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第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。
5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
第6章统计量及其抽样分布一、单项选择题1．在抽样推断中，样本统计量是（）。
[中央财经大学2015研]A．未知但确定的量B．一个已知的量C．随机变量D．惟一的【答案】C【解析】统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。
它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。
2．在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。
如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（）。
[山东大学2015研]A．正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B．正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C．左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D．左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟【答案】A【解析】中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n 充分大（通常是大于36）时，样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布。
故即使总体是左偏分布，该样本均值仍服从正态分布，其均值为12，标准差为3/10＝0.3。
3．设总体X ～N （2，σ2），X 1，…，X 16是来自总体X 的样本，161116i i X X ==∑，则48X σ-服从的分布是（ ）。
[对外经济贸易大学2015研]A ．t （15）B ．t （16）C ．χ2（15）D ．N （0，1）【答案】D【解析】由题可知样本均值2~(2,)16X N σ则 ()2/4~01X N -，σ即()18~04N X -，σ4．1000名学生参加某课程的考试，平均成绩是82分，标准差是8分，从学生中随机抽取100个同学作为样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准差分别为（）。
[华中农业大学2015研]A．82，8B．82，0.8C．82，64D．86，1【答案】B【解析】由中心极限定理得，在大样本条件下，样本均值X的抽样分布近似服从均值为μ方差为σ2/n的正态分布。
第一章导论1.什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
2.解释描述统计和推断统计描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可以分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？分类数据：是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。
顺序数据：是只能归于某一有序类别的非数字型数据。
虽然也有列别，但这些类别是有序的。
数值型数据：是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义分类数据和顺序数据说明的是事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此也可统称为定性数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此也可称为定量数据或数量数据。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念总体是包含所研究的全部个体（数据）的集合；样本是从总体中抽取的一部分元素的集合；参数是用来描述总体特征的概括性数字度量；统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量；变量是说明现象某种特征的概念。
比如我们欲了解某市的中学教育情况，那么该市的所有中学则构成一个总体，其中的每一所中学都是一个个体，我们若从全市中学中按某种抽样规则抽出了10所中学，则这10所中学就构成了一个样本。
在这项调查中我们可能会对升学率感兴趣，那么升学率就是一个变量。
我们通常关心的是全市的平均升学率，这里这个平均值就是一个参数，而此时我们只有样本的有关升学率的数据，用此样本计算的平均值就是统计量。
6.变量可以分为哪几类分类变量：一个变量由分类数据来记录就称为分类变量。
顺序变量：一个变量由顺序数据来记录就称为顺序变量。
数值型变量：一个变量由数值型数据来记录就称为数值型变量。
离散变量：可以取有限个值，而且其取值都以整位数断开，可以一一例举。
