5[1].4.4一元二次方程的公共根与整数根.题库学生版

一元二次方程的公共根(本章复习)1．C 设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．2．C 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程相同的根．3．C 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++ 的值．4．C 若方程240x x m -+=错误!未找到引用源。

与方程220x x m --=错误!未找到引用源。

有一个根相同，那么m 的值等于 ．5．C 已知两方程250x mx m -++=错误!未找到引用源。

和2(71)1370x m x m -+++=错误!未找到引用源。

至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积．6．C 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根，求证：0a b c ++=.一元二次方程的公共根(本章复习)1．设公共根为0x ，则20070x kx --= ①()200610x x k --+= ②①-②得()0660k x k -+-= ()()0610k x --=∴∴061k x ==或当01x =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．2．不妨设0x 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有20010x kx +-= ……①，200(2)0x x k ++-=……②． ①-②有，001(2)0kx x k ----=，即0(1)(1)0k x --=，∴1k =，或01x =．当1k =时，两个方程都变为210x x +-=，∴两个方程有两个相同的根12x ，，没有相异的根； 当01x =时，代入①或②都有0k =，此时两个方程变为210x -=，220x x +-=．解这两个方程，210x -=的根为11x =，21x =-；220x x +-=的根为11x =，22x =-．∴1x =为两个方程的相同的根．∴当1k =时，12x =，；当0k =时，1x =．3．222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，[]()(1)(2)0x a a x a ⇒---+=故两根为a 和21a a +-同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-．由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠， 故21b a b +=-或21a b a +=-．均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311ab -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩．也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠)若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上． 故256b aba b a a b a b a b --+==+．4.0或35.17366.设公共根为t ，则有22200at bt c bt ct a ct at b ⎧++=⎪-+=⎨⎪-+=⎩三式相加可得，2()()()0a b c t a b c t a b c ++++++++=， 提取公因式可得，2()(1)0a b c t t ++++=，因为一元二次方程210t t ++=，30∆=-<，所以该方程无实数解，所以210t t ++≠，所以0a b c ++=.———————————————————。

一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k为正整数，且关于k的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个相异正整数根，k的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题2、已知k为整数，且关于x的方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的正整数根，则k的值为______．3、已知12＜m＜40，且关于x的二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．4、当关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两根都是整数，则整数m的值为______．三、解答题5、当整数m取何值时，关于x的方程（m-1）x2-（2m+1）x+1=0有整数根．6、已知方程（a2-1）x2-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，求整数a的值．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．9、已知：关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0（m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？10、已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-（m+2）x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长．12、已知关于x的方程（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求证：无论常数m取何值，方程总有实数根．（2）当整数m取何值时，方程有两个整数根．13、已知：关于x的一元二次方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．（1）求证：不论实数m取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m的取值范围．（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值．14、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m-4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．15、已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．16、已知：关于x的一元二次方程x2-（2m-3）x+m2-5m+2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若10＜m＜21，是否存在整数m，使方程有两个整数根，若存在求出m的值；若不存在请说明理由．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k的值．20、已知一元二次方程（2k-3）x2+4kx+2k-5=0，且4k+1是边长为7的菱形对角线的长，求k取什么整数值时，方程（2k-3）x2+4kx+2k-5=0的根都是整数？。

数学上册综合算式专项练习题解一元二次方程的实根与虚根一、一元二次方程的定义和一次二次方程的区别一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为常数，且a ≠ 0。

一元二次方程的最高次项是二次项，即x的指数为2，而一次方程的最高次项是一次项，即x的指数为1。

一元二次方程与一次方程的区别主要体现在最高次项的不同，这也是两者之间解的性质不同的根源。

二、一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有两种，一种是因式分解法，另一种是求根公式法。

1. 因式分解法若一元二次方程可以被因式分解为两个一次方程的乘积，则可以通过求解得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

2. 求根公式法对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式直接求解。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a三、实根和虚根的区别解一元二次方程时，方程的根有可能是实根或虚根。

