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保险精算课件 第4章生存年金

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保险精算生存金

保险精算生存金

调整策略
定期评估：根据市场环境和公司策略，定期对保险精算生存金进行调整。
风险控制：根据风险评估结果，对保险精算生存金进行调整，以降低风险。
客户需求：根据客户需求和市场反馈，对保险精算生存金进行调整，以提 高客户满意度。 竞争环境：根据市场竞争情况，对保险精算生存金进行调整，以提高竞争 力。
PART 5
单击此处添加标题
保险精算生存金的计算通常基于被保险人的年龄、性别、生命表数据和预定利率等因素，通过精算技 术来确定。
单击此处添加标题
保险精算生存金的给付通常在合同约定的时间点或期间内进行，例如每年或每几年给付一次。 给付的金额通常与合同约定的金额或比例相符，但也可能受到某些因素的影响，例如市场利 率的变化或公司的经营状况。
PART 1
保险精算生存金的定义
保险精算生存金的含义
单击此处添加标题
保险精算生存金是指在保险合同有效期内，被保险人生存的情况下，保险公司按照合同约定的金额或 比例给付给被保险人或受益人的保险金。
单击此处添加标题
保险精算生存金通常作为长期人寿保险合同的附加条款，旨在为被保险人提供一种经济保障，以应对 未来可能出现的生存风险。
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保险精算生存金
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
时间：20XX-XX-XX
目录
01
02
03
04
05
保险精算生 存金的定义
保险精算生 存金的计算 方法
保险精算生 存金的应用 场景
保险精算生 存金的评估 与调整
保险精算生 存金的未来 发展
保险精算生存金的未来发展
科技对保险精算生存金的影响

社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件

社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件

3 两全保险
精算现值
Ax:n
A1 x:n
A1 x:n
4 变额寿险 (IA)1x:n
投保时点
[t 1]vt
[t 1]
t
死亡
赔付时点
0
理论公式 实用公式
x
xt
n
时间
(IA)1x:n
n
[t
0
1]vt
t
px
xt dt
(
IA
)
1 x:n
i
(
IA)
1 x:n
习题： P.61 第1、2题。
人寿与年金保险精算（1）
§2.1 人寿保险 ： 终身寿险、定期寿险、两全寿险、 变 额寿险的精算现值的计算
§2.2 生存年金：生存年金的精算现值的计算 §2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正的责任准
备金
基本概念
2.1 人寿保险（Life Insurance）
广义
以人的死亡、伤残、疾病和年老 等为保险标的。
狭义 以人的死亡为保险标的。
终身寿险
定期寿险
两全寿险
终身寿险
保险期从投保到被保险人死亡。
被保险人死亡时，对指定受益人赔付保 险金。
定期寿险
保险期由契约规定。
被保险人如果在契约期内死亡，赔付保 险金。如果期满时没有死亡，不赔付。
两全寿险
保险期由契约规定。
v d xk 1 xk
Ax
k 0
vx lx
k0 vxlx
Ax
Mx Dx
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点

保险精算第4章(2)

保险精算第4章(2)

6
10 2 Ax
10
v2t
fT
( t )dt
0.04 e 10(2 0.04)
2 0.04
0.1486
Var( Z ) 10 2Ax ( 10 Ax )2 0.1249
Pr( Z 0.5 ) Pr( Z 0) Pr(0 Z 0.5 )
10
Pr( Z 0) Pr(T 10) 0 fT (t) dt 0.32968
(
A1 x:n
)2
8
例4.6：设s( x) 1 x , 0 x 100，i 0.1, 100
计算（1）A30:110|
(2)Var(Z )
(1)
A1 30:10
v10 10 p30
1.110 60 70
0.33
(2) Var( Z ) v20 10 p30
A1 30:10
NSP
20000 A1 30:20|
30000
A1 30:20|
11
思考：延期m年的n年期两全保险的精算现值如何表示 ？
12
第四章 人寿保险的精算现值
1
死亡即付的人寿保险复习
• 趸缴纯保费的厘定原则
净均衡原则，趸缴纯保费就等于 E(zt )
• n年定期寿险的精算现值
A1 x:n
E(ZT )
n vt
0
fT
(t )dt
n e t
0
fT (t )dt
Var ( ZT
)
2 A1 x:n
( A1 x:n
)2
2
死亡即付的人寿保险复习
Pr(0 Z 0.5 ) 0.5 0.32968 0.17032
Pr(0
Z

