奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．一、一元二次方程的公共根【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC∆一定是直角三角形．【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．知识点睛例题精讲【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【例20】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例24】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例29】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．【例30】 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．【例32】 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．【例33】 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例35】 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．【例36】 求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解．【例37】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例38】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例39】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例40】a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例41】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例42】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例44】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例45】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例46】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例47】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．【例48】 求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．【例49】n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．【例50】 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．【例51】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．【例52】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根【例53】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．【例54】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例55】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例56】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例58】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例59】 设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。

一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。

第四讲：一元二次方程整数解一、因式分解法利用因式分解的方法，将方程一边分解因式，另一边为常数的形式，根据每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积，将问题转化为二元方程组或二元一次不定方程，从而求出原方程的整数解。

【例1】设关于x 的方程()4)462(862222=+--++-k x k k x k k 的至少有一个根是整数，求满足条件的所有整数k 的值。

练习：已知关于x 的方程（k ²-1）x ²-6(3k -1)x +72=0至少有一个整数根，求满足条件的整数k 的值。

二、判别式法因为一元二次方程20ax bx c ++=在△≥0时有根，所以要使方程有整数根，必须△为完全平方数，并且为2a 的整数倍，这是基本思想。

【例2】当x 为何有理数时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积？24b ac =-x 24b ac =-b -29232x x +-【练习】 设关于x 的二次方程的两个根是正整数，求整数m 。

三、韦达定理法如果在判别式中，未知系数的次数较高或未知系数不是整数时，则不便于使用求根公式法，此时可以考虑使用韦达定理构造未知系数或未知数的方程，从而解决本题。

【例3】设关于x 的方程的两个根都是整数，求实数m 的值。

【例4】设关于x 的二次方程()4)462(862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

210x mx m -++=2(3)650mx m x m -++-=测试题：1、对于任意实数x ，二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式，求m 的值2、已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。

3、求满足如下条件的所有实数k 值，使关于x 的方程的根都是整数。

2(1)(1)0kx k x k +++-=4、已知正整数m 满足3052++m m 是完全平方数，求m 的值。

板块一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 均为有理数）的根为有理数的条件是：∆为有理数 2.整数根问题一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根， 并考虑根为正（负、非正、非负）数。

例如：3x=m2m-1x=m 2m-3x=m+1a-3+9-4a x=a一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如a -39-4ax=a±，要利用换元法，设9-4a =k ，得出29-k a=4，将x 中的a 全部替换，得出两个不含根号的解，再讨论整数根问题，方法同上；若△=4a 2-9且a 为整数，则设4a 2-9=k 2，4a 2- k2=9，可得（2a-k ）(2a+k)=9,则讨论整数X 整数=9，讨论出所有满足情况的整数即可，注意k ≥0注意：若方程至少有一实数根，那么通过x1，x2推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有两个实数根（已经确定方程为一元二次方程），那么通过x1，x2推出的相关字母的值，应该取公共解。

板块二.一元二次方程的应用1.增长率问题2.商品利润问题3.图形面积问题4.传播问题5.动点问题一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。