1. 实根当一元二次方程的判别式(b^2 - 4ac)大于或等于零时，方程存在实根。

实根是指能够在实数范围内解出的根，即x的值可以是一个实数。

2. 虚根当一元二次方程的判别式小于零时，方程存在虚根。

虚根是指无法在实数范围内解出的根，即x的值无法是一个实数。

虚根的形式为a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

四、综合算式专项练习题解题示例下面通过一些综合算式专项练习题来解释一元二次方程的实根与虚根的概念。

1. 题目：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0的根。

解析：这是一个具有实根的方程。

根据求根公式，代入方程中的系数a、b、c，得到：x = (-6 ± √(6^2 - 4*1*9)) / 2*1= (-6 ± √(36 - 36)) / 2= (-6 ± 0) / 2= -3所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的唯一解为x = -3。

方程的公共根、有理数根、整数根知识要点：本节内容是竞赛中的常见问题,除需掌握方程的基本知识外,更需了解整除的性质、奇偶性的分析、完全平方数等方面的知识.这类问题思维性强,方法灵活多变,难度也较大,需要较强的综合分析能力和解决问题的能力.解题方法：此类问题通常解决以下两个基本问题：一是求系数中所含参数的取值或取值范围；二是求出符合要求的根（公共根、有理根、整数根）.其常用方法有：（1） 先出方程的根，再确定参数的取值；（2）利用根的判别式；（3）利用韦达定理，特别是判别式不是或难以判定是否为完全平方数时；（4）参数交换法.试题精选：例1（1989年全国初中数学联赛题）已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0①和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0② (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a,b 的值.[思路分析]当方程易求出其根时,不妨先求出方程的根,再比较哪个解是公共根,进而确定求出a,b 的方案.[解题过程]解：用因式分解法求得：方程①的两个根是a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . ∵由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－.解得⎩⎨⎧=42b a ＝或⎩⎨⎧==24b a .[解题点评]探求方程的公共根问题,常见有两种思考途径：一是求根后对比确定出公共根；二是设公共根代入方程后再对比.例2（1993年苏州市初中数学竞赛题）若m 为给定的有理数,k 为何值时,方程0423)1(422=+-+-+k m m x m x 的根总为有理数？[思路分析]要使方程有有理根,只需方程的判别式为完全平方数,这又要使此“判别式的判别式为0”.[解题过程]解：∵)446(4)423(4)]1(4[222+--=+---=∆k m m k m m M .要使原方程有有理根,只需∆为完全平方式，只需)446(2+--k m m 为完全平方式,从而只需 Δ/=01620)44(4)6(2=+=---k k ∴45-=k . 故当45-=k 时，原方程的根总为有理数. [解题点评]对于一元二次方程为有理数,要使方程根为有理数（或整数）根,则Δ应为完全平方数,即所得的Δ的二次三项式的/∆=0.例3(2002年全国初中数学联赛)试确定一切有理数r,使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.[思路分析]在0≠r 的前提下,由韦达定理可得两根21x x +及21x x 的关系式,消去r 后转化为不定方程5)1)(1(21=--x x 的整数根问题.[解题过程]解：（1）当0=r 时，方程化为022=-x ,方程有整数根1=x ；（2）当0≠r 时,设方程两整数根为1x ，2x （21x x ≤）,则⎩⎨⎧--=+-=+-=-=rrr x x r r r x x 21223232121.两式相减，得4)(2121=+-x x x x 即5)1)(1(21=--x x又21x x ≤，且1x ，2x 为整数，∴ ⎩⎨⎧=-=-511121x x ； ⎩⎨⎧-=--=-115121x x 。

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

特殊根问题题型 对应题目题型目标整数根问题 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题 例5，例6，练习4，练习5．题型一：整数根问题解决整数根问题的思路： 1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0； 2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值； 3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b -∆2a 的整数倍． 以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数． 【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根 ()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意． 法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数 ()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -2的倍数，故符合题意. 【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=． ⑴讨论此方程根的情况； ⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．题型二：公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】 设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①② ①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围；⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根， 求2288b c b c-+的值．题型一 整数根问题 巩固练习【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二 公共根问题 巩固练习【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。

