MK_第一章第二节半导体中的电子状态和能带

§1·2 半导体中的电子状态和能带本节主要内容:1 、原子的能级和晶体的能带(1) 孤立原子的能级(2) 晶体的能带2 、半导体中电子的状态和能带(1) 自由电子运动的描述—波粒二象性(2) 一维晶体中电子运动的描述(3) 三维晶体的情形3、导体、半导体、绝缘体的能带h tt p://a n d a s h u d i a n .t a o b a o .c o m对原子模型的认识：1897年汤姆孙(J. J. Thomson)发现电子，这是人类认识的第一个基本粒子；1908年卢瑟福(Lord Emest Rutherford)的α粒子散射发现原子有核、玻尔(Niels Hendrik David Bohr)创立了行星式原子的量子理论(1922年Nobel 奖)。

h tt p://a nd a s h u d i a n .t a o b a o .c o m1 、原子的能级和晶体的能带(1) 孤立原子的能级孤立原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，它们分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层，不同支壳层的电子分别用1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s……等符号表示。

每一壳层对应于确定的能量。

h tt p://a nd as h u d i a n .t a o b a o .c o m(2)晶体的能带电子共有化运动: 当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层交叠最多，内壳层交叠较少。

原子形成晶体后，由于电子壳层之间的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而电子将可以在整个晶体中运动。

这种运动称为电子的共有化运动。

三个原子的电子共有化运动引起能级分裂playh tt p://a nd as hu d i a n .t a o b a o .c o mN 个原子的能级的分裂由于电子的共有化运动加剧, 原子的能级分裂亦加显著，N 个靠得很近的能级形成能带:N 个s 能级形成一个s 允带N 个p 能级形成一个p 允带 能带-准连续能级 允带之间隔以禁带h tt p://a n d a s h u d i a n .t a ob a o .c o m硅和锗价电子的能带许多实际晶体的能带与孤立原子能级间的对应关系，并不都象上述的那样简单，因为一个能带不一定同孤立原子的某个能级相当，即不一定能区分s 能级和p 能级所过渡的能带。

例如半导体锗和硅--sp 3杂化。

空带，即导带满带，即价带一个原子/1个s 、3个p 共4个状态N 个原子/ N 个s 、3N 个p 共4N 个状态一个原子/4个价电子N 个原子/ 4N 个价电子2N2N 4Nh tt p://a nd as hu d ia n .t a ob a o .c o m2 、半导体中电子的状态和能带孤立原子中的电子--在该原子的核和其它电子的势场中运动；自由电子--在一个恒定为零的势场中运动；晶体中的电子--在严格周期性重复排列的原子间运动。

处理晶体中的电子--单电子近似的方法，即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其它电子的平均势场中运动。

该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。

晶体中的电子运动的基本特点和自由电子运动十分相似（1）自由电子运动的描述—波粒二象性de Broglie 关系(法，1924年提出)：后被Thomson(英国)电子衍射实验证实。

分获1929、1937Nobel 奖。

h tt p://a nd as hu d ia n.t ao ba o .c o m式中k为波矢，uk(x)是一个与晶格同周期的周期性函数，即uk ( x ) = uk ( x + na )(12)式中n为整数，(10)式具有(11)式形式的解。

这一结论称为Bloch 定理。

具有(11)形式的波函数称为Bloch函数。

Bloch函数包含的物理意义： Bloch函数是平面波函数与周期函数的乘积—调幅平面波； (11)式中的uk(x)反映了周期势场对电子运动的影响。

在空间某一点找到电子的几率与波函数在该点的强度/ Ψ k Ψ k / = / u k ( x )u k ( x ) /成正比。

因此，晶体中不同原胞的等价位置上出现电子的几 率相同，在一个原胞不同位置上电子出现的几率不同。

ht∗平面波因子ei 2π kxtp://表明，晶体中电子不再是局域化的，而是andau sh∗dian.taobao.com扩展与整个晶体中，反映了电子的共有化运动。

波矢k 描述晶体中电子的共有化运动状态 ③ E(k)关系、布里渊区、能带 E(K)关系：能量在k=n/2a (n=0, 1, 2,…)时不连续。

http布里渊区：,n 直线是布里渊区边界 a) k= 2a1 1 b) 第一布里渊区 − <k< 2a 2a1 1 1 1 − <k<− 第二布里渊区 <k< ， a 2a 2a a 3 3 1 1 <k<− , <k< 第三布里渊区 − 2a a a 2a:// an da u sh简约布里渊区di an .ta见 下 图obao.com扩展布 里渊区 图象En(k)函数的三种图象： 扩展布里渊区图象：不同的能带在k空间中不同的布里渊区中给出。