【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式，因此22131()244k k k +=++，整理得230k k +=一元二次方程整数根与实际应用新知学习基础演练解得0k =或13k =-【练一练】设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值． 【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令22(1)4m m n ∆=--=，其中n 是非负整数，于是2261m m n -+=，所以22(3)8m n --=， 由于33m n m n -+--≥，并且(3)(3)8m n m n -+--=是偶数， 所以3m n -+与3m n --同奇偶，所以 3432m n m n -+=⎧⎨--=⎩，或3234m n m n -+=-⎧⎨--=-⎩． 所以61m n =⎧⎨=⎩，或01m n =⎧⎨=⎩(舍去)．所以6m =，这时方程的两个根为12，13．点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．【答案】6m =【例2】 对于任意实数x ，二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式，求m 的值 【解析】略【答案】由题意得2231()24m m m =-+，整理得25410m m +-=解得15m =或1m =- 2.整数根问题【例3】 已知方程21404x x n -+=的根都是整数，求正整数n 的值；【答案】根据题意得，16n ∆=-416821612nx n ±-==±-∵原方程的根均为整数，且n 为正整数 ∴7n =或12n =或15n =【例4】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【解析】4(21)m =+△为完全平方数，又m 为440m <<的整数，则12m =或24．当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让24b ac -为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．【答案】当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．【练一练】已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ∆=+-=+必然是一个完全平方数．又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=⇒=． 此时原方程的两个实数根为：1,22(1)501422m x +±∆±==，不妨设12x x >，则132x =，218x =故24m =．满足∆为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．【答案】24m =【例5】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【解析】∵0a ≠，∴由公式法可得()2212382322a a a a x a a -++==-，()2222382512a a a a x a a --+==-．即135a =，，． 【答案】1、3、5【练一练】b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【解析】两式相减，整理得(2)(2)(1)b x b b -=-+，当2b ≠时，1x b =+，代入第一个方程，得2(1)(1)20b b b +-+-= 解得1b =，2x =当2b =时，两方程无整数根． ∴1b =，相同的整数根是2 【答案】1b =，相同的整数根是2【例6】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】本题的难点在于a 并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论∆是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②，将②代入①，整理得12126x x x x +=- ∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7± 当211x +=时，20x =，16x =，0a = 当211x +=-时，22x =-，18x =-，16a = 当217x +=时，26x =，10x =，0a = 当217x +=-时，28x =-，12x =-，16a = 综上所述，0a =或16a =【例7】 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解． 【解析】原方程可化为关于x 的一元二次方程223(37)370x y x y y -++-=．由于x 为实数，则判别式不小于0，即[]22(37)43(37)0y y y ∆=-+-⨯-≥． 化简得227126490y y --≤，解得211439-≤211439y +≤．由于y 是正整数，则y 只能取1,2,3,4,5．分别将1,2,3,4,5y =代入原方程， 得原方程的两组正整数解为1145x y =⎧⎨=⎩，2254x y =⎧⎨=⎩．【答案】1145x y =⎧⎨=⎩，2254x y =⎧⎨=⎩【例8】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【解析】由题意可知，方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ∆=--=-≥⇒≤ 方程2244450x mx m m -+--=的判别式为222(4)4(445)4(45)0m m m m ∆=---=+≥故54m ≥-，又m 为整数，0m ≠，故1m =-或1m =当1m =时，题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=，满足题意； 当1m =-时，题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=，不合题意．故1m =．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =，此时两个判别式都要是完全平方数．【答案】1m =【练一练】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长【解析】略【答案】由题意得，2124m m ∆=-+，∴2(2)1242m m m x +±-+=，∵该方程的根均为整数∴2124m m -+必为平方数，令22124m m n -+=（n 为正整数） 整理得22(6)32m n --=，∴(6)(6)32m n m n -+--= ∴6m n -+与6m n --同奇同偶 因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得157m n =⎧⎨=⎩或144m n =⎧⎨=⎩当157m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为217600x x -+=，解得5x =或12x =∴直角三角形斜边为13当122m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为214480x x -+=，解得6x =或8x =∴直角三角形斜边为10【练一练】已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【解析】观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦． 因为a 是正整数，所以关于x 的方程：2(18)560x a x +++= ……①的判别式2(18)2240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数． 设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数)，则22(18)224a k +-=，即：(18)(18)224a k a k +++-=． 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以：18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩．而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩．当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．此时原方程的三个根为1，1-和56-．当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-．此时原方程的三个根为1，2-和28-．【答案】当39a =时，原方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，原方程的三个根为1，2-和28-【例9】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =-，269x k =-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数．【答案】367915k =，，，，【练一练】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 值．【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．即1121x k =+，261x k =-．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =．所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．【答案】2k =【例10】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解． 