《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费

《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费
（2）半连续式的年缴纯保费
答案
答案
全离散式分两次缴付的年缴纯保费计算 半连续式分两次缴付的年缴纯保费计算
例 4.5.2
对于（40）的人，投保5000元的全离散 式25年定期保险，用换算函数表和年利 率6%。在UDD假设下求：
（1）普通年缴纯保费 （2）季缴纯保费 （3）月缴纯保费
x xx
xa
x
终身寿险-普通
下面考察保险人损失L的方差
(3)Var
(
L)
Var
(v
K
1
Px
a K
1
)
Var(vK 1
Px
1 vK 1 d
)
Var(vK 1(1
Px d
)
Px d
)
(1 Px )2Var(vK 1) d
(1
Px d
)
2[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
60
【每年分m次缴费的年均纯保费】
在每年分m次缴付的年均纯保费P,每次 缴付纯保费为x元,其计算方法是:
用符号 P(xm)表示保险金额为一个单位的全
离散式普通终身寿险,且每年分m次缴付
的年均衡纯保费.m=2、4、12，故每次缴
纳的纯保费应该是
P(m) x
m
【每年分m次缴费的年均纯保费】
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 终身寿险半连续式寿险为例
m年递延终身生存 保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax
)
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm

《保险精算学年金》PPT课件

《保险精算学年金》PPT课件

a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。

保险精算第4章(3)

保险精算第4章(3)

i=10%，求这一保单的精算现值。
64
解： 20000 A40 20000 vk1 q k| 40 20000 vk1 k|q40
k0
k0
q k| 40
k
p40 q40k
l40k l41k l40
1 ,(0 k 65) 65
于是20000
A40
20000
64
（
1
）k + 1
4
一、终身寿险
模型：(x)，bk 1, k 0,1, ,贴现函数vk1 于是 Zk 1 vk1; k 0,1, ,
精算现值E(Zk ) vk1 k|qx k0 记为 Ax
5
Ax表示x岁投保，保险金额为1个单位的终身寿险， 并在死亡年度末给付的保单的精算现值。
A v q x
k0
k 1 k|
x
v k 1
k0
dxk lx
lx Ax v k1d xk k0
表明：lx在 x 投保终身寿险的趸缴纯保费总额正好
等于生命表中在死亡年度末死亡人数的单位赔付。
6
例4.8：某人在40岁时买了保险额为20000元的终身
寿险，死亡年度末给付，假设他的生存函数可以表示
为
x
lx
1000
(1
) 105
4
解：
1000
A1 55:5|
50000
v k 1 k p55 q55k
k0
1000
k
4
0
1 1.06
k
1
l55 k l55
l55k l55k 1 l55 k
1000
k
4 0
1 1.06
k

保险精算第四章

保险精算第四章

1. 设生存函数为()1100xs x =-(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10Ā的值。

(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

1010130:10001010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t ttt x x t tt tx x t x s x t s x p s x xAv p dt dt Var Z A Avp dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2．设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。

(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4113536373839234535:53511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：4113536373839234535:53511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++=∑ 法二：1354035:53510001000M M A D -=查换算表1354035:53513590.2212857.61100010001000 5.747127469.03M M A D --===（2）1353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.581000100010001000 1.126127469.03144.471000100010001000 1.203120110.22145.941000100010001000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D =============== 1393939:1393536373839148.050 1.389106615.43150.551000100010001000 1.499100432.541000() 6.457C p AD p p p p p =====++++=（3）1112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5A A vp A v p A v p A v p A Ap p p p p =++++∴<++++3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1）1:20x A 。

