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统计量及抽样分布

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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布

概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z

统计学第6章统计量及其抽样分布

统计学第6章统计量及其抽样分布

整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
整理ppt
8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
整理ppt
9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
整理ppt
22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：

第6章-统计量及其抽样分布

第6章-统计量及其抽样分布
2、计算出每个样本的统计量值； 3、将来自不同样本的不同统计量值分组排列，把
对应于每个数值的相对出现频数排成另一列， 由此，全部可能的样本统计量值形成了一个概 率分布，这个分布就是我们想要得到的抽样分 布。
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
所有样本均值的均值和1.0 1.5 4.0 16
2.5 m
n
(xi mx )2
s
2 x
i 1
M
M为样本数目
(1.0 2.5)2
(4.0 2.5)2
s2
0.625
16
n
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
从检查一部分得知全体。
复习 抽样方法
抽样方式
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
6.2.1 抽样分布 (sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
抽样分布的形成过程 (sampling
distribution)

贾俊平《统计学》第6章_统计量及其抽样分布

贾俊平《统计学》第6章_统计量及其抽样分布

第 6 章 统计量与抽样分布
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 统计量 关于分布的几个概念 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布
6.1 统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计量的概念
统计应用
“抓阄”征兵计划
然而结果是，有73个较小的号码被分配给了前半 年的日子，同时有110个较小的号码被分配给了后 半年的日子。换句话说，如果你生于后半年的某 一天，那么，你因为被分配给一个较小号码而去 服兵役的机会要大于生于前半年的人 在这种情况下，两个数字之间只应该有随机误差 ，而73和110之间的差别超出了随机性所能解释的 范围。这种非随机性是由于乒乓球在被抽取之前 没有被充分搅拌造成的。在第二年，主管这件事 的部门在抓阄之前去咨询了统计学家(这可能使生 于后半年的人感觉稍微舒服些)
一个任意分 布的总体
x

n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
x
抽样分布与总体分布的关系
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本
样本均值 正态分布
样本均值 正态分布
样本均值 非正态分布
样本比例的抽样分布
比例
(proportion)
总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总 数之比
布可用正态分布近似。 推断总体比例的理论基础。
样本比例的抽样分布
(数学期望与方差)
样本比例的数学期望
E ( p)
样本比例的方差

重复抽样

2 p

概率论与数理统计教案统计量和抽样分布

概率论与数理统计教案统计量和抽样分布

概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。

2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。

3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。

2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。

四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。

2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。

3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。

3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。

2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。

3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。

七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。

2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。

3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。

八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。

2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。

3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

数理统计学：统计量与抽样分布

数理统计学：统计量与抽样分布
主要内容
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n

第六章 统计量及其抽样分布

第六章 统计量及其抽样分布

样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分 布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下

第 一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观 察值1 2
3
4
11
1.
20.

52. 0.
5
21
2.
25.

03. 5.
0
23
2.
30.

53. 0.
5
24
3.
35.

04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章 统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律 （1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平 均数估计总体平均数提供了理论依据。 （2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率 提供了理论依据 2、中心极限定律 （1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体 中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u， 方差为s2/n的正态分布。 （2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足 够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)

