一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合

一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。

一元二次方程有整数根的条件一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是已知实数且a≠0。

我们知道，一元二次方程的解可以是实数或复数，而题目要求整数根，即方程的解为整数。

我们需要知道一元二次方程有整数根的条件是什么。

根据二次方程的求根公式，方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)为了使方程的解为整数，根据上述公式，我们可以得出以下结论：1. 平方根部分的值必须是一个整数，即(b^2-4ac)的值必须是一个完全平方数，也就是说，存在一个整数k，使得k^2=b^2-4ac。

2. 分子部分的值必须能够整除2a，即(-b ± √(b^2-4ac))能够整除2a，也就是说，(-b ± √(b^2-4ac))对2a取余数为0。

一元二次方程有整数根的条件可以总结为以下两点：1. 存在一个整数k，使得k^2=b^2-4ac。

2. (-b ± √(b^2-4ac))对2a取余数为0。

接下来，我们来举例说明一元二次方程有整数根的情况。

假设我们要求解方程x^2-5x+6=0的整数根。

根据一元二次方程的一般形式，我们可以得到a=1，b=-5，c=6。

然后，根据上述条件，我们可以计算出(b^2-4ac)=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1，可以发现1是一个完全平方数。

此外，(-b ± √(b^2-4ac))=(-(-5) ± √1)=(5 ± 1)，对2a取余数为0，即(5 ± 1)对2取余数为0。

因此，方程x^2-5x+6=0的根为整数5和整数1。

我们可以得出结论：一元二次方程有整数根的条件是存在一个整数k，使得k^2=b^2-4ac，并且(-b ± √(b^2-4ac))对2a取余数为0。

只有满足这两个条件的方程才有整数根。

需要注意的是，一元二次方程有整数根并不意味着所有整数都是方程的根。

初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。

为什么一元二次方程有有理根，得塔为完全平方数一元二次方程是数学中的一个重要概念，它描述了一个方程中只有一个未知数，未知数的最高次数为二次的方程形式。

一元二次方程在数学中具有非常重要的地位，因为它是一元三次方程和更高次方程的基础。

在现实生活中，一元二次方程的应用也非常广泛，例如在物理学、经济学、工程学等领域都有应用。

为什么一元二次方程有有理根呢？这是因为一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

当满足一定的条件时，这个方程的根可以通过解方程得到。

这些条件包括：b^2-4ac≥0，且c为有理数。

因此，一元二次方程可以有一个或多个有理根。

那么，为什么一元二次方程的“得塔”（delta）为完全平方数呢？得塔是一个数学术语，表示一元二次方程的判别式，即b^2-4ac。

判别式的值决定了方程的解的情况。

当判别式是完全平方数时，方程有两个实数解或一个实数解。

首先，我们需要了解判别式的性质。

判别式可以分解为两部分：正数部分和负数部分。

正数部分表示方程的近似解的范围，负数部分表示方程没有实数解。

因此，当判别式为完全平方数时，正数部分和负数部分可以相互抵消，方程的解就可以得到比较准确的数值了。

另一方面，如果一个数的平方是另一个数，那么这个数必定是完全平方数。

换句话说，一个数的平方根可以是另一个数的根是完全平方数的必要条件。

所以一元二次方程有有理根的可能性进一步解释为一元二次型的所有根（无论是实数还是复数）都具有这个性质。

通过这些分析，我们可以得出结论：一元二次方程有有理根和得塔为完全平方数的性质是由判别式的性质和完全平方数的性质共同决定的。

在数学中，这些性质是非常常见的现象，也是数学理论的重要基础。

总之，一元二次方程是一元三次方程和更高次方程的基础，它在数学中具有非常重要的地位。

同时，它的有理根和完全平方数的判别式的性质也为我们提供了许多有趣的数学问题和应用场景。

通过深入了解这些性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，进一步推动数学的发展和应用。

