韦达定理练习题

一、韦达定理如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax の两个根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =⋅-=+2121, 二、练习1、若方程2x +(2a －2)x －3=0の两根是1和－3，则实数a = __________2、设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0の两根，则2221x x +の值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33、不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根の（1）平方和；（2）倒数和。

4、设21,x x 是方程03422=-+x x の两根，利用根与系数の关系，求下列各式の值。

(1) ()()1121++x x(2) ()221x x - (3) 2112x x x x + 5、求一个一元二次方程，使它の两根分别是25,310-。

6、以方程2x ＋2x －3＝0の两个根の和与积为两根の一元二次方程是（ ）（A ） 2y +5y －6 = 0 （B ）2y +5y ＋6 = 0 （C ）2y －5y ＋6 = 0 （D ）2y －5y －6 = 07、已知方程0652=-+kx x の一根是2，求它の另一根及k の值。

8、已知关于x の方程102x －(m+3)x + m －7= 0①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方程の另一个根是_________ ； ②若两根之和为53-，则m=_________ ，这时方程の两个根分别为_____，_____。

8、已知方程032=+-m x x の两根差の平方是17，求m の值。

9、已知关于x の二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和の2倍，求a の值。

10、如果α和β是方程2x2+3x －1=0の两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它の两个根分别等于βα1+和αβ1+。

巩固练习：1、已知方程2x －3x+1=0の两个根为α,β，则α+β=_____ , αβ= _____ 。

韦达走理练习1、已知关于X的一元二次方程x+x+1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是5、已知x1、x2是方程x+6x+3二0的两个实数根，则6、如果关于x的一元二次方程x - 6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是_________ 、7、已知关于x的一元二次方程x+2x-m二0有两个相等的实数根，则m的值是8、方程x - 2x - 1=0的两个实数根分别为xl, x2,则二9、已知a, 0是一元二次方程x-4x-3二0的两实数根，则代数式二________ 、10、已知x二2是方程x+mx-2二0的一个解，则方程的另一个解为11、用指定的方法解方程22 - 25=0 x+4x - 5=0[1 **********]的值等于-10+25=04) 2x - 7x+3=012、+3+2=013、已知关于x的一元二次方程x+2x+m二0、当m二3时，判断方程的根的情况；当m=- 3时，求方程的根、14、当实数k为何值时，关于x的方程x-4x+3-k二0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、15、阅读材料：如果xl, x2是一元二次方程ax+bx+c=O的两根，那么有xl+x2= - , xlx2二、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例xl, x2是方程x+6x-3二0的两根，求222222xl+x2的值、解法可以这样：Vxl+x2=6, xlx2=-3 则xl+x2=-2xlx2-2X =42、请你根据以上解法解答下题：已知xl, x2是方程x - 4x+2=0 的两根，求：的值；222222222 的值、16、已知xl, x2是方程3x+2x - 1=0的两根，求xl+x2的值、17、已知关于x的一元二次方程x+kx - 1=0,求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根分别为xl, x2,且满足xl+x2二xl・x2,求k的值、18、已知x1、x2是一元二次方程2x - 2x+l - 3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式xl・x2+2>0,求实数m的取值范围、19、已知xl, x2是方程x-2x-2二0的两实数根，不解方程求下列各式的值：20、已知一元二次方程X - 2x+m二0、若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为xl, x2,且xl+3x2=3,求m的值、2222222；、21、阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax+bx+c二0的两根，那么，名的韦达定理、现在我们利用韦达定理解决问题：2已知m与n是方程2x - 6x+3二0的两根填空：m+n= ________ , m* n= _________ ；计算22、已知关于x的一元二次方程x-2x-0二0、如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；如果此方程的两个实数根为xl, x2,且满足23、已知关于x的一元二次方程kx- 2x+k - 1=0有两个不相等的实数根xl, X2、求k的取值范围；是否存在实数k,使+二1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由、222,、这就是著的值、，求a的值、。

知识梳理：一、根与系数的关系例1、若x x 12、是一元二次方程23102x x -+=的两个根，则x x 1222+的值是（ ） A.54B.94C.114D. 7 解：x x x x 12123212+==，·；()x x x x x x 122212212254+=+-= 选A.例2、已知关于x 的方程()x m x m 22210-++=，对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。

解：由题意，得：=∆()[]4841222+=-+-m m m ，要使得方程有实根，则应保证0≥∆故可取m =1，原方程化为x x x x x x 2121241041-+=+==，，·，所以()x x x x x x 122212212214+=+-=例3、已知关于x 的方程x k x k 2220+-+-=()两实数根为x 1、x 2是否存在常数k 使x x x x 122132+=成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由。

解析：假设存在常数k 使x k x k 2220+-+-=()的两实根满足x x x x 122132+=，由一元二次方程的根与系数的关系得x x k 122+=-，x x k 122⋅=-。

因为x x x x x x x x x x x x x x 12211222121221212232+=+=+-=()所以()()k k k ----=2222322解这个方程，得k =112把k =112代入原方程，得x x 272720-+=因为∆=--⨯=-<()724727402 所以原方程没有实数根，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，即不存在常数k ， 使方程两根满足x x x x 122132+=成立。

例4、已知实数a 、b 分别满足a a b b 222222+=+=，，求11a b+的值。

解：由已知得：a a b b 22220220+-=+-=，当a b ≠时，a b 、可看作是方程x x 2220+-=的两个根，故11221a b a b ab +=+=--= 当a b =时，由a a 2220+-=可得：a =-±13故11a b+的值为131、+或-+31 注意：在应用根与系数关系时，要注意∆≥0；例5、已知一元二次方程23502x x +-=，不解方程，求以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程。

韦达定理练习题1.已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，求k 的值2.若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，请你写出一个以α、β为根的一元二次方程。

3.已知方程0242=+-x x ，请写出一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。

4.m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数5.在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与3-；小王看错了q, 解得方程的根为4与2-。

这个方程的根应该是什么？6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，求它的斜边。

7.设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3）112112+++x x x x （4）||21x x - （5）)31)(31(1221x x x x ++（6）3231x x + 8.已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且02221=-x x ，求m 的值9.已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

10. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。

11.已知一元二次方程021102=++-a x x 。

（1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？12. 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。