抽样分布样本统计量的分布及其应用

抽样分布样本统计量的分布及其应用

抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。

而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。

样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。

1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。

当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。

其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。

最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。

2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。

其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。

卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。

3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。

例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。

通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。

3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。

基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。

常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。

3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。

通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。

例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。

3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。

抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。

例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。

第6章_统计量及其抽样分布

第6章_统计量及其抽样分布
【例】设X~N(0，1)，求以下概率： (1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)； (3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2)
解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=0.9332
(2) P(X >2)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1<X 3)= P(X 3)- P(X <-1)
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z X ~ N (0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
3. 标准正态分布的分布函数
x
x
(x) (x)dt
1
t2 -
e 2 dt
均值和方差
总体分布
N
Xi
i1 2.5
N
N
(Xi )2
2 i1
6.1.2 常用统计量
• 样本矩 ： • 设x1,x2,…,xn是一个大小为n的样本,对自
然数 k，分别称
为k阶
样本原点矩和k阶样本中心矩, 统称为样本 矩。许最常用的统计量，都可由样本矩构 造。例如，样本均值 （即α1）和样本方差
6.1.3 次序统计量
• 把样本X1,x2，…，xn由小到大排列，得
4. 结果来自容量相同的所有可能样本
6.2.2 渐进分布
• 由于寻找精确的抽样分布有困难，统计学 者转而研究当样本大小 n→∞时统计量的渐 近分布(即极限分布)，这种研究是数理统计 大样本理论的基础性工作。
6.2.3 随机模拟获得的近似分布

第6章_统计量及其抽样分布

第6章_统计量及其抽样分布
第 6 章 统计量及其抽样分布
统计量 抽样分布 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差和两个样本比例之 差的分布 6.7 样本方差的分布 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
6.1 统计量
6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量
x
用Excel计算F分布的概率和临界值
1. 利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算F分布右尾 的概率值
语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
2. 利用【FINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度 时的相应临界值
语法： FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
用Excel计算2分布的概率（续）
计算自由度为8，随机变量2值大于10的概率？
用Excel计算2分布的概率（续）
计算自由度为10，随机变量2分布右尾概率为0.1 的临界值？
t分布 (t distribution)
历史：William Gosset于1908年提出的，由于其经常用 “student”为笔名发表文章，其所提的此分布也称为学生 分布(student’s t)。
样本确定后，统计量的值总是可以计算出来。
常用统计量
设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，
1.样本平均数X 源自Xi 1n
i
n
n
X1 X 2 X n n
2.样本方差 3.样本比例
s2
2 ( X X ) i i 1
n 1