第四章 年金保险 《人身保险》PPT课件

第四章 年金保险 《人身保险》PPT课件
开始领取的这一段时期，即为递延的年金的基金积累期，这通常为数年，甚至 数十年。
11
• （二）年金发放期 • 通常又可以称为清偿期或年金给付期，一般而言，年金保险在积累期终了，即
是年金发放期的开始，年金发放期的长短要看保险合同的约定，有一次性领取
的，也有在确定保证期间领取的，还有以被保险人生存为领取条件的。
投保人利益得到较好保护。 • 4、 可提供最低保险利益保证，投资人免受较大的投资损失。 • 5、 提供年金给付方式或年金转换权 • 6、 在一些国家和地区可享受税收优惠 • 7、 个人财务出现困境时，人身保险可免于强制清偿债务。
23
作为投资连接保险，变额年金保险与变额寿险一样，其投资收益的高低取决于 不同的投资组合和保险公司的投资管理能力，同时还受到宏观经济环境的影响。
26
第五节 个人税收递延型商业养老保险
• 一、个人税收递延型商业养老保险的含义和特点
• 含义： • 所谓个人税收递延型商业养老保险，简称个人税延型养老保险，是指
以养老保障为目的的年金保险。它是投保人缴纳的保费在一定金额之内 可以在税前工资中扣除，而在将来退休后领取保险金时再缴纳个人所得 税的养老保险。 它不是政府主导强制购买的保险，而是一种个人自主缴费的商业保险 • 特点： • 税收递延、收益稳健、管理透明、转换方便
可以按年、季、月、日等进行，一般以按年的居多。 •。
2
• 2.年金保险(Annuity Insurance) • 年金保险是指在被保险人生存期间，保险人按照合同约定的金额、方式，在
约定的期限内，有规则的、定期的向被保险人给付保险金的保险。 年金保险具有生存保险的特点 年金产品的保险金可以按年、半年、季度、月支付，一般支付的时间较长，且

社会保险课件 第四章 社会保险精算

社会保险课件 第四章 社会保险精算

累积额受本金的影响，本金越大，经过一定时期的累积额越大。 为了反映单位本金的增值情况，引入累积函数a（t）。
显然，a（0）=1，A（t）=A（0）·a（t），因此，a（t） 是单位本金经过t时期后的增值额函数。理论上，t可以用不同 的单位来度量，如日、月、季、年等，最常用的是年。
a（t）通常为t的连续函数，理论上a（t）可以是增函数，也 可以是减函数，但我们总是希望它是增函数，这样，才能保证 总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时， a（t）也表现为不连续的阶梯函数。
相关概念
利息：产生于资本的借贷行为，奴隶制社会就存在。对资 本借出者来说是报酬，对资本借入者来说是获取资本使用 权的代价。 本金：指初始转让或投入的资本金额。 终值：又称积累值，指本金经转让后，经过一定时期收回 时的本息总金额。积累值-本金=利息 现值：指一定数额的终值采取某个利率换算成本金的数额。 利息率：一定时期内（通常为1年）的利息与本金的比例， 反映单位时期内资本增值的能力。
2.利息率
衡量资金生息水平的指标是利息率，它表示单位本金在单 位时间内所滋生的利息。
如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的利息率就
是实际利率，以 in 表示第n个基本计息时间单位的实际利
率，有
in
an 1本金的利息就是实际
1.累积函数
我们把最初投资的滋生利息的款项称作本金，把本金经过 一定时期后形成的金额称为累积额，它是本金与利息之和， 又称为本利和。 以t表示本金投资使用的时间长度，A (t)表示t时资金累积额， 它是t的函数，称为总额函数。 当t=0时，A（0）就是本金，这里只讨论t≥0的情况，利 息是累积额与本金之差，以I（t）表示从0到t时的利息， 有 I（t）=A（t）-A（0） 或 A（t）=A（0）+I（t）

保险精算第四章08统计

保险精算第四章08统计

2 m
Ax − ( m Ax )
2
延期m年的n年定期寿险
符号：A x:n m 厘定：
m
Ax:n = E ( Z ) = ∫ =∫
m+n 0
m+n
m
zt fT (t )dt
m 0
zt fT (t )dt − ∫ zt fT (t )dt
1 x:m
= Ax:m + n − A
例2.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险，保 额1元。 保险金在死亡即刻赔付。 已知
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
ω bt
vt
时值
zt
——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。 ——保险给付金在保单生效时的现
zt = bt ⋅ vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
)
2
例2.1
设
x S ( x) = 1 − 100 i = 0.1 , 0 ≤ x ≤ 100
计算
（）A30:10 1
1
(2)Var ( Z )
例2.1答案
S ′( x + t ) 1 (1) fT ( t ) = − = S( x) 100 − x
1 A30:10 =
∫
10
0
v t f 30 ( t )dt =
fT (t )dt − ( EZ )
−2δ t t
2
记
2
Ax = ∫ e
0
ω
−2δ t
fT (t )dt = ∫ e

