三种条件。
在以上条件中，a、b、d三类条件分别在测角网、测边网及导线网中做了讨论，现讨论C种条件式的组成。
①正弦条件方程式的组成
正弦条件是指平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。
在图2.8-1中，测角网中加测了边长Dcd。
则其正弦条件为：
其线性形式为：
(2.8-4)
式中：
很显然，边角网中正弦条件同三角网中基线条件式是相似的，所不同的是在基线条件式的基础上，增加了边长改正数这一项，因此边角网中正弦条件式是三角网中基线条件式的扩展。
在图2.8-1中，如果边长ab也是观测边，那么在(2.8-4)式中还要加一项VDab，其条件方式程形式为：
图2.8-1 边角条件基本图形
(2.8-5)
作为特例，当在一个边角网三角形中(见图2.8-1)，显然有两个正弦条件式，其形式为：
(2.8-6)
式中：
式(2.8-6)亦可写成下列形式：
(2.8-7)
式中：
W1＝D1sinβ2-D2sinβ1
W2＝D2sinβ3-D3sinβ2
在特殊情况下，如果在测三条边及两个角的三角形中，此时显然有两个正弦条件，其中一个与式(2.8-6)或(2.8-7)式中第一式相同，而第二个条件式则不同，设β3＝180°-β1-β2，其条件方程式形式为：
(2.8-8)
式中：
或表达为：
(2.8-9)
式中：W=D2sin(β1+β2)-D3sinβ2。
②余弦条件方程式的组成
余弦条件是指由三条边的平差值求出的角度应与该角度平差后的角值相等。
设三角形观测了三条边D1、D2、D3和一个角度β1，则其余弦条件方程式形式为：
(2.8-10)
式中：hβ1由为β1角角顶向对边引出的高;
以上给出了由边角改正数共同组成的边角条件式。
在具体计算时，Vβ以秒为单位，D及h 以公里为单位，若VD以厘米为单位则ρ=2.06，若VD以毫米为单位则p=0.206。
VD以厘米为单位还是以毫米为单位取决于定权时所用测距中误差mD的单位。
VD、mD的单位应一致，常数项W的单位应与VD或Vβ的单位相同。
(2) 边角网中条件数目的确定
对于独立边角网，按再度平差时，独立条件总数为：
r=N-2n+3 (2.8-11)
式中：N——网中观测值总个数;
n——总点数。
当按方向平差时，独立条件总数为：
r=F+M-3n+3 (2.8-12)
式中：F——网中观测方向总数;
M——测边总数;
n——网中总点数。
对于非独立边角网，独立条件总数为：
r=N-2k (2.8-13)
式中：k——待定点个数。
在边角网条件平差时，为了选择和组成足够简单的条件式，往往都是先按角度列出三角网中的有关条件，再按边角列出正弦条件及坐标条件，然后才选用边角余弦条件，而只有在特殊情况下，才用边组成有关条件式。
在这些条件式中，有的也可以互相替代，但也是同类条件内部间的替代，而不同类条件之间是不能替代的。
当边角网中的角度观测值按方向平差时，只需将上面用角度改正数组成的各个条件式，将角度改正数Vij换成构成这个角度的二个方向改正数的V i及Vj之差，然后再经整理，即得方向平差时的边角网条件式。
(3) 权函数式的组成
边角网按条件平差时，平差值函数的权函数式比较简单，因为可以同时出现角度改正数和边长改正数。
如图2.8-2中，cd边的坐标方位角权函数式为：
δαcd＝-Vβ2+Vβ3-Vβ7 (2.8-14)
图2.8-2 边角网示意图
而C点的纵坐标的权函数式可表达为：
(2.8-15)
图2.8-3 中点六边形边角网
r=D+s-3n+3
＝24+6-3×7+3=12
在这12个条件式中，有6个图形条件和6个正弦条件，方向观测不产生圆周角条件。
④条件方程式的组成
6个图形条件方程式为：
-V1+V2-V5+V6-V19+V20+W1＝0
-V4+V5-V8+V9-V20+V21+W2＝0
-V7+V8-V11+V12-V21+V22+W3＝0
-V10+V11-V14+V15-V22+V23+W4＝0
-V13+V14-V17+V18-V23+V24+W5＝0
-V16+V17-V2+V3+V19-V24+W6＝0
6个正弦条件方程式为