概率与统计中的统计量与抽样分布

概率与统计中的统计量与抽样分布

概率与统计中的统计量与抽样分布在概率与统计学中，统计量与抽样分布是两个重要的概念。

统计量是用来描述样本数据的特征，而抽样分布则是研究统计量在重复取样过程中的概率分布。

本文将介绍统计量和抽样分布的基本概念，并对其在概率与统计学中的应用进行讨论。

一、统计量的定义与分类统计量是用于对样本数据进行总结和描述的量。

它通过计算样本数据的函数得到，可以是一个数值、一个向量或一个矩阵。

常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本标准差等。

样本均值是最常用的统计量之一，表示样本数据的平均水平。

对于一个具有n个观测值的样本，样本均值的计算公式为：1/n样本均值= Σ xi * -------i=1其中，xi表示第i个观测值。

样本方差是衡量样本数据分散程度的统计量。

它的计算公式为： 1/n样本方差 = Σ(xi - x)^2 * -------i=1其中，xi表示第i个观测值，x表示样本均值。

除了样本均值和样本方差，还有许多其他的统计量，如样本中位数、样本偏度、样本峰度等。

这些统计量在实际问题中起着重要的作用，可以帮助我们理解和分析数据。

二、抽样分布的基本概念抽样分布是指在某一总体中，从中抽取样本的所有可能组合，并计算其统计量的概率分布。

抽样分布的性质是概率论和数理统计中的重要内容。

它与样本容量、样本分布以及统计量的选择有关。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布。

其中，正态分布是最重要和最常用的抽样分布，具有许多重要的性质。

对于均值为μ、方差为σ^2的正态总体，样本均值的抽样分布也服从正态分布，其均值为μ，方差为σ^2/n。

这一性质被称为中心极限定理，是许多统计推断方法的基础。

t分布是在样本容量较小、总体标准差未知的情况下使用的抽样分布。

t分布的形状与样本容量有关，当样本容量较大时，t分布逼近于标准正态分布。

F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。

F分布的形状取决于两个样本容量的大小，具有非对称的特点。

统计量和抽样分布

统计量和抽样分布

4
⑴
X
2 i
;
i 1
⑵
1 4
4 i1
Xi 2;
1 4
2
⑶
2 i 1
Xi X
.
解
由定义即知⑵不是统计量, 而⑴⑶是.
同济大学数学系&人民邮电出版社
一、样本均值和样本方差
第6章 统计量和抽样分布 22
设 X1, X 2 ,L , X n 为取自总体的一个样本，称
⑴样本均值
1n X n i1 Xi
由此可得：
M 2 1 n n i1
Xi X
2 =ˆ Sn2 ,
相应的观测值
Sn
1n n i1
Xi X
2
sn2
1 n
n i 1
xi x 2，sn
1n n i1
xi x
2
同济大学数学系&人民邮电出版社
一、样本均值和样本方差
第6章 统计量和抽样分布 25
注 S 2 , Sn2 在计算时的另一表达形式:
分别求 E
X
,D
X
,E
S2
,
E
1 n
n i 1
X
2 i
.
（1） X ~ B(1, p) ；（2） X ~ E() ；（3） X ~ U (0,2 ), 其中 0 ．
解 由定理可得
E X E X ˆ , D X D X ˆ 2 , nn
E S 2 D X 2，
统计量的定义
第6章 统计量和抽样分布 20
不含有未知参数的样本的函数 g X1,L , Xn 称为统计量.
例1 假设总体 X ~ U 0, , X1, X 2,L , X n 为取自该 总体的一个样本,

贾俊平《统计学》第五版第6章_统计量及其抽样分布

贾俊平《统计学》第五版第6章_统计量及其抽样分布

6. 3. 3 F分布 定义6.5 设随机变量Y与Z相互独立，且Y与Z分别服从自 由度为m和n的 2 分布
Y ~ 2 (m)
Z ~ 2 (n)
（6. 5）
Y/m nY 则称 X Z/n mZ
X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为 F(m,n)，简记为X～F(m,n) 。
1 ( X i X )2 n 1 i1
2 2 (n 1)S x (m 1)S y
n
Sy
2
1 m (Yi Y )2 m 1 i1
S xy
nm2
6 - 23
( X Y ) ( 1 2 ) mn ~ t (n m 2) （6. 4） S xy mn
6-3
统计学(第三版)
6. 1
统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念 统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6-5
统计学(第三版)
统计学(第三版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
证明：
X 1 1 X , Y i Yi n i 1 m i 1
n m
Sx
2
1 n 1 m 2 2 (Xi X ) , Sy (Yi Y ) 2 n 1 i 1 m 1 i 1
2
(n 1) S x
但对于较小的 n, t分布与N(0,1) 分布相差很大.
6 - 20
统计学(第三版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布

第六章统计量及其抽样分布(统计学贾俊平)

第六章统计量及其抽样分布(统计学贾俊平)
1908年在一篇以“Student”为笔名的论文中首次 提出的。
2 分布， X ~ N ( 0 ， 1 ) ， Y ~ ( n ) 2. 定义6.4 设随机变量 X 其分布称为t分布， 且 X与Y 独立，则 t Y /n
记为t(n)，其中n为自由度。
6.3.2
3. t分布的概率密度函数曲线
2. 定义6.5
设随机变量 Y与Z 相互独立，且 Y与Z 2 分别服从自由度为m和n的 分布，随机变量X
Y/ m nY 有如下表达式： X Z/ n mZ
则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的
~ F ( m ， n ) F分布，记为F(m，n)，简记为 X
6.3.3
3. F分布的概率密度函数曲线
平方和
n
i 1
X i2 服从自由度为n的 2 分布。
3. 自由度是统计学中常用的一个概念，可以解释 为独立变量的个数。
6.3.1
2

2
分布
X 4. 设 X~ N ( ， ) ，则 Z ~N ( 0 ， 1 )
1 ) 令 Y Z2，则 Y ~ 2( 2 ( n ) 分布的概率密度函数曲线为 5.
n X 10 9 . 9 10 P ( Z 1 ) P ( ) P ( Z 1 ) P (X 9 .9 ) 0 . 1 0 . 1 1 ( 1 ) 1 0 . 8413 0 . 1587 1 P ( Z 1 )
统计量概念的例题
， X ， ， X 【例6.1】设 X 是从某总体X中抽取的 1 2 n
一个样本，判断下列各量是否为统计量。
1 n (1 ) X Xi n i1
2 ( 3 ) [X E ( X )] i i 1 n

