[应用随机过程][习题][02]

上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
G X (ω ) = ∫ 2e e
∞ ∞ ∞ ∞ τ j (ω +π )τ
dτ + ∫ 2e e j (ω π )τ dτ
∞
∞
τ
+ ∫ (cos 2πτ )e jωτ dτ 4 4 = + + π [δ (ω 2π ) + δ (ω + 2π )] 2 2 1 + (ω + π ) 1 + (ω π )
2 Aα ( Ae 2 ) 2 α +ω ( cos ω 0 t π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ω 0 )] )
α t
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第四章习题
补充:设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其
互相关函数为
9e 3τ , τ ≥ 0 R XY (τ ) = τ <0 0, 求互谱密度 GXY (ω ) 和 GYX (ω )
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第五章习题
5.10设表5.1中系统一栏的第二行所示的线性电
路,输入X(t)为白噪声,其功率谱密为 N 0 2 求输出Y(t)的功率谱密度及自相关函数 解: H (ω ) = jωRC
1 + jωRC
功率谱密度
N 0ω 2 R 2 C 2 GY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = 2(1 + ω 2 R 2 C 2 )
t3 t 2 RC
t t
t 3 > t1
t 2 t1 RC
RY (t3 t 2 ) RY (t 2 t1 ) N = 0 e 4 RC RY (0)

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

+ X N = ∑ X i , 求 ξ 的分布， Eξ 和 Dξ .
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]

f X1 , X 2
Xn
(t1 , t2
2 2 tn ) f (ti ) exp{ ( jati 1 2 ti )} i 1 i 1
n
n

又
均值向量为 { , , } 协方差矩阵为 B diag ( 2 , 2 , 2 )
6
f X (t ) f ( , ,
0
x
1
2
1 1 x (1 x) 2 1 x (1 x ) 2

同理
k
k 0

2
x k (k 1)x k 2 kx k x k
k 0 k 0 k 0
令 S ( x) (k 1)2 x k
k 0
x

则

2 k k 1 k S (t )dt (k 1) t dt (k 1)x kx ） 0 k 0 k 0 k 1
3
fZ (k ) (t ) (1)k k ! j k (1 jt )(k 1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) (1) k k ! k j
n
4、设 X1，X 2， X n 相互独立，且有相同的几何分布，试求 X k 的分布。
Байду номын сангаасk 1
解
f

k 1
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk n n e jtk e e jt = i 1 k 1 e i n(1 jtk ) e
)}
i k
1 n n n j (ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1