一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)复习过程

1 一元二次方程ax 2• bx • c 二0根的分布情况 2 2 设方程ax • bx • c = 0 a = 0的不等两根为X |,x 2且为：：：x 2，相应的二次函数为 f x 二ax bx 0， 方程的根 即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标（也即是函数的零点），它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况（a>0）表二：（两根与k 的大小比较）（a>0） 表三：（根在区间上的分布）（a>0） 两根有且仅有一根在 m, n 内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在 m,n 内，另一根在 p,q 内，m ：： n ：： p ：： q. "■： 0f m .0f n 广0 b m … n 2a大致图象分布情况两个负根即两根都小于 0 X :: 0, x 2 :: 0两个正根即两根都大于 0 x 1 0, x 2 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 % ：：： 0 ：：： 大致图象f 0 ::: 0 分布情况两根都小于k 即x 1 :: k, x 2 :: k两根都大于k 即 x 1 k, x 2 k 一个根小于k ，一个大于k 即 捲：：k . x 2 大致图象f k ：： 0 分布情况两根都在m, n 内f m f n ：： 0 f n ：：:0 0. "■： 0 f k .0函数与方程思想：(1)方程f(x°)=O有根二y=f(x)与x轴有交点x°=函数y=f(x)有零点X。

(2)若y=f(x)与y = g( x)有交点(x o , y°)= f(x)=g(x)有解x。

根的分布练习题例1、已知二次方程2m 1 x2-2mxrm-1 = 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2例2、已知二次函数y = m • 2 x 7：2m - 4 x：「］3m - 3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1,求实数m的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳ax2bx c 0 根的分布情况1、一元二次方程ax2ax2bx c 0 a 0 f x bx c 0 ，设方程x , x x x的不等两根为且，相应的二次函数为1 2 12方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一正根一负根即一个根小于0，00一个大于0 x10, x20x10, x20x10x2大致图象（a0）00得出的结论b2 ab2a00 f 00f 0 f 0大致图象（a0）00得出的结论b2 ab2a00 f 00f 0 f 0综合结论（不讨论a ）00b2 ab2a00a f 0 0 a f 00a f 00k k 即k 即分 布 情 况一个根小于k ，一个大于 两根都小于即两根都大于x 1 k, x 2 kx 1k, x 2kx 1kx 2大 致 图 象 （kkka 0）0 0 得 出 的 结 论b 2a kb 2a kk k f kf 0f 0大 致 图 象 （a 0）0 0 得 出 的 结 论b 2 a kb 2a kk k f kf 0f 0综 合 结 论 （ 不 讨 论a）0 0b 2a b2a k k a f ka f ka f k分布情况m, n m,n 内，另一根在p, q两根有且仅有一根在内一根在m, n两根都在内m n p q内，（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（a0）0 mnb 2a ffffmnpq得出的结论ffffmpffnq或f m f n0m n大致图象（a0）0 mnb 2a ffffmnpq得出的结论ffffmpffnq或f m f n0m n综合结论（不讨论a ）f m f n0f m f n0——————f p f q0m, n根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧x1m, x2n ，（图形分别如下）需满足的条件是f f m n0 0f f m n0 0（ 1） a0 时，；（ 2） a0 时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （ 1）两根有且仅有一根在m, n 内有以下特殊情况：1 若 f m0或 fn0 ，则此时 f m f n 0 不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，mx2可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间 m, n 内，从而可以求出参数的值。

一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。

2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。

3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。

一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。

判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。

在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。

它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。

求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。

因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。

二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。

牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。

在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。

ax20 根的分布情况bx c一元二次方程ax2ax2设方程bx c 0 a 0 ，相应的二次函数为 f x bx c 0 ，的不等两根为x , x 且x x1212方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一正根一负根即一个根小于0，00x10, x20x10, x20一个大于0 x10x2大致图象（a0）00得出的结论b2 ab2a00 f 00f 0 f 0大致图象（a0）00得出的结论b2 ab2a00 f 00f 0 f 0综合结论（不讨论a ）00b2 ab2a00a f 0 0 a f 00a f 00k k 即k 即分 布 情 况k 两根都小于即两根都大于一个根小于 ，一个大于x 1k, x 2kx 1k, x 2kx 1kx 2大 致 图 象 （kkka 0）0 0 得 出 的 结 论b 2a kb 2a kk k f kf 0f 0大 致 图 象 （a 0）0 0 得 出 的 结 论b 2a kb 2a kk k f kf 0f 0综 合 结 论 （ 不 讨 论a）0 0b 2a b2a k k a f ka f ka f k分布情况m, n m,n 内，另一根在p, q两根有且仅有一根在内一根在m, n两根都在内m n p q内，（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（a0）0 mnb 2a ffffmnpq得出的结论ff0 f m f n0 m n大致图象（a0）0 mnb 2a ffffmnpq得出的结论ff0 f m f n0 m n综合结论（不讨论a ）f m f n0f m f n0——————f p f q0m, n根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧x1m, x2n ，（图形分别如下）需满足的条件是f f m n0 0f f m n0 0（ 1） a0 时，；（ 2） a0 时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： m, n 内有以下特殊情况：（ 1）两根有且仅有一根在若 f m0或 fn0 ，则此时 f m f n 0 不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为1m 或 n ，mx 2m, n 内，从而可以求出参数的值。

高考热点专题系列之一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．一、.若在内研究方程的实根情况只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．二、若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件1）若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．2）若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：（1）（2）（3）（4）由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：（1）（2）（3）（4）可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．三、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程（）的两个实根为，，且。

【定理1】：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。

【定理2】：，或由二次函数图象易知它的正确性。

【定理3】【定理4】，且；，且。

四、一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为，，且。

为常数。

则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。

一元二次方程的实根分布问题引言一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，也是解决实际问题中常见的一种数学模型。

解一元二次方程可以得到方程的实根，实根的个数和分布与方程的系数有密切关系。

本文将探讨一元二次方程的实根分布问题，并给出相应的和解题方法。

一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b和c分别为方程的系数，且a eq0。

实根、虚根和重根一个一元二次方程可能有三种情况：实根、虚根和重根。

- 当判别式D=b2−4ac大于 0 时，方程有两个不相等的实根； - 当判别式小于 0 时，方程没有实根，但有两个虚根； - 当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实根（重根）。

实根分布问题实根分布问题即研究实根的个数和分布。

首先，我们考虑a>0的情况。

1. 当a>0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，判别式D=b2−4ac的符号关系决定了实根的个数和分布。

a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。

实根的分布取决于方程的系数a、b和c。

根据配方法，我们可以将一元二次方程写成完全平方形式(x−p)2=q，其中p和q可以通过系数a、b和c表示出来。

b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。

c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

2. 当a<0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a<0时，判别式D=b2−4ac的符号关系同样决定了实根的个数和分布。

a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。

b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。

c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

根据以上讨论，我们可以出一元二次方程的实根分布问题的： 1. 当判别式D= b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根； 2. 当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根； 3. 当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。