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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

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课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

解：连接 BO，则BF ＝21BP＝12(BO＋OP) ＝12(BA＋ AO＋OP)＝21(c－b－a)＝－21a－12b＋12c. BE＝BC ＋CE＝－a＋12CP ＝－a＋21(CO ＋OP )＝－a－21b＋12c.
AE ＝ AP＋PE＝ AO＋OP＋12(PO＋OC ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. EF ＝12CB＝21OA＝12a.
(2)∵ A1B＝OB－OA1 ＝OB－(OA＋ AA1 ) ＝OB－OA－ AA1 ＝2e2－4e1－4e3, ∴ A1B＝(－4,2，－4)．
(1)三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的 充要条件． (2)用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一 的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的 应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝ xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC.
∴OA，OB ，OC 不共面．
故{OA，OB ，OC }能作为空间的一个基底.
考点二 用基底表示向量 例 2 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC. 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示BF ,BE, AE ,EF .
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令， 由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单 位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.4
探究点一 空间向量的基底 问题 1 平面向量的基底要求二个基向量不共线， 那么构成 空间向量基底的三个向量有什么条件？ 答案 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向
量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底 唯一表示． 问题 2 基向量和基底一样吗？0 能否作为基向量？ 答案 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.4
2→ → → 2 1 → → ∴OG＝OA＋ × (OB＋OC)－ OA 3 2 3 1 → → → 1 ＝ (OA＋OB＋OC)＝ (a＋b＋c)． 3 3 → → → ∵GH＝OH－OG，
1 1 → 1 ∴GH＝3(b＋c)－3(a＋b＋c)＝－3a.
小结 表示向量要充分结合图形的几何性质． 本题要注意到 重心是△ABC 的中线的一个三等分点，为向量的模提供关 系．
向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc.
问题 2 用基底表示向量应注意哪些问题？
答案 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向 量，要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是 唯一的．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.4
→ 跟踪训练 2 在平行六面体 ABCD－A′B′ C′D′中， AB → → ＝ a，AD＝b，AA′＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′ 的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 是 CA′上的点，且 CQ∶ QA′＝4∶1， 用基底 {a，b，c}表示以下向量： → → → → (1)AP； (2)AM； (3)AN； (4)AQ.

课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

2．若A→B＝(a，b，c)，则B→A的坐标是多少？ [提示] B→A＝(－a，－b，－c)．
例 3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量B→N， B→A1，A→1B的坐标．
课堂小结 1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量 都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个 向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当 的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐 标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所 求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
空间向
量的坐 {x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x，
标表示
y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)__
合作探究
类型1 基底的判断
例 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
1＝μ， ∴1＝λ，
0＝λ＋μ，
此方程组无解．
即不存在实数 λ，μ，使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示向量 例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平 面 OABC，设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC， PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F，B→E，A→E，E→F．
3．三棱锥 P-ABC 中，∠ABC 为直角，PB⊥平面 ABC， AB＝BC＝PB＝1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点， 以{B→A，B→C，B→P}为基底，则M→N的坐标为________．

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(1)

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(1)

练习 2: ⑴已知 A（ 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 0, 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
k j O i
x
p
P
y Q
在
i, j, k上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗？
a, b, c
，你能得出类似的
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p xa yb zc.
1 1 1 y （ b （x y a （x y b xc a ） ） ） 2 2 2
1 （ ） 2 x y 1 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （x y 0 即 ） y 1 2 x 1
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→＝17O→－5O→－30O→. P A B C
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基 底，给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O


M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

x k O i
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k


z

建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6

3.1.4的正交分解及其坐标表示

都是右手直角坐标系.
x o
z
y
空间直角坐标系的画法:
z
1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同，
x轴上的单位长度为y轴（或z 轴）的单位长度的一半．
1350
y
x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
c
Ａ(a,b,c) b
z
A1 B1 A C1
Q
D1
( 2, 2, 0 ) ( 0, 2, 0 ) C________,D_________
( 0, 0, 2 ) ( 2, 0, 2 ) A1 ________ B1 ________
y
D
B
( 2, 2, 2 ) ( 0, 2, 2 ) C1 ________, D1 ________ . x
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0），// b的 （ b a 充要条件是存在实数，使a＝ b。
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
在空间选定一点O和一个单位正交基底{ i , j , k } 以点O为原
对空间任一向量 a
,由空间
z a
k
向量基本定理，存在唯一的有序实 数组 (a , a , a ),使 a a i a j a k . 1 2 3 1 2 3
OP xOA yOB zOC.
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件

3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(张用)

6 3 3
C
B
1 1 1 1 解:OQ OM MQ OA MN OA (ON OM） 1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6
2
3
2
3
O
M A
Q
P B N
C
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , b c ⑴用 a 、 、 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
例题讲解：
例1 设 x a b, y b c , z c a , 且 a , b, c 是空 间的一个基底,给出下列向量组 ① a , b, x ② x , y , z ③ b , c , z ④ x , y , a b c
分析: ⑴ 这种表 示式的寻 找 ,只 要结合图形,充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化 b c 为基向量 a 、 、 的有关运算来处理,而且不用添 辅助线及作证明.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , b c ⑴用 a 、 、 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
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鹿邑二高导学案
高二年级数学学科 编写人：紫气东来审核人：-----备课组长签字：
课题：§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课时：3 本期总课时：
I 、（1）课标考纲解读：能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

（2）状元学习方案：小组讨论与训练相结合。

II 、1.学习目标
（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

（2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

2.学习重点、难点：
（1）空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

（2）坐标判断两个空间向量平行。

3.学法指导：通过自学讨论与课堂训练相结合。

4.知识链接：空间向量的数量积。

III 、学习过程
1．情景创设：
平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：
如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k
作为基向量，对于空间任一向量a
，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，
z ），使a xi y j z k =++ ；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a
的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a
＝（x ，y ，z ）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA
是确定的，容易得到
O A =
xi y j z k ++ 。

因此，向量OA 的坐标为O A =
（x ，y ，z ）。

这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。

类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。

设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），
y
k i
A(x,y,z)
O j
x
z
a －
b ＝（112233,,a b a b a b ---），
λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。

空间向量平行的坐标表示为
a ∥
b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。

例题分析：
例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。

例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。

1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单
位正交基底，用{,,}i j k
表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k
的方向为正方向建立三条数轴：
x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐
标系O xyz -，点O 叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zO x 平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ， ，使 ，有序实数组 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 ，x 叫 ，y 叫 ，z 叫 ．
例4：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。

例5：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。

IV、当堂检测
1求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点
2．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A的坐标是（）
A、(-2,3,0)
B、(-1,3,5)
C、(3,-1,2)
D、(0,2,-2)
3．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（）
A、(-2,7,1)
B、(-3,7,0)
C、(1,-7,0)
D、(1,2,5)
V、总结与反思。