生存年金保险精算原理与实务课件方案策划

生存年金保险精算原理与实务课件方案策划
生存年金保险的特点
以被保险人生存为条件，与被保险人 的寿命相关，因此其精算基础和模型 与定期寿险和死亡年金保险存在较大 差异。
生存年金保险精算基础
生命表
用于描述人口死亡率的表格，是生存年金保险精算的重要基础。生命表中包含 了不同年龄和性别的死亡率数据，是计算生存年金保险费率的重要依据。
利率
生存年金保险的另一个重要精算基础是利率，它影响着保险金的现值和未来值。 在计算生存年金保险费率时，需要假设一个合理的利率水平，以便在较长的保 险期间内平衡保险公司的给付责任。
生存年金保险精算模型
生存年金保险费率计算模型
根据生命表和利率等精算基础，可以建立生存年金保险费率 计算模型。该模型用于计算不同年龄和性别被保险人的保险 费率，以确保保险公司在整个保险期间内的给付能力。
生存年金保险给付模型
该模型用于计算在不同年龄和性别被保险人生存的情况下， 保险公司需要给付的保险金。给付模型根据生命表、利率和 合同约定的给付条件进行计算，以确保保险公司能够履行合 同义务。
品牌信誉
知名保险公司凭借良好的品牌信誉和口碑，在市场竞争中占据优 势地位。
渠道优势
拥有广泛销售渠道和网络布局的保险公司能够更好地覆盖目标客户 群体，提高市场占有率。
产品差异化
各保险公司通过推出具有特色的生存年金保险产品，满足不同客户 群体的个性化需求，提升市场竞争力。
04
生存年金保险风险管理
生存年金保险风险识别
需求脱节，无法吸引客户购买，最终以失败告终。
ZZ生存年金保险
03
由于定价过高、保障不足，导致该产品在市场上缺乏竞争力，
无法与同类产品抗衡，最终被市场淘汰。
案例启示与建议
精算原理在生存年金保险产品设计中的重要性

年金精算现值ppt课件

年金精算现值ppt课件

给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为
ax
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为
Y
aT
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v sds
0
v s ln v |0t
vt lnv lnv
a 1 vT
T
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
6
v k k p14
k4
4000( v 4 .4 p14 v 5 5 p14 v 6 6 p14 )
4000( v 4 l18 v 5 l19 v 6 l20 )
l14
l14
l14
二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系
假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量，Y为年金给付的
现值的随机变量。
－
－
力＝0.05,计算：（1）ax（2）ax 足够用于实际支付年金的概率。
解:
ax
0
t
px v t dt
t px
t fT (t )dt
0.015e 0.015t dt
t
e0.015t
ax
e0.015t .e0.05t dt
0
e 0.065t dt
0
e 0.065t 0.065
n Ex Ax:1n vn n px
注： nEx
Ax:1n称为精算折现因子,
1 n Ex
称为累积因子
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，
可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。
（2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值

保险精算第4章(1)

保险精算第4章(1)
3
二、人寿保险的分类
• 保障标的的不同
– 人寿保险（狭义） – 生存保险 – 两全保险
• 保障期是否有限
– 定期寿险 – 终身寿险
• 保单签约日和保障期期始日是否同时进行
– 非延期保险 – 延期保险
4
三、人寿保险的性质
• 保障的长期性
– 从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的 因素。
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性
vt vt , 0 t n;
1 , 0 t n bt 0 , t n
13
一、n年定期寿险的精算现值
vt vt , 0 t n;
1 , 0 t n bt 0 , t n
vt , 0 t n zt btvt 0 , t n
精算现值E( ZT )
n
0 zt fT (t )dt
60
ln0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
20
中精试题
E
21
例4.3:(x)死亡时即付的终身寿险，若死力和息力 均为常数，
则其精算现值可表为？
Ax
0
e t
t
px xt dt
e t etdt
0
2Ax 2
当结论记！注意前提
22
• 死亡即刻赔付的含义
– 被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保 险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。
– 保险公司通常采用的理赔方式。 – 死亡即付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日
的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
10
回顾：剩余寿命（ T(x) ）的生存函数
T ( x)的分布函数FT (t)
金在死亡即刻赔付，签单时(x)的剩余寿命的密度函

保险精算学生存年金精算现值共43页

保险精算学生存年金精算现值共43页
保险精算学生存年金精 算现值
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