每一个布里 渊区中有一个能带，第n个能带在第n个布里渊区中。

如上ht tp :// an da u sh di an .ta ob ao图。

.c om简约布里渊区图象：所有能带都在简约区中给出。

电子能量： En ( k )ht tp :// an da u shk: 简约波矢；n：能带标记di an .ta ob ao .c om周期布里渊区图象：在每一个布里渊区中给出所有能带。

对于同一能带n，有n⎞ ⎛ E (k ) = E ⎜ k + ⎟ a⎠ ⎝ht tp :// anda u sh di an .ta ob ao .c om图1-10 E(K)和K的关系E(K)和K的关系ht tp :// an da u sh di an能带.ta ob ao .c简约的布里渊区om(3) 三维晶体的情形 边长为L的立方晶体 1） 根据周期性边界条件，k 的三个分量 只能取分立的数值。

kx ，k y， kznx k x = ( nx = 0, ±1, ±2，…） l ny k y = (n y = 0, ±1, ±2，…） l nz k z = ( nz = 0, ±1, ±2，…） l2）三维晶体的布里渊区http://andau shdian.taobao .c om面心立方的倒格子是体心立方，从体心出发，分别连接8个角 顶和6个次近邻的体心倒格点，连线的垂直平分面构成第一布 里渊区。

(截角14面体)•ht tp :// an da u sh•••di an .ta ob ao•.c om1 Γ − (0, 0, 0) a1 1 1 1 L − ( , , ) a 2 2 2布里渊区中心 布里渊区边沿与（111）轴的交点1 X − (0, 0,1) a1 3 3 K − ( , , 0) a 4 4http ://an布里渊区边沿与（100）轴的交点 布里渊区边沿与（110）轴的交点dau shdi an .ta ob ao .c om硅、锗等半导体都属于金刚石型结构，它们的固体物理原 胞和面心立方晶体的相同（布拉伐格子），两者有相同的基 矢，所以它们有相同的倒格子和布里渊区。

Ⅲ-Ⅴ族化合物大多属于闪锌矿结构，它们的布里渊区也和上述的相同。

http://andau shdi an .ta ob ao .c om3、导体、半导体、绝缘体的能带1) 固体导电的物理图象实空间中：固体中的电子在外电场作用下作定向运动的结果。

由于电场力对电子的加速作用，使电子的运动速度和能量都发生了变化。

换言之，即电子与外电场间发生能量交换。

倒空间中的能带理论：在外电场作用下，电子能量的变化就是电子从一个能级跃迁到另一个能级上去。

2) 导体、绝缘体和半导体的能带模型与导电性绝缘体和半导体：温度为0K 时，下面是已被电子占满的满带，也称价带。

中间是禁带，上面是空带。

满带电子(如内层电子)对导电性没有贡献，空带中没有电子，因而，在外电场作用下，绝缘体和半导体并不导电。

h tt p://a nd as hu d ia n.t ao ba o.co m金属：上面是被电子部分占据的能带。

因而，在外电场作用下，电子可以从电场中获得能量跃迁到未被电子占据的能级上去，形成了电流，起导电作用。

3) 本征激发对于半导体和绝缘体，在一定的温度或光照条件下，满带中有少量电子被激发到导带上去。

价键上的电子被激发成为准自由电子，亦即价带电子激发成为导带电子的过h t t p ://a n d a s h u d i a n .t a o b a o .c o m导带底Ec程，称为本征激发。

电子脱离价键需要的最低能量就是禁带宽度。

价带顶EvEg禁带宽度h tt p ://a n d a s h u d i a n .t a o b a o .c o m¾激发后绝缘体和半导体的导电性被激发到导带中的电子可以导电。

仍留在满带中的电子也可以导电—空穴导电。

在半导体中，导带电子和价带空穴均参与导电，这是与金属的最大差别。

¾绝缘体和半导体的导电性差别绝缘体的禁带宽度大，激发电子需要能量大，常温下，能激发到导带上的电子少，导电性差。

半导体禁带宽度小，1eV 左右，通常温度下，能激发到导带上的电子多，导电性比绝缘体好。

如金刚石，Eg=6~7eV ，绝缘体；Si ：Eg~1.12eV ，Ge: Eg~0.67eV ，GaAs: Eg~1.43eV ，半导体。

(均是室温情况)h tt p ://a n d a s h u d i a n .t a o b a o .c o m。