第三讲 一元二次方程4：整数根、公共根一、 基础知识1．一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，在240b ac ∆=-≥时，方程有实根，且：方程有有理根−−→←−−24b ac ∆=-为完全平方数（有理数平方） 2．一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果有整数根，则必须满足以下两个条件：24b ac ∆=-为完全平方数（自然数平方）；24b b ac -±-是2a 的整数倍；（2）在首项系数为1的整系数方程20x px q ++=（p 、q 为整数）的判别式24b ac ∆=-为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 是偶数，c 是奇数，则该方程无整数根；（4）整系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 、c 都是奇数，且240b ac ∆=->，则方程20(0)ax bx c a ++=≠无整数根.3. 一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、 整数根问题例1已知方程224(1)3240x m x m m k --+-+=对任意有理数m 都有有理根，求k 的值.1．整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：○123180x x +-=；○228590x x +-=；○322450x x +-=；○42323870x x +-=例3已知420m ≤<，当m 为何值时，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根？例4整数a 取何值时，方程2(6)0x a x a --+=有两个整数根？例5设m 、n 为整数，证明方程210530x mx n +-+=没有整数根；例6当m 为什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？2．整数根讨论：利用求根公式例7 若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程2210mx x m --+=的根，m 为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.3．整数根讨论：利用韦达定理例9 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根；例10 当m 为什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m +-++=的两根都是整数？例11 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程2(1)10kx k x k +++-=的根都是整数；例12 试确定所有的有理数r ，使得关于x 的方程2(2)320rx r x r +++-=有且只有整数根；4．整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a a x a +-+-=至少有一个整数根.例14设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ；5．整数根讨论：综合运用例15 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程2320x ax b -+=；2320x bx c -+=；2320x cx a -+=的所有根都是正整数.例16 若方程20x mnx m n -++=有整数根，且m 、n 为自然数，则m 、n 可以分别为多少？三、公共根问题【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++的值．练习题1． b 、c 是整数，如果一元二次方程220x bx c --=有整数根，那么，必有（ ）A ．0b c ==B ．20b c +=C ．2b c +是整数的平方D ．2b c +是偶数的平方2．若260x mx +-=的两根都是整数，则m 可以取值的个数是（ ）3．设二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 都是奇数，那么它的根一定是（ ）A ．奇数B ．偶数C ．分数D ．无理数 4已知关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个不相等的整数根，p 、q 是自然数，且是质数，这个方程的根为_______；5．方程20x px q ++=的两根都是正整数，且1992p q +=，则方程较大根与较小根的比等于_________；6．已知p 为质数，且方程24440x px p +-=有两个整数根，则p ＝________；7．已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则a 的值是多少？8．方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值；9. 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．10. 已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有______个．11. 当m 为整数时，关于x 的方程()()2212110m x m x --++=是否有有理根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．。