生存年金保险精算原理与实务课件方案策划

生存年金保险精算原理与实务课件方案策划
风险分类
将识别出的风险因素进行分类， 以便更好地理解和应对不同类型 的风险。
生存年金保险风险评估
评估风险大小
运用精算技术和统计方法，对识别出 的风险因素进行定量评估，确定其对 生存年金保险业务的影响程度。
制定应对策略
根据风险评估结果，制定相应的风险 应对策略，包括风险分散、风险转移 、风险自留等。
付年金。
联合生存年金保险
在被保险人共同生存的情况下 ，保险公司按约定的方式给付 年金。
附加生存年金保险
作为主险的附加险种，在被保 险人生存时提供额外的年金给 付。
投资型生存年金保险
将生存年金与投资相结合，通 过投资收益来提供年金给付。
生存年金保险的定价策略
01
02
03
风险评估
对被保险人的健康状况、 年龄、性别等进行风险评 估，以确定保费水平。
生存年金保险风险控制
监控风险变化
定期对生存年金保险业务的风险状况进行监控，及时发现和 应对风险变化。
调整风险管理策略
根据风险变化情况，适时调整风险管理策略，确保风险管理 效果的最优化。
05 生存年金保险案例分析
成功案例分享
案例一
平安生存年金保险
背景介绍
平安保险公司推出的一款生存年金保险产品，针 对有一定储蓄需求的客户群体。
生存年金保险精算原理与实务课件 方案策划
目 录
• 生存年金保险精算原理 • 生存年金保险实务操作 • 生存年金保险市场分析 • 生存年金保险风险管理 • 生存年金保险案例分析
01 生存年金保险精算原理
生存年金保险的定义与分类
生存年金保险的定义
生存年金保险是一种特殊的人寿保险产品，被保险人在保险期间内生存时，保险 公司按照合同约定给付保险金。
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m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
编辑课件ppt
11
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
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15
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
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16
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
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5
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
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6
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
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25Байду номын сангаас
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
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26
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
＊期初付和期末付年金之间的关系
ax ax 1
max maxmEx
a x:n
1a x:n
nEx
m ax m1 ax
a 1a
x:n
x:n1
mnax m1nax
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14
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生
存年金，利息力 0.03 。死亡密度为
f(x)0.02e0.02x.
求保单的趸缴净保费。
（1）ax
E(a ) T
a
0t
fT(x)(t)dt
1vt
0
t
pxxtdt
(2) ax
vt
0
t
pxdt
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19
2.连续定期生存年金
n
(1 )a x： n0a ttp x x tdtnp xa n
(2)
a x:n
nvt
0
t
pxdt
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20
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
lxnE x(1i)nlxn
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2
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 的生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12
4.延期m年n年定期连续生存年金
m a x :n m m n v ttp x d t a x :m n a x :m m E xa x m :n
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23
※生存年金递推公式
ax1vpxax1
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24
5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 1dax Ax
解释： (x)投保时的1单位元等于(x)在存活期 每年初的1单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 1单位元赔付现值之和
岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 该保单的趸缴净保费。
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17
5.3 连续生存年金
＊连续年金
年支付额为1个单位的t年期连续年金的现值为
a t a1(s)ds
t
0
常数利率情形下：
a t vsds 1vt
t
0
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18
1.连续终身生存年金
ax kEx vkk px
k0
k0
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
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7
• 期末付终身生存年金
ax kEx vkk px a x 1
k1
k1
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8
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
f(t)0.015e0.015t(t0), 利息力为0.05。试计算精算现值 a x ，
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
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21
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05, 试计算精算现值 a 50 :10
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22
3.延期m年连续生存年金
m a xm v ttp x d t a x a x:m m E xa x m
50000 0.5918985 991353 995225
29479.78 (元)
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3
＊利率和生者利下的
累积系数 折现系数
1 1 (1i)n lx
nEx vn n px
lxn
nEx t Ex nt Ext
也叫精算累积因子和精算折现因子。
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4
练习:
1. 计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。
m n1
m n a x
kEx
k m 1
a a
x:mn
x:m
m E x axm :n
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12
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
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13
第4章 生存年金精算现值
5.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险
人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。
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1
注：在生存年金研究中，习惯用 n E x 表示1
单位元纯生存保险的精算现值，即
nEx Ax:1n vnnpx
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9
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
n1
n1
a x:n
kEx
vkkpx
k0
k0
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
kEx
vk k px
k1
k1
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10
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
m a x k E x
km
精算
现值
ax
a x:m