统计量与抽样分布

统计量与抽样分布

(2) 设 2~2 (n )则 ,E （ 2 ） n ,D (2 ) 2 n .
证明 (1) 由2分布的定义易得证明．
(2) 因为 2 ~ 2(n ), 存在相互独立、同分布于
n
N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使
2
X
2 i
i1
则
n
n
n
E(2)E( Xi2)
E
(
X
2 i
)
D(Xi) n
D(X)
n
n
E(S2)D(X)2
E(S2
)
1 n En1i1(Xi
X)2
En11i n1
Xi2nX2
n1 1i n1E(Xi2)nE (X2) n1 1i n1(22)nn22 2
6.2.1 统计量
由辛钦大数定理和依概率收敛的性质可以证明
定理6.2 设总体X的k阶原点矩E(X k) = k存在（k
即X~N(80,100)0
16
故
X800 778 500
P{X77 }5P
10
10
P X 18000 2.5 1 (2.5)0.0062
6.2.2 抽样分布
【例6.6】设总体X～N(，102)，抽取容量为n的样本，
样本均值记为 ．欲X 使 与 X 的偏差小于5的概率大于 0.95，样本容量n至少应该取多大？
y2)，…，(xn，yn)，则下列各量为统计量：
(1)
样本协方差
1n SXY n1i1(Xi X)Y (i Y)
(2) 样本相关系数 RXY
其 SX中Y 和SRX 2XY 常n1分1i n别1(X 用i 来X作)2,
SXY
S为SY X2S总Y n体11Xin和1(YYi 的Y)协2

6.2.常用统计量及抽样分布

6.2.常用统计量及抽样分布

1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
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第六章 统计量及抽样分布概率论和数理统计都是研究随机现象规律性的数学分支。

（1） 概率论特点：先提出随机现象的数学模型，然后研究其特性和规律 （2） 数理统计：（3） I ）以概率论为理论前提，从实际观测或试验出发； II) 研究如何有效的收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并为之建立适当的数学模型；III)对其进行检验，在此基础上对所研究的问题作出推断和预测，为采取行动和决策提供依据和建议。

§1总体、样本与统计量一、总体与样本在实际问题中，我们往往只能通过观察和试验来获取研究对象的信息，但是，如果要把 全体研究对象逐个一一检查，常常是不必要或不可能的. 如：（1）对自动生产线上高速生产的零件逐个检查，要耗费很多的人力、物力、财力及时间，且非必要；（2）为考察某些产品如灯泡的寿命，横梁的耐冲击强度等而进行的破坏性试验，逐个检查将使生产失去意义 所以，实际问题中，只能也只需通过测试部分对象的数据，由此来推断全体研究对象的性质，由部分推断总体。

这是数理统计面对的基本问题。

1、 总体：研究对象的全体，如一批灯泡的寿命具体：研究对象的某个或某几个特性的数量指标，所有的可能取值所构成的集合。

如，研究对象：一个城市的居民家庭；X ：人均收入；Y ：人均支出；Z ：人均居住面积，则三个总体：{}()()(){}()()(){}121122111222,,...,,,,,,,,,,,,,n X X X X X Y X Y X Y X Y Z X Y Z X Y Z === 通常我们学习研究对象的一个特性的数量指标，所有可能取值所构成的集合。

如，X ：灯泡寿命，总体{}12,,X x x =，其中灯泡是研究对象，寿命是数量指标。

2、 个体：组成总体的每一个基本单元（集合中的元素）3、 样本：从总体中随机地抽取几个个体所组成地集合，称为总体地一个样本：()12,,n X X X ，通常看为n 维随机变量（1） 样本容量：样本中所含个体地个数n ，()1,2,n =≤总体中个体元素个数（2） 样本值：12,,n X X X 的一个观测，记为：12,,n x x x4、 抽样：从总体中抽取样本的过程。