方程的公共根、有理数根、整数根知识要点：本节内容是竞赛中的常见问题,除需掌握方程的基本知识外,更需了解整除的性质、奇偶性的分析、完全平方数等方面的知识.这类问题思维性强,方法灵活多变,难度也较大,需要较强的综合分析能力和解决问题的能力.解题方法：此类问题通常解决以下两个基本问题：一是求系数中所含参数的取值或取值范围；二是求出符合要求的根（公共根、有理根、整数根）.其常用方法有：（1） 先出方程的根，再确定参数的取值；（2）利用根的判别式；（3）利用韦达定理，特别是判别式不是或难以判定是否为完全平方数时；（4）参数交换法.试题精选：例1（1989年全国初中数学联赛题）已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0①和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0② (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a,b 的值.[思路分析]当方程易求出其根时,不妨先求出方程的根,再比较哪个解是公共根,进而确定求出a,b 的方案.[解题过程]解：用因式分解法求得：方程①的两个根是a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . ∵由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－.解得⎩⎨⎧=42b a ＝或⎩⎨⎧==24b a .[解题点评]探求方程的公共根问题,常见有两种思考途径：一是求根后对比确定出公共根；二是设公共根代入方程后再对比.例2（1993年苏州市初中数学竞赛题）若m 为给定的有理数,k 为何值时,方程0423)1(422=+-+-+k m m x m x 的根总为有理数？[思路分析]要使方程有有理根,只需方程的判别式为完全平方数,这又要使此“判别式的判别式为0”.[解题过程]解：∵)446(4)423(4)]1(4[222+--=+---=∆k m m k m m M .要使原方程有有理根,只需∆为完全平方式，只需)446(2+--k m m 为完全平方式,从而只需 Δ/=01620)44(4)6(2=+=---k k ∴45-=k . 故当45-=k 时，原方程的根总为有理数. [解题点评]对于一元二次方程为有理数,要使方程根为有理数（或整数）根,则Δ应为完全平方数,即所得的Δ的二次三项式的/∆=0.例3(2002年全国初中数学联赛)试确定一切有理数r,使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.[思路分析]在0≠r 的前提下,由韦达定理可得两根21x x +及21x x 的关系式,消去r 后转化为不定方程5)1)(1(21=--x x 的整数根问题.[解题过程]解：（1）当0=r 时，方程化为022=-x ,方程有整数根1=x ；（2）当0≠r 时,设方程两整数根为1x ，2x （21x x ≤）,则⎩⎨⎧--=+-=+-=-=rrr x x r r r x x 21223232121.两式相减，得4)(2121=+-x x x x 即5)1)(1(21=--x x又21x x ≤，且1x ，2x 为整数，∴ ⎩⎨⎧=-=-511121x x ； ⎩⎨⎧-=--=-115121x x 。

初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。

一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k+的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21-D ．21 8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（） A ．100 B ．400 C ．700 D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.。

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

一元二次方程的整数根与有理根一元二次方程的整数根与有理根例谈一元二次方程整 数根的求解 选自《初中数学竞赛》辅导丛书对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 的实数根问题，可以用根的判别式2=4b ac ∆- 来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有: (1 )直接求解， (2 )根的判别式法， (3 )根与系数的关系， (4 ) 巧设主元， (5 )构造函数等方法，另对公式1212x x x x ++ 的恒等变形也是解诀整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用。

下面笔者从近几年全国各地初中数学竞赛试题中选取有关一元二次方程整根的试题，供同行参考借鉴。

1. 直接求解例1 . m 是什么整数时方程()()221631720m x m x ---+= 有两个不相等的正整数根? 2 .利用判别式0∆≥例2. 已知方程()2320ax a x a --+-= 至少有一 个整数根，求整数a 的值例3. 求满足方程442214y x x y ++= 的所有整数对 (),x y3 .利用判别式∆ 是完全平方式例4. 设m 为整数且440m << ,方程()2222341480x m x m m --+-+= 有两个整数根，求m 的值和方程的根。

例5. x 为何有理数时代数式29+232x x -的值恰为两个连续正偶数的乘积?4 .利用韦达定理例6. 方程20x px q ++=的两个根都是正整数并且1992p q += ，求方程较大根与较小根之比。

例7. 求所有实数k 使方程()()2110kx k x k +++-= 的根都是整数5 .常元互换例8. 求出所有这样的正整数a 使得二次方程()()2221430ax a x a =-+-= 至少有一个整数根例9 . 使方程222170a x ax a ++-= 两根都是整数根的所有正数a 的和0 是多少?6 .利用整数性质例10 . 如果方程210x ax b -++= 的两 根12,x x 都为自然数，试证:22a b + 必为合数例11. 已知,m n 为整数，方程2+10530x mx n ++= 有实数，问方程有无整数根?7 .利用二次函数例12 .已知,b c 为整数， 方程250x bx c ++= 的两个根都大于1- 且小于0，求b 和c8 .综合应用例13 .已知关于x 的方程24832x nx n --= -- ---- ①和()22-3220x n x n +-+= ---- -②问是否存在这样的n 值， 使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?如存在，求出这样的n 值;如不存在，说明理由。