【解析】解法1：将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得 (2)(2)5x m x m --=故2521x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2125x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2521x m x m -=-⎧⎨-=-⎩，或2125x m x m -=-⎧⎨-=-⎩解得31x m =⎧⎨=⎩，13x m =-⎧⎨=-⎩，31x m =-⎧⎨=-⎩，13x m =⎧⎨=⎩解法2：将方程222525x mx m -+=整理成标准形式：2225250x mx m -+-=由原方程有整数解，首先必须满足222(5)42(25)940m m m ∆=-⨯⨯-=+为一个完全平方数， 不妨设2(0)n n ∆=>，则有22940(3)(3)40m n n m n m +=⇒-+=，又3n m -、3n m +的奇偶性相同，故它们必然同为偶数，则有32320n m n m -=⎧⎨+=⎩，32032n m n m -=⎧⎨+=⎩，32320n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，32032n m n m -=-⎧⎨+=-⎩， 34310n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，34310n m n m -=-⎧⎨+=-⎩解得311m n =⎧⎨=⎩，311m n =-⎧⎨=⎩，17m n =⎧⎨=⎩，17m n =-⎧⎨=⎩代入552222m m n±∆±=⨯⨯中检验可知，均满足题意，故1m =±或3m =±． 注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．点评：解法2看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．解法1看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂．【答案】1m =±或3m =±【练一练】（2009密云）关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.【解析】当a=0时，原方程为620x --=,解得13x =-，即原方程无整数解.当0a ≠时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根， 说明判别式24(3)4(2)4(94)a a a a ∆=---=-为完全平方数，从而94a -为完全平方数，设294a n -=，则n 为正奇数，且3n ≠否则（0a =），所以，294n a -=.由求根公式得 22(3)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+- 所以 12441,1.33x x n n=-+=-++-要使1x 为整数，而n 为正奇数，只能1n =，从而2a =;要使2x 为整数,n 可取1，5，7，从而2,4,10.a =-- 综上所述，a 的值为2,4,10.--【练一练】（2013东城区）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．【解析】(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)42m m x --±++=.要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=. ∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩.将m=－1代入23(1)42m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意. ∴ 当m=－1 时 ，原方程的根是整数.二.一元二次方程的应用1.增长率问题【例11】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？【解析】注意“累计”等名词【答案】设平均增长率为x ，根据题意得22(1)2(1)12x x +++=整理得2340x x +-=，解这个方程得：11x =，24x =-（舍） 答：该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是100%【练一练】某公司成立3年以来，积极向国家上交利税，由第一年的200万元增加到800万元，则平均每年增长的百分数是【解析】略【答案】设平均每年增长的百分数是x根据题意得：2200(1)800x += 解得1x =或3x =-（舍）∴平均每年的增长的百分数是100%【练一练】北京市政府为了迎接2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A.10%B.20%C.30%D.40%【解析】略【答案】设绿地面积的增长率是x ，原有绿地面积为a ，根据题意得2(1)(144%)a x a +=+ 解得20%x =或220%x =-（舍） 则平均增长率为20% ∴选B【例12】 某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？【解析】略【答案】设第一年的利润为x 元，根据题意得(50000)(0.5%)2612.550000xx +⋅+=解得12250x =，252500x =-（舍） 答：第一年的利润为2250元【练一练】某商品两次价格下调后，单价从5元变成4.05元，则平均每次调价的百分率为（ ）A.9%B.10%C.11%D.12%【解析】略【答案】设平均每次调价的百分率为x ，根据题意得，25(1) 4.05x -=，解得0.1x =或 1.9x =（舍） 因此选B【练一练】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ）A.降低了2%B. 没有变化C.上升了2%D.降低了1.99%【解析】注意题目要求，还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额”【答案】设2001年的营业额为a 元，则2002年的营业额为1.1a 元，2003年的营业额1.21a 元，所以2005年的营业额为21.21(110%)0.9801a a ⨯-= 因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了0.9801100% 1.99%a aa -⨯= 所以选择D2.商品利润问题【例13】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？【答案】解：设每件衬衫降价x 元，则每件所获得的利润为(40)x -元，但每天可多售2x 件，每天可卖(202)x +件，根据题意得(40)(202)1200x x -+=，方程化简整理得2302000x x -+=解得120x =，210x = ∵要尽快减少库存，∴20x =答：若商场每天要盈利1200元，每件应降价20元【练一练】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出60件，每件赢利40元．为了迎接“十•一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出6件．要想平均每天销售这种衬衫赢利3600元，那么每件衬衫应降价多少元？【解析】本题可设每件衬衫应降价x 元，则每件赢利(40)x -元，平均每天可售出(606)x +件，根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案．【答案】设每件衬衫应降价x 元，根据题意得(40)(606)3600x x -+=整理得2302000x x -+=解得110x =，220x = ∵要尽快减少库存 ∴20x =答：每件衬衫应降价20元【例14】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？【答案】（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100(10080)2000⨯-=（元）．（2）设后来该商品每件降价x 元，依题意，得(10080)(10010)2160x x --+=整理得210160x x -+=解得12x =，28x = 当2x =时，售价为98元 当8x =时，售价为92元答：商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价为98元或92元【练一练】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．那么每千克的利润为：(32)x --，由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x 元，则每天售出数量为：402000.1x +千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．根据题意，得40(32)(200)242000.1xx --+-=原式可化为：2502530x x -+=解这个方程，得10.2x =，20.3x =答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元．【例15】某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加20%作为售价，售出50盒；第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价【解析】略【答案】设每盒进价x 元，依题意可列下列方程：24005020%5(50)350x x ⨯--=整理得21012000x x --=，解得130x =、240x =经检验130x =-、240x =都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取40x = 答：每盒茶叶进价为40元【练一练】某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价为每只P （元），且R 、P 与x 的关系式为50030R x =+，1702P x =-，当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？【解析】略【答案】根据题意得(1702)(50030)1750x x x --+=，解之，得125x =，245x =（舍），即日产量为25只时，每月获得利润为1750元【练一练】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。