专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 （黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题)2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m(四川省竞赛题)3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k +的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21- D ．21 （北京市竞赛试题）8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（ ） （太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）。

1一元二次方程的根的判别式与整数根问题(门头沟)已知：关于x 的一元二次方程02)21(22=-++-k x k x 有两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）当k 为何负整数时，原方程的根为整数(海淀)已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx .（1）求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根；（2）当原方程的根为整数时，求正整数m 的值(房山)已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x⑴求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；⑵若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值(昌平)已知关于x 的方程（k+1）x 2+(3k-1)x+2k-2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；2(密云)已知：1x 、2x 分别为关于x 的一元二次方程2220mx x m ++-=的两个实数根．设1x 、2x 均为两个不相等的非零整数根，求m 的整数值(东城)已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（朝目）已知关于m 的一元二次方程2210x mx +-=（1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于-1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值（丰台）已知关于x 的方程()22330kx k x k +-+-= ⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？。

数学上册综合算式专项练习题解一元二次方程的整数根与非整数根问题一、整数根的特征整数根是指一个一元二次方程的解为整数的情况。

为了确定一个一元二次方程是否有整数根，我们可以通过判断其判别式的平方根是否为整数进行推断。

对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)，其判别式D = b^2 - 4ac。

1. 当判别式D的平方根为整数时，那么该一元二次方程必然有整数根。

2. 当判别式D的平方根不为整数时，那么该一元二次方程不存在整数根。

二、非整数根的特征非整数根是指一个一元二次方程的解为非整数的情况。

为了确定一个一元二次方程的非整数根，我们可以通过判断其判别式和平方根的关系进行推断。

1. 当判别式D为正数时，且平方根为无理数时，那么该一元二次方程必然有两个不相等的非整数根。

2. 当判别式D为0时，那么该一元二次方程必然有两个相等的非整数根。

3. 当判别式D为负数时，那么该一元二次方程没有实数根，其解为复数，属于虚数。

三、求解一元二次方程的整数根与非整数根的方法解一元二次方程的整数根与非整数根的方法主要包括求判别式、求平方根和代入验证三个步骤。

1. 求判别式D = b^2 - 4ac。

2. 如果判别式D的平方根为整数，说明该一元二次方程存在整数根，可以直接得出整数根。

3. 如果判别式D的平方根为非整数，根据判别式D的正负和是否为0，可以分类讨论非整数根的情况。

(a) 若D > 0，则方程有两个不相等的非整数根。

可以使用求根公式x = (-b ± √D)/(2a)求解。

(b) 若D = 0，则方程有两个相等的非整数根。

可以使用求根公式x = (-b ± √D)/(2a)求解。

(c) 若D < 0，则方程没有实数根，其解为复数，属于虚数。

四、实例分析现在，我们通过一个具体的例子来说明上述方法的应用。

例题：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根。

解：首先，我们计算判别式D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49。

一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学（364412） 李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。

它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。

学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。

一、观察已知的方程的两根能否先求出。

若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。

例1 已知方程（a 2 – 1）x 2 – 2(5a+1)x +24 =0有两个不相等的负整数根根，则整数a =解析：在a 2 – 1≠ 0条件下，可求得方程的两个根x 1 = ，x 2 = ； 由x 1是负整数可得a 的可能值为：- 2，-3，-5；由x 2是负整数可得a 的可能值为：- 1，-2，-5；取相同的a 值- 2、- 5，即为所求。

评注：原方程的两根可以先求出（用a 表示），利用整除的性质，确定出所有的a 的可能值。

14+a 16-a二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。

例2 已知方程x2 + kx – k + 1 = 0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k =解析：依题意可知∆ = k2 + 4k - 4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2 + 4k – 4= t2, (k + t +2)(k+2 -t) = 8(k + t +2)与(k+2 -t)同奇偶且8是偶数，所以有：解得k = 1 或– 5经检验：k = 1 或– 5满足题目的要求。

评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数 整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。