若要评定待定点的点位精度，则Ⅶ点的权函数式可表达为：
式中
α=αⅠⅡ+{2-1}
图2.8-4 边角网略图
(3)条件方程式个数的确定
如前所述，条件平差第一步就是要列出条件方程式。
简单的图形比较容易判定条件式的个数并列出条件式来。
比较复杂一些的三角网直观上有时就难以判定，下面介绍确定三角网条件式个数的方法。
在确定条件式前，先画三角网草图如图2.6-16所示，所有观测方向用实线表示，其中单向观测以半虚半实线表示，并用下列符号表示各种点和线的数目：
p=所有三角点总数;
p′=未设测站的三角点数;
l=所有连接线总数;
l′=半虚半实线数;
w=测角总数。
则三角网按角度平差的条件数为：
图 2.6-16
(2.6-39)
在图2.6-16中，p=6，p′=1，l=11，l′=5，w=13，得：
r总＝13-12+4=5
r图＝(11-5)-(6-1)+1=2
r圆＝13-22+5+6-1=1
r极＝11-12+3=2
三角网按方向平差时组成的法方程式比较复杂，水运测量中一般不用，故这里不作介绍。
条件方程式个数确定了，还要注意列出的所有条件式相互之间都是独立的才行。
2.7.2 三边网条件平差
(1) 测边网条件方程式类型
测边网同三角网一样，也是由三角形、大地四边形、中点多边形等常规测量图形构成。
其构网方式可以是锁形也可以是网形，可以布成独立网(无多余起算数据)和非独立网(有多余起算数据)。
因此，在测边网中主要有以下几类条件式：
①图形条件
a.三角形(图2.7-1a)
三角形不产生多余观测条件。
b.大地四边形(图2.7-1b)
大地四边形产生一个多余观测条件。
其条件方程式形式为：
(2.7-1)
式中：
hr i——r i角角顶向所对边引出的高;
αi、βi、r i为三条边按余弦定理计算的角度值。
c.中点多边形(图2.7-1c)
中点多边形产生一个多余观测值，其条件方程式形式为：
(2.7-2)
式中：i=1～n时;
;n为三角形的个数。
d.扇形图(图2.7-1d)
扇形图产生一个多余观测条件，其条件方程式形式为
(2.7-3) 式中：
当i=1～(n-1)时，
当i=2～(n-1)时，
②固定角条件(图2.7-1e)
固定角产生一个多余观测条件，其条件方程式形式为：
(2.7-4)
式中：
当i=1～n时，
当i=1～(n-1)时，
;r为已知角。
③坐标方位角条件(图2.7-1f)
坐标方位角产生一个多余观测条件，其条件方程式的形式为：
(2.7-5)
式中：W=r1-r2+r3-r4-r;r为已知坐标方位角α2.1、α5.6之差，即r=α2.1-α5.6。
④纵横坐标条件(图2.7-1g)
纵横坐标产生2个多余观测条件，其条件方程式形式为：
纵坐标：
(2.7-6)
横坐标：
(2.7-7)
式中：当r i为正、负号时，分别取上、下排的正负号;αi，i+1为第i点至i+1点的坐标方位角;
W x＝x1+Δx1，2+Δx2，3+Δx3，4-x5;
W y＝y1+Δy1，2+Δy2，3+Δy3，4-y5。
以上②～④类条件均是多余起算数据产生的，故它们统称非独立网条件。
测边网条件方程式的组成方法很多，但最常用的则是用角度闭合法来组成。
这不仅是因为这种方法易于掌握，而且更主要的是它可以组成网中的一切条件式，具有很大实用性，因此公式(2.7-1)～(2.7-7)均是按角度闭合法给出的条件式。
采用角度闭合法组成条件式，必须事先按三角形余弦定理：
a2＝b2+c2-2bccosr (2.7-8)
计算各三角形的三个顶角值。
此外还可以采用面积闭合法、边长闭合法(只运用于大地四边形)、及力学方法来组成测边网条件方程式，这里不作介绍。
(2) 测边网中条件总数的确定
在独立测边网中，条件总数
r总＝n-2p+3 (2.7-9)
式中：n——网中总边数(包括已知边);
p——网中总点数(包括已知点)。
在非独立测边网中，条件总数
r总＝n-2k (2.7-10)
式中：n——网中总边数(包括已知边);
k——待定点数。
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