第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。

《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。

＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。

一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

学科：数学专题：一元二次方程整数根重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。

题一题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值.金题精讲题一题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．判别式，整数根题二题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，， 金题精讲题一答案：(1)52k <；(2)k =2. 满分冲刺题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>.∴方程有两个不相等的实数根．⑵(23)x m -±∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数．又∵1240m <<，∴252181.m <+<∴5．21m +∵为奇数，7=∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2-4(m +1)=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=(m +1)2+4∵(m +1)2≥0∴(m +1)2+4≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得x = 要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4是完全平方数 设(m +1)2+4=a 2则(a +m -1)(a -m -1)=4∵a +m -1与a -m -1的奇偶性相同可得{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=- 解得{=21a m =-或{21a m =-=-将1m =-代入23(1)42m m x --±++=得1220x x =-=，符合题意； ∴当1m =-时，原方程的根是整数.。

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

欢迎阅读一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。

）当x=1时，1＋m －1＝0,m=0。

∵m2＋4＞0 ∴此时 m 的值为m ＝0,或m ＝-8/3.例2 若两个关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a 的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac 都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去）?由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得：b > 2(b-1)?即：b < 2?这与 b > 2 矛盾?同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾? 所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有（3）此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值。

第四讲 二次方程总结本讲在一元二次方程的解法、韦达定理的基础上，讨论以下几个方面的内容：可化为二次方程的高次方程、分式方程、无理方程的解法；简单的含有绝对值的二次方程的解法；简单的二元二次方程组以及一元二次方程的应用.一、 解方程的基础知识1．整式方程一般通过消元、降次等方法求解；在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。

特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩求解；2．分式方程一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程； 3．无理方程一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程.二、 例题部分1．高次方程例1（★，1994年兰州初中数学竞赛）解方程222(231)22331x x x x -+=-+例2（★，1957年北京数学竞赛题）解方程44(4)626x x +-=例3（★★，96年竞赛）解方程222(32)3(32)2x x x x x =+-++--例4（★）解方程4322316320x x x x +-++=2．分式方程 例5（★）解方程21421242x x x x +=++--例6（★，94年四川竞赛）解方程2240()()119x x x x +=-+例7（★★，2003年广西赛题）解方程2228140(9)x x x +=+例8（★★）解分式方程21919()8411x x xx x x --+=++例9（★★）解分式方程2248104033x x x x+=-例10（★★）解分式方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---例11（★★★）解分式方程222212219116x x x x x x x +++++=+++3．无理方程 例12（★）解方程13x x +-=例13（★★）215122x x x x +-+=-+例14（★★，99年江苏）解方程22215215199818x x x x ---+=-例15（★★）解方程2266220x x x x x --+--=例16（★★）在实数范围内，分别求解下面的三个方程： （1）21212x x x x +-+--=（2）21211x x x x +-+--=（3）21212x x x x +-+--=4．二元二次方程组例17（★）解方程组54x y xy +=⎧⎨=⎩(1)(2)例18（★★）解方程组221x y xy z +=⎧⎨-=⎩(1)(2)例19（★★）解方程组221329xy x y x y ++=-⎧⎨+=⎩(1)(2)例20（★★）解方程组22(3)()40414x x x y x x y ⎧++=⎨++=⎩5．综合运用例21（★★，2004年黑龙江中考）已知方程组221y xy kx ⎧=⎨=+⎩有两个不相等的实数解；（1）求k 的取值范围；（2）若方程组的两个实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是否存在实数k ，使11221x x x x ++=，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.例22（★★，2003年山东省中考题）已知方程组22010x y a x y ⎧-++=⎨-+=⎩的两个解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，且1x 和2x 是两个不相等的实数，若222121238611x x x x a a +-=--；（1）求a 的值；（2）不解方程组，判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？例23（★★，2001年江苏省中考题）已知方程组2(21)402x k y y x ⎧-+-=⎨=-⎩（1）求证：不论k 为何值时，此方程组一定有实数解；（2）设等腰三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中c ＝4，且2x a y a =⎧⎨=-⎩和2x by b =⎧⎨=-⎩是该方程组的两个解，求三角形ABC 的周长.三、 练习题1、 填空题（1） （★）用换元法解分式方程22315132x x x x -+=-时，如果设231xy x =-，那么原方程可化为__________；（2） （★★，2001年北京市东城区中考）若2282550251x x x x -+-=-+，则2251x x --的值为___________；（3） （★，2001年辽宁中考）方程组224321x y x y ⎧-=⎨+=⎩的解是_____________；2、 选择题（1）（★）解方程组42x y xy +=⎧⎨=⎩时，将x 、y 看成是一个一元二次方程的根，则这个一元二次方程是（ ）A ．2420z z ++=B ．2420z z +-=C ．2420z z -+=D ．2420z z --=（2）（★，安徽中考题）解方程223126135x x x x +-+=-+时，设231x y x +=-，则原方程化为（ ） A ．255260y y +-= B ．25260y y +-= C ．25260y y --=D ．252650y y -+=（3）（★★，广州中考题）方程组210230x y x x y +-=⎧⎨++-=⎩的解是（ ）A ．1110x y =⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=⎩B ．1110x y =⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=-⎩C ．1110x y =-⎧⎨=⎩，2212x y =⎧⎨=⎩D ．1110x y =-⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=⎩3、 解方程（组）（1）（★★，2001年北京市西城区中考）2213211x x x x--=--（2）（★）221(1)x x x -=+（3）（★）2142321x x x x --=-（4）（★）2221010x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩（5）（★★）22223327x y x yx xy y ⎧-=+⎨-+=⎩ 4、 解答题（★★）已知方程组2(21)402x k y y x ⎧-+-=⎨=-⎩（1） 求证：不论k 取何值，此方程组一定有实数解；（2）设等腰三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c ＝4，且2x a y a =⎧⎨=-⎩和2x by b =⎧⎨=-⎩是该方程组的两组解，求这个三角形的周长.。