三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。

例3 求所有有理数r,使得方程rx2 + (r+1)x + r – 1= 0的所有根为整数。

黑体小四板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中的数量关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决．很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握．其实应用题关键在于读题，弄懂题意．一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解．一、设未知数的三种方法 1．直接设未知数直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况． 2．间接设未知数 设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． 3．引入辅助未知数 设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去． 注意：解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题．二、列方程解应用题的步骤知识点睛中考要求一元一次方程的应用的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为x，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；4．列：根据这个相等关系列出方程；5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；6．验：检验所求得的解是否符合题意；7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．一、列方程【题01】根据条件列出方程（1）某数的10倍比9大1；（2）某数的14比这个数小5；（3）某数的30%比这个数的20%小2【题02】某数的23比这个数的34小5，设某数为x，下面列出的方程正确的是（）A．23534x x=+B．23534x x+=-C．23534x x=-D．23534x x-=【题03】根据条件列方程：某数的3倍减去9，等于该数的13加上6．【题04】某数的70%与这个数的3倍的差等于11，设某数为m，则列出的方程为．【题05】甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽x人到甲队，使甲队是乙队人数的2倍，依题意，列出方程为．【题06】某工程，甲工程队单独做40天完成，乙工程队单独做需要60天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作x天完成．列方程为．二、一元一次方程的应用例题精讲1．和差倍分问题【题07】2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米．【题08】北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009 年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？【题09】在环保竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10％，而男生的人数比女生多10％．试问男、女生的平均成绩各是多少？【题10】十堰市东方食品厂2003年的利润（总产值-总支出）为200万元，2004年总产值比2003年增加了20％，总支出减少了10％．2004年的利润为780万元．问2003年总产值、总支出各是多少万元？【题11】某商场甲、乙两个柜组12月份营业额共64万元，1月份甲增长了20％，乙增长了15％，营业额共达到75万元．试求两柜组1月份各增长多少万元？【题12】据《衢州日报》2009年5月2日报道：“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了元钱．【题13】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是cm．【题14】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm．（保留整数）【题15】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装3.5吨货物，这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨，问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？【题16】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的23多28人．现因任务需要，从乙队调走20人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【题17】甲仓库有粮120吨，乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运吨到乙仓库，调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．【题18】甲乙两个圆柱体容器，底面积比为53∶，甲容器水深20cm，乙容器水深10cm，再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米？【题19】玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍，且“朝天龙”比“水泡”少1条，这三种金鱼各有几条呢？【题20】某区中学生足球联赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分．试问该队胜了几场？【题21】很久很久以前，有一位穷苦的农民，在路上遇见了一个魔鬼．魔鬼拉住农民的衣服说：“嗨，你的钱多得很啊!”农民答道：“不瞒你说，我穷得丁当响，全部家当，就是这口袋里的几个铜板．”魔鬼说：“我有一个主意，可以让你轻轻松松发大财．只要你从我身后这座桥上走过去，你的钱就会增加1倍．你从桥上再走回来，钱数又会增加1倍．每走过一次桥，你的钱都能增加1倍．但你必须保证，每次在你的钱数加倍以后，你都要给我24个铜板．否则，就要你的命!”农民点点头说：“好吧!”农民过了一次桥，确定钱数增加了1倍，就给了魔鬼24个铜板；第二次过桥，口袋的钱数又增加l倍，他又给了魔鬼24个铜板；第三次过桥，口袋里的钱又照例增加了1倍，不过增加以后总共只有24个铜板，统统被魔鬼抢去，分文不剩．那么农民在遇见魔鬼以前有多少钱呢？【题22】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只？【题23】一个袋中有若干个红色和蓝色的小球，如果从袋中取出一个红色的小球后，袋中剩下的小球数的17是红色的；把这个红色的小球放回袋中，再从袋中取出2个蓝色小球后，袋中剩下的小球数的15是红色的，那么袋中原有多少个小球？【题24】一批树苗按下列方法分给各班：第一班取100棵和余下的110，第二班取200棵和余下的110，……最后树苗全部被取完且各班树苗数都相等．求树苗总数和班级数．2．工程问题【题25】某车间原计划每周装配42台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【题26】甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？