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北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。
二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。
三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。
（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。
五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。
令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。
（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。
六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程综合练习题一、填空题（每空3分） 第一章1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。
2．{}=)(Y X E E 。
3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y +=，则Y 的特征函数为 。
4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。
5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。
第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10(<<p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ =n n X 是 过程。
9．正交增量过程满足的条件是 。
10．正交增量过程的协方差函数=),(t s C X 。
第三章11． {X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1λ，2λ，3λ且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。
13．{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，{}==-+n s X s t X P )()( 。
,1,0=n14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0>λ的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。
15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
北京大学信息科学技术学院考试试卷考试科目：算法设计与分析姓名： 学号： 考试时间：2009年6月9日任课教师:以下为试卷和答题纸，共 9页。
一、填空题(选做5道，10分>1． 用矩阵幂的方法求斐波那契数，其运行时间为<）。
2．对于一个可以用动态规划法求解的问题，要求问题既要满足<）的特性，又要具有大量的< ）。
3．对于一个可以用贪心法求解的问题，不仅要求问题满足<）的特性，还应证明其贪心策略的< ）。
4．设有n个栈操作<PUSH、POP、MULTIPOP ）的序列，作用于初始为空的栈S。
不区分三种操作，则每个操作的最坏运行时间为<），平摊运行时间为<）。
5．三种平摊分析的方法分别为<）、<）、<）。
6．四后问题的搜索空间为<）树；0-1背包问题的搜索空间为<）树；巡回售货员问题的搜索空间为<）树。
7．<）法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而<）法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
8．回溯法一般以<）优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以<）优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
二、单项选择题 (10分> Array1．下列关于排序算法的叙述，不正确的是？<）A> 堆排序的最差情形运行时间为Θ(n lg n>B> 快速排序平均情形运行时间为Θ(n lg n>C> 任何排序算法的最差情形运行时间都不可能比Ω(n lg n>更小D> 插入排序在最好情形下的运行时间为Θ(n>2．对于课堂讲解的线性时间内找第i小的元素的算法，<）下列叙述中不正确的是？A> 算法第一步中可以按每五个元素一组找中位数；B> 算法第一步中可以按每七个元素一组找中位数；B> 算法第一步中不能按每三个元素一组找中位数；D> 如果要求的n个元素的中位数，则中位数一定是第一步中找到的中位数中的某一个。
《应用随机过程》A卷及其参考答案《应用随机过程》A卷一、课程简介《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。
通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。
本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。
二、考试内容1、随机过程的定义、性质和分类2、随机过程的概率分布和数字特征3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等三、考试形式1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题20分四、考试策略1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。
2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。
3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。
五、参考答案选择题部分：1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D填空题部分：1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律简答题部分：1、简述随机过程的基本概念及分类。
答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。
它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。
2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。
答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。
泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。
2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。
p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。
2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 31 ____。
3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为__teλ--1____________。
5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P()=3ω，21P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 31______。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i Ii j ∑∈=______。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i ==__n n i i i i i p p p 1100- __。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若1<ii f ，称状态i 为__非常返________。