这里指随机抽样。

目的：通过样本得到总体的相应情况。

（1）简单随机抽样：数理统计最常用的抽样方法。

满足特点：代表性：总体中每个个体被抽入样本的机会均等，即每个i X （个体）与总体X具有相同分布；独立性：样本中每个个体取什么值并不影响其它个体取什么值，即12,,nX X X 相互独立。

（2）简单随机样本：简称样本（指用简单抽样方法获得的样本）。

即：12,,n X X X 为简单随机样本()1212,,,,n n X X X X X X ⎧⎪⇔⎨⎪⎩相互独立;与X具有相同的分布如，一批灯泡5万只，随机抽取1000只检查其寿命i X ，()1,2,1000i =，其中4只寿命低于规律值，为次品，总体{}1250000,,X X X X =，一个样本121000,,,X X X ∴样本的次品率为0.4％。

可推断，总体的次品率为0.4％。

（4） 这里可得到简单随机样本的方式：通常采用有放回地重复随机抽样：通常针对有限总体，尤其总体容量较小时；无放回…………………：指无限总体或样本容量相对较少，如小于等于总体的5％时。

5、 样本12,,n X X X 的联合密度函数()()()()1212,,n n p x x x p x p x p x =，其中：总体X 是连续型随机变量，其密度函数为()p x 。

二、统计量1、统计量：设12,,n X X X 为取自总体X 的一个样本，()12,,n g x x x 为一个连续函数，且不含未知参数，则称()12,,n g x x x 为统计量。

如：总体()2~,X N μσ，12,,n X X X 为取自总体X 的一个样本，（1）μ未知，σ已知，则含μ的不是；（2）σ未知，μ未知，则含μ或含σ的不是； 简单地讲：统计量满足a ）是样本12,,n X X X 的实值函数；b ）样本观测值()12,,n x x x ？，就可求出统计量的具体值。

2、常用统计量 设12,,n X X X 为取自总体X 的一个样本，（1）样本均值：11ni i X X n ==∑（2）样本方差：()()2222111111nn i ii i S X X X nX n n ===-=---∑∑ 证明：（略）（3）样本均方差（标准差）：S =样本方差2S 与均方差S 都反映了总体波动的大小，即反映总体()D X例1、从一批袋装食品中随机抽取6袋，测得其重量（单位：克），如下：462，465，451，472，459，448。

求样本均值X 和样本方差2S 。

解：总体X ：指这批食品的重量（各袋重量构成的集合）； 样本()126,,X X X 是抽取6袋食品的重量样本值：（462，465，451，472，459，448）为这次抽取6袋食品测得的重量（1）612611462465448459.5666i i X X X X X =++++++====∑（2）()6222222212611166615i i S X X X X X X =⎡⎤=-=++-⎢⎥⎣⎦-∑ ()222214624654486459.579.55=+++-⨯=或2S ()()()2221462459.5465459.5448459.579.55⎡⎤=-+-++-=⎣⎦§2样本分布函数设12,,n x x x 为取自总体X 的一组样本值，可用频率分布表和直方图粗略地描述总体X 地分布。

一、频率分布表1、设总体X 是离散型随机变量，12,,n x x x 是样本12,,n X X X 地一组样本值。

12,,n X X X 取到的值为12,,m a a a ，且取到12,,m a a a 的个数分别为12,,m v v v ，（1）频数：i a 出现的次数i ν； （2）频率：i i f nν=，其中，12m n v v v =+++，即n 个数据中，取到i a 值的频率、比例；（3）频率分布表：可近似地反映（代替）总体X 的分布律二、直方图当总体X 是连续型随机变量时，可采用直方图来处理样本值。

1、 方法：（1）将样本值12,,n x x x 从小到大排列，***12,,n x x x ⇒样本值落入区间](()**1,,n a b xx ⊃，a 略小于*1x ，比*1x 通常多一位小数；b 略小于*n x ，比*n x 通常多一位小数。