【题27】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【题28】某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时，求两地间路程．【题29】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【题30】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A 港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？4．浓度问题【题31】有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%，需要加盐多少千克？【题32】现有浓度为20%的盐水300克需配制成浓度为60%的盐水，问还需加盐多少克？5．数字问题【题33】一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少54，求原数．【题34】一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后，所得的数比原数小63，求原来的两位数．【题35】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少？6．年龄问题【题36】父亲和女儿现在的年龄之和是91岁，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的13，求女儿现在的年龄．【题37】小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税（利息的20％），所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？８．商品利润问题【题38】学校准备添置一批课桌椅．原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．【题39】某商店将彩电的进价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”结果每台彩电仍获利270元，求彩电的进价．【题40】某商店以每3盒16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盒21元的价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盒k元的价格出售可得到所投资的20％的收益，求k的值．【题41】“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70％销售）和九折（按售价的90％销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元．问：这两种商品原销售价分别为多少元？【题42】对某种商品优惠，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1400元，商品的原价是多少元？【题43】若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p增加到（10%p），求p．【题44】初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，如右图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“五一节”期间的销售额．【题45】某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：品名西红柿豆角批发价（单位：元/kg）1．2 1．6零售价（单位：元/kg）1．8 2．5问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱?9．方案决策问题对超过限额的部分按2.9元／吨收费．一户三口之家上个月用水12吨，交费22元．求该市对三口之家每月用水所作的限额是多少？【题47】夏季为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施．某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高l℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度．求只将温度调高1℃后，两种空调每天各节电多少度？【题48】某音乐厅五月份初决定在暑假期间举办学生音乐专场音乐会，入场券分为团体票和零售票两种，其中团体票是总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份，团体票每张12元，共售出团体票的35，零售票每张16元，共售出零售票的一半，如果在六月份，团体票每张16元出售，并计划在六月份两种票都完全出售，那么，零售票应按每张多少元出售才能使两个月的票款持平？【题49】团体购买公园门票，票价如下：今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？【题50】某校科技小组的学生在3名老师带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本．当地有两家旅行社，分别去两个景区．两家旅行社收取的途中费用和相应的景区门票定价都相同，且对师生都有优惠：甲旅行社表示带队老师免费，学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费．甲景区对师生均收半价，乙景区则规定当人数超过30人时，按4折收费，否则按6折收费．经合算两家旅行社的实际途中收费正好相同．你认为该去何处较合算?若该校在暑假夏令营中，学生数增加了8名，老师不变，则又该去哪个旅行社？【题51】强强在A、B两电子商城发现他看中的4MP的单价相同，U盘的单价也相同．4MP和U盘单价之和是581元，且4MP的单价比U盘单价的5倍少7元．（1）求该同学看中的4MP和U盘的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，电子商城A所有商品打8折销售，电子商城B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了490元钱，如果他只在一家电子商城购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【题52】某超市推出如下优惠方案：①一次性购物不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元不超过300元一律九折；③一次性购物超过300元一律八折．（1）小新妈妈购物付款99元．那她购买的物品实际价格为多少元？（2）若购物付款259.2元．那她购买的物品实际价格为多少元？【题53】“中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利元．问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【题54】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨．但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜销售或加工完毕．为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？【题55】一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产（同一天内一段时间生产酸奶，另一段时间生产奶粉），为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？。