一元二次方程（四） 整数根与有理根A 卷1．已知k 为整数，且关于x 的二次方程018)13(3)1(22=+---x k x k 有两个不等的正整数根，则k = _________。

2．设一元二次方程0432=-+-a x x 的两根均为整数，且两根同号，则a = __________。

3．方程 (x- a ) (x – 8 ) – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。

4．若p,q 都是正整数，方程0199321212=+-qx px 的两根都是质数，则2p + q = ________. 5．已知p,q 为自然数，方程0199022=+-qx px 两根都是质数，则p+q = ________。

6．若p 是质数，且方程04442=-+p px x 的两根均为整数，则p = ______。

7．设方程02=++p px x 的两根21,x x 均为正整数，若p + q = 28，则)1)(1(21--x x =___________。

8．如果a 为有理数，要使方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根总是有理数，则b 的值应为____________。

9．设关于x 的二次方程02)1()1(222=++++--a a x a a x a 当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解；当a__________时，此方程有两个负整数解。

10．对于整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根的充要条件是________；若a,b,c 均为奇数，则方程_______________，若a,b 为偶娄，c 为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q 互质)，则p,q,a,c 之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数，则方程有______。

B 卷一、填空题1．若k 是自然数，且关于x 的二次方程0)1(2=+--k px x k 有两个正整数根，则 .____________1)(2=++++⋅+-kp k k p k p k k p kp2．两个质数p,q 恰是整系数方程0992=+-m x x 的两根，则.________=+pq q p 3．若二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，则自然数a = ____.4．若正整系数二次方程042=++n mx x 有相异的两个有理根p,q ，且p>q ，又方程022=+-q px x 与方程022=+-p qx x 有一公共根，则方程022=+-q px x 的另一根为___________。

一元二次方程概念、解法、根的判别式一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成__________（________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把__________________（__________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：____________，________________，_____________，_____________等．4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②2110x x+-=；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________．4. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2B ．-2C ．3D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=9 7. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是________．10. 用配方法解方程：（1）2210x x --=；解：22____x x -=， 22___1___x x -+=+， ()2___________=，_______=_____， x = ∴1x = ，2x =（2）210x x +-=； （3）23920x x -+=；（4）24810x x --=； （5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. 用公式法解方程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=； 解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. 用分解因式法解方程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-； 解：( _____ )(54)0x +=，_______=0或_______=0，∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具．例 解方程：42320x x -+=．解：设2y x =，则2320y y -+=，解得，11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =4x =故原方程的解为11x =，21x =-，3x 4x =仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．随堂测试1. 已知关于x 的方程22(1)40m m mx m x -+---=是一元二次方程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，则代数式23a a -=————． 3. 用你认为合适的方法解方程：（1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．作业1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3 2. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（ ） A ．4，7 B ．4，-7 C ．-4，7D ．-4，-7 3. 关于x 的方程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是一元二次方程的是____________．5. 方程(1)(21)2x x -+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．7. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____．8. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．10. 用配方法解方程：（1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. 用公式法解方程：（1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. 用分解因式法解方程：（1）(1)(2)24x x x ++=+；（2）(2)(3)12x x --=．13. 用你认为合适的方法解方程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具．例 解方程：3234120x x x --+=．解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---=2(3)(4)0x x --= (3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解方程：3244160x x x +--=。