（2）将n 个样本值的各个不同取值所在的区间](,a b ()1m +等分()1m +等分，使m a 的值落入分割的小区间中，0121m m a t t t t t b +=<<<<<=，每一小区间长度：()1,0,1,1i i b at t i m m +--==+m 大小，通常与样本容量对应，（3）依次数出样本值落在区间](1,i i t t +中的个数i ν，()0,1,i m =i i f nν=——为样本值落入区间](1,i i t t +中的频率；（4）画出（频率）直方图：每个直方条：宽](1,i i t t +，长1ii if t t +-(){}111ii i i i i i if f t t S P t x t t t +++=⨯-=≈<≤-小矩形（5） 相应密度函数的大致曲线：光滑连接每条长方形上边中点。

三、样本分布函数由样本的分布函数，推断（近似得出）总体X 的分布函数。

作法：将一组来自总体X 的样本值12,,n x x x ，从小到大排列***12n x x x ≤≤≤()*1**112**223*0,,,1,n n x x x x x n F x x x x n x x νν⎧<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪>⎪⎪⎩，()n F x ――称样本分布函数通常n 越大，近似程度越好。

§3常用统计量的分布四种常用的统计量及其分布 一、X 的分布 1、定理：设12,,n X X X 是取自正态总体X 的样本。

()2~,X N μσ，则有：样本均值2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()~0,1X N μσ-∴样本12,,n X X X 独立与X 同分布，()()2,,i i E X D X μσ==()121n X X X X n∴=++也服从正态分布， ()()1211n E X E X X X n n n μμ∴=++=⋅=，()()22122211n D X D X X X n n nσσ=++=⋅=例1、设总体()~12,4X N ，抽取容量为16的样本。

求样本平均值X 的分布及{}13P X > 解：()~12,4X N ，16n = （1）()21~,12,4X N N μσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即X 服从参数2112,4μσ==的正态分布； （2）{}{}()()13121311311311210.97720.022812P X P X F ⎛⎫ ⎪->=-≤=-=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪⎝⎭二、2χ－分布1、定义：若随机变量12,,n X X X 相互独立，都服从同分布，()~0,1i X N ，则称随机变量222212n X X X X χ=+++=服从自由度n 的2χ分布，记：2~()X n χ（1）2~()X n χ，X 的密度函数图形2χ－分布的密度曲线是个对称的，其形状与自由度n 有关，随自由度n 的增大而渐趋于对称。

（2）2χ－分布：已知自由度n ，给定正数()0,1α∈，由2χ分布表⇒临界值2αχ⇒{}2P X αχα≥= 例2、设随机变量2~(20)X χ，求下列情况下的k （1）{}0.05P X k ≥=，解：20,0.05n α==，查表：{}31.410.05,31.41P X k ≥=∴=——即临界值2αχ2、 定理：设12,,n X X X 是取自总体X 的样本，()2~,X N μσ，则样本均值X 和样本方差2S相互独立，且()()2221~1n S n χσ-- 三、t －分布1、定义：若随机变量()~0,1X N ，2~()Y n χ，且X 与Y相互独立，则称随机变量T X=n 的t 分布，记为：()~T t n （1）t 分布的密度函数图形：对称，当自由度n 增大，其曲线趋于标准正态分布曲线 （2）t 分布表：已知()~X t n ，给定正数()0,1α∈，自由度n 查表⇒临界值()t n α⇒(){}P X t n αα≥= 例3、已知：()~15X t ，求下列情形中的k （1）{}0.05P X k ≥=，解：0.0515,0.05(15) 1.75n k t α==⇒==，即{}1.750.05P X ≥= *2两个定理 （1）设12,,n X X X 是取自正态总体()2~,X N μσ的样本，则()~1X T t n S μ-=-，其中：X ：样本均值；S 样本均方差（2）设X 和21S 为总体X 的样本均值和样本方差，()211~,X Nμσ，容量为1n ；设Y 和22S 为总体Y 的样本均值和样本方差，()222~,Y N μσ，容量为2n 。