一元二次方程公共根问题假设假设干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：（1）设公共根为α，那么α同时满足这两个一元二次方程；（2）用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围．（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+m x-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解析：〔1〕∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根∴△=16-4k＞0，∴k＜4〔2〕当k=3时，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=18当x=3时，32+m·3-1=0，m=-3当x=1时，12+m·1-1=0，m=0例2 假设两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，那么有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得〔1-a〕α+a-1=0，即〔1-a〕〔α-1〕=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2例3 a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-〔a+b〕x+ab=0与x2-abx+〔a+b〕=0有没有公共根，请说明理由．分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．解：不妨设关于x的方程x2-〔a+b〕x+ab=0与x2-abx+〔a+b〕=0有公共根，设有x0，那么有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得〔x 0+1〕〔a +b -ab 〕=0 ∵a ＞2，b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0=-1 把x 0=-1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的 所以，关于x 的两个方程没有公共根． ① ②。

一元二次方程根的判别式与整数根专项一、根的判别式1、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m －2)x 2+2(m －4)x+m －4=0的两个不等实根。

(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若α2+β2=6时，求m 的值。

2、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程x 2－(k+n)x+(k －m)=0一定有实数根。

3、关于x 的方程22n 41mx 2x +-=0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

4、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2(x 1≠x 2)，在数轴上，表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。

5、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。

6、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?7、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。

求证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。

8、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。

(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。

9、若分式132 2+--x xx的值为0，则x的值为 ( ) A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或110、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。

学科：数学专题：一元二次方程的公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 金题精讲题一：题面：若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值满分冲刺题一：题面：已知两个二次方程x 2+ax +b =0与x 2+cx +d =0有一个公共根为1，求证：二次方程x 2+2a c +x +2b d +＝0也有一个根为1．题二：题面：已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-(a +b )x +ab =0与x 2-abx +(a +b )=0有没有公共根，请说明理由．课后练习详解金题精讲题一：答案：a = -2详解：设两个方程的公共根为δ，则有20a δδ++= ①210a δδ++= ②①-②得(1)10a a δ-+-=，即(1)(1)0a δ--=因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以δ=1把δ=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0，a = -2．满分冲刺题一： 答案：二次方程x 2+ 2a c +x +2b d +＝0也有一个根为1． 详解：∵x =1是方程x 2+ax +b =0和x 2+cx +d =0的公共根，∴a +b +1=0，c +d +1=0，∴a +c +b +d +2=0，∴b +d = -a -c -2 ①把①代入方程x 2+2a c +x +2b d +=0，得：x 2+2a c +x -1-2a c +=0， (x 2-1)+2a c +(x -1)=0，(x -1)(x +1+2a c +)=0， ∴x 1=1，x 2= -1-2a c +．故二次方程x 2+2a c +x +2b d +=0也有一个根为1．题二：答案：关于x 的两个方程没有公共根．详解：不妨设关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有公共根，设为x 0，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2，b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0= -1把x 0= -1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的所以，关于x 的两个方程没有公共根．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作① ②。

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 2b ak -=或2b ak -，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．知识点睛例题精讲中考要求一、一元二次方程的公共根【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【巩固】三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例2】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【巩固】二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根【例3】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【巩固】当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例4】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【巩固】方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．【巩固】已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例6】已知k为常数，关于x的一元二次方程22-+-+=的解都是整数，求k的值．k k x k x(2)(46)80【巩固】设关于x的二次方程2222-++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实k k x k k x k(68)(264)4数k的值．【巩固】k为什么实数时，关于x的方程2----+=的解都是整数？k k x k x(6)(9)(11715)540【巩固】若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例7】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【巩固】已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．【巩固】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例8】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【巩固】已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【巩固】已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例9】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【巩固】已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【例10】求所有有理数r，使得方程2(1)(1)0+++-=的所有根是整数．rx r x r【巩固】已知p为质数，使二次方程22x px p p-+--=的两根都是整数，求出所有可能的p的值．2510【例11】设m是不为零的整数，关于x的二次方程2(1)10--+=有有理根，求m的值．mx m x【巩固】已知方程219990-+=有两个质数根，则常数a=________．x x a【例12】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根【巩固】设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．【巩固】试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例13】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC∆一定是直角三角形．【巩固】若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．【例14】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【巩固】求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．【例15】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【巩固】求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例16】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【巩固】已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．【巩固】设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．【例17】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．【巩固】已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>．⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．【例18】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例19】n为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________． 课后作业【例20】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440-+--=的根都是x mx m m-+=与22mx x44450整数．【例21】当m为何整数时，方程22x mx m-+=有整数解．2525【例22】已知方程210+-+=有两个不相等的正整数根，求m的值．x mx m【例23】已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a+-+-=至少有一个整数根，求a的值．【例24】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mx x-+=与2244450x mx m m-+--=的根都是整数．【例25】已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21()0 2x abx a b-++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例26】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例27】 求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解． 【例28】。