初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

【最新整理，下载后即可编辑】韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。

本讲重点介绍它在五个方面的应用。

【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

★★例1若a，b为实数，且，，求的值。

思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。

解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。

根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。

一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。

其中n为自然数。

由此关系可解一批竞赛题。

附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2若，且，试求代数式的值。

思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。

解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。

（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。

求所有这样的一元二次方程。

解（1）由韦达定理知，。

，。

所以，所求方程为。

（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。

于是，得以下七个方程，，，，，0x2=x21x2=+无实数根，舍去。

-，其中01+x2=+，01其余六个方程均为所求。

3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。

韦达定理练习题一、选择题1. 已知二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，根据韦达定理，下列哪个选项是错误的？A. \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)B. \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \)C. \( x_1 + x_2 = \frac{c}{a} \)D. \( x_1x_2 = -\frac{b}{a} \)2. 对于二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，使用韦达定理，下列哪个选项是正确的？A. 根的和为 5B. 根的积为 -6C. 根的和为 3D. 根的积为 63. 如果二次方程 \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的一个根是 \( x = 1 \)，那么另一个根是：A. 0.5B. 2C. -2D. 1二、填空题4. 假设二次方程 \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \) 的根为 \( x_1 \) 和\( x_2 \)，根据韦达定理，\( x_1 + x_2 \) 等于 ________。

5. 对于二次方程 \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)，其根的积 \( x_1x_2 \)等于 ________。

6. 如果二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根相等，即\( x_1 = x_2 \)，那么 \( b^2 \) 与 \( 4ac \) 之间的关系是\( b^2 \) ________ \( 4ac \)。

三、解答题7. 已知二次方程 \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)，求出它的两个根，并验证韦达定理是否成立。

8. 给定一个二次方程 \( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \)，使用韦达定理求出它的两个根，并计算根的和与积。

9. 如果二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根的和为 5，根的积为 6，求出 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值。

韦达定理练习题初三韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。

在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。

下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

【题目一】已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。

【解题思路】根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：a² = b² + c² - 2bc * cosA其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。

根据已知条件，代入公式中可得：8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA进一步计算可得：64 = 36 + 100 - 120cosA28 = -120cosAcosA ≈ -0.233由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。

【题目二】已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。

【解题思路】根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。

cosA = (b² + c² - a²) / 2bccosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24cosA ≈ 0.5由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。

角B = arcsin(b * sinA / a)角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)角B ≈ 0.573 rad角C = π - A - B角C = π - 0.5 - 0.573角C ≈ 2.068 rad根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)S ≈ 110.4所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。

韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。

9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。

11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。

12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。

13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。

14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。

若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。

15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。

16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。

初三数学竞赛专题——韦达定理一、选择题1．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413B ．1949413C ．999413D ．979413 答案：B2．如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( )A ．22123B ．22125或2C ．22125D ．22123或2(2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题)答案：B3．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3答案：C 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1答案：C5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x答案：C6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 答案：C7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25C ．5D ．2 答案：B二、填空题8．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． (2003年天津市竞赛题)答案：5．9．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2001年内蒙古中考题)(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．(2003年四川省中考题)答案：（1）2135-≤<-m ；（2）7>m 10．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．(2003年金华市中考题)答案：611．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．(2002年四川省竞赛题) 答案：18211≤<m ． 12．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．(2002年湖北省黄冈市中考题)答案：一313．已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． (2001年浙江省绍兴市竞赛题)答案：014．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)答案：30，2三、解答题15．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 答案：（1）125≤k ；（2）0=k ． 16．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．(2002年苏州市中考题)答案：（1）△=02)1(22>+-m ；（2）4=m ，51±=x ；0=m ，01=x ，22-=x17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．答案：1222===n m BD AD BC AC ，即m=2n ①，△=4n 2一m 2—8n 十16>0 ②，把①代人②得，n ≤2．又222119)(<-x x ，得4n 2一m 2—8n+4<0③，把①代人③，得n>21，∴221≤<n ， ∴n=l ，2，从而得m=2或4．18．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．(全国初中数学联赛题) 答案：（1）2175-=m ；（2）原式=25)23(22--m ，当1-=m 时，最大值为10．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；(2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．答案：（1）m=8；（2）BE=2．20．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．(第十六届江苏省竞赛题) 答案：当32=m 时，2221x x +有最小值，这个最小值为98 21．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题) 答案：（1）当m=2时，△=0，∴AB ∥CD 且AB=CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．当m>2时，△=m 一2>0，又AB+CD ＝2m>0，047)21(2>+-=⋅m CD AB ，∴AB ≠CD ，而AB ∥CD ，故四边形ABCD 是梯形．（2）12121=-=AB DC PQ ，∴2=-AB DC ，∵AB DC BC DC AB DC ⋅-+=-4)()(22 ，∴)2(4)2(2222+--=m m m ，解得3=m ，从而AB=2，CD=4．22．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．(2000年俄罗斯数学竞赛题)答案：设01121=++ax x ，0121=++c bx x ，得b a c x --=11，由0222=++a x x ，0222=++b cx x ，得12--=c b a x （c ≠1），故121x x =．另一方面由韦达定理知11x 是第一个方程的根，这就表明2x 是方程012=++ax x 和02=++a x x 的公共根．因此两式相减有0)1)(1(2=--x a ，但当1=a 时，这两个方程无实根，故x 2=l ，从而x 1=l ，于是2-=a ，1-=+c b ，所以3-=++c b a23．关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 答案：由条件得14)(2+=+ab b a ，又△=0434)(92≥⨯⨯-+ab b a ，∴ab b a 316)(2≥+，即ab ab 31614≥+，∴4ab ≤3，从而4ab+1≤4．即(a+b)2≤4．。

韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。

在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。

练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。

1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。

请计算第三边的长度。

解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。

其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。

根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。

我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。

c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。

练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。

2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

请计算另一条高的长度。

解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。

首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。

根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。

其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。

根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

假设另一条高的长度为h₂。

根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。

韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。

通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。

现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。

如果a=b=c，则为等边三角形。

其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。

如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。

然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。

如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。

最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。

练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

九年级数学竞赛题：韦达定理一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 求根公式是：1x =1x a ba b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+2224)(42221ac a ac a ac b b x x ==---=⋅2222221444)4()(这表明一元二次方程两根的和与积，可用一元二次方程系数表示，“acx x a b x x =-=+2121,”被称为一元二次方程的根与系数的关系，常常被称为韦达定理，这是因为该定理是16世纪最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式里包含了丰富的数学内容，在以下方面有广泛的应用： （1）求代数式的值；（2）确定方程中参数的值；（3）结合根的判别式，讨论根的符号特征； （4）逆用构造一元二次方程辅助解题等．例1 （1）若方程042=+-c x x 的一个根为2_______，c =______． （2）已知方程0532=-+x x 的两根为x 1、x 2，则=+2221x x _________．（3）已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为__________．例2 若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实数根为x 1、x 2，且42121-+>x x x x ，则实数m 的取值范围是（ ）．A 、35->m B 、21≤m C 、35-<m D 、2135≤<-m 例3 已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23，求m 的值． 例4已知关于x 的一元二次方程)0(02=/=-+a a x ax （1）求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有不等两实根； （2）设x 1、x 2 是该方程的两个根，若a x x 求,4||||21=+的值．例5（1）△ABC 的一边长为5，另两边长恰为01222=+-m x x 的两根，求m 的取值范围． （2）已知1≠xy ，且有yxy y x x 求,0520019,092001522=++=++的值． （3）已知x 、y 均为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．1．若x 1、x 2是方程0132=+-x x 的两个实数根，则2111x x +的值是____________． 2．已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为___________． 3．已知关于x 的方程02)(2=-++-ab x b a x ，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）21x x =/，（2）ab x x >21，（3）222221b a x x +>+，则正确结论的序号是__________． （在横线上填上所有正确结论的序号）．4．已知x 1、x 2是方程032=--x x 的两根，那么2221x x +的值是（ ）． A ．1 B ．5 C ．7 D ．7495．已知α、β是关于x 的一元二次方程0)32(22=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，则m 的值是（ ）．A ．3或-1B ．3C ．1D ．-3或16．在Rt △ABC 中c b a C 、、,90 =∠分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，b a 、是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长为（ ）． A ．23 B ．25C ．5D ．2 7．已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x k kx 有两个不相等的实数根x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使11121=+x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．已知关于x 的一元二次方程0241)2(22=-++-m x m x ． （1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根x 1、x 2 满足182221=+x x ，求m 的值．9．若整数m 使方程020062=++-m mx x 的根为非零数，则这样的整数m 的个数为___________．10．设x 1、x 2是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是___________．11．已知1=/ab 且 有08199552=++a a 及05199582=++b b ，则=ba___________． 12．已知实数b a =/，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a ，则baaa b b +的值为（ ）．A ．23B ．-23C ．-2D ．-1313．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）． A ．10≤≤m B ．43≥m C ．143≤<m D ．143≤≤m14．若一元二次方程02=++q Px x 的两个根为p 、q ，则pq 等于（ ）． A ．0 B ．1 C ．0或-2 D ．0或115．已知关于x 的方程0122=++px x 的两个实数根一个大于1，另一个小于1，求实数p 的取值范围．16．已知x 、y 是正整数，并且的值求2222,120,23y x xy y x y x xy +=+=++．17．已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作D EF AD MN C //,//，分别交AB 、CD 、AD 、BC 于点M 、N 、E 、F ，设PF PN b PE PM a ⋅=⋅=,解答下列问题：（1）当四边形ABCD 是矩形时，见图1，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD 是平行四边形，且∠ A 为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设,k PDBP=是否存在这样的实数k ，使得94ABD PEAM =∆S S 平行四边形? 若存在，请求出满足条件的所有是的值；若不存在，请说明理由．。