韦达定理(常见经典题型)

韦达定理全面练习题及答案1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0?≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么nmx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

例3.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根。

求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 .例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

这个方程的根应该是什么?例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。

3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形4．已知关于x的方程x的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

韦达定理练习题
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且
，则。

4、已知是方程的两个根，那么：
；
；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且
，则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

7、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
8、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论
取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

9、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求
的值。

10、是否存在实数，使关于的方程
的两个实根，满足2
321 x x ，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

11、已知关于的一元二次方程
（）的两实数根为
，若，求的值。

12、实数
、分别满足方程和，求代数式
的值。

一元二次方程知识网络结构图等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，未知数的最高次数是 2 （二次）的方程为一元二次方程厂直接开平方法因式分解法 <配方法'b 2 -4ac >0u 方程有两个不相等的实数根J 公式法Jb 2-4ac =0二 方程有两个相等的实数根b 2 -4ac < =方程无实数根1 •方程中只含有_个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 _，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 _______________ （ a b 、c 、为常数，a _______ ）。

2. 一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 ______________ 的平 方，而另一边是一个 __________ 时，可以根据 ________ 的意义，通过开平方法求 出这个方程的解。

（2） 配方法：用配方法解一元二次方程 ax 2 • bx • c = o a = 0的一般步骤是： ① 化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；② 移项，使方程左边为 _______ 项和 ________ 项，右边为 _______ 项； ③ 配方，即方程两边都加上 ___________________ 的平方； ④ 化原方程为（x • m ）2二n 的形式，如果n 是非负数，即n_0,就可以用 ________________ 法求出方程的解。

如果n v O ,则原方程 ________ 。

（3） _____________________________________________________ 公式法：方程 ax 2+bx+c = O （a 式0），当 b 2-4ac ________________________ 0时，x = _________ （4） 因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ________ ; ② 将方程的左边化成两个 的乘积；③ 令每个因式都等于，得到两个 ___________ 方程；④ 解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

韦达定理经典习题一．选择题（共16小题）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．42．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A．﹣4B．2C．4D．﹣33．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2015C．2016D．20174．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣96．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，27．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）A．B．1C．D．8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A．B．C．﹣D．﹣10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=011.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014B．2015C．2012D．2013二．填空题（共30小题）12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=．15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=．16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为．17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为．18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．20已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．21．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=．22.已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．23.已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=．．24.已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现25.若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．26.设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．27.．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为．28.．若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．三．解答题（共4小题）29.已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．30.已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值．31.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．方程两根x1，x2x1+x2=x1x2=x2+2x+1=0x2﹣3x﹣4=0x2+4x﹣7=01212=，x1x2=利用你的猜想解下列问题：若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根求，x12+x22和（x1+2）（x2+2）的值．。

例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．求：m+n=，m•n=；变式一：已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代数式baa+b的值为一、精题精炼变式四：若一元二次方程2x 2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m 的取值范围．二、问鼎巅峰已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x31＋14x2＋55＝______．三、参考答案【例题】直接根据根与系数的关系求解；得m+n=﹣=3，mn=；变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=，x1•x2=﹣；（1）原式===﹣2；（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；（3）原式===﹣3；（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b ﹣1=0两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=2；变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1所以：+===3当a=b，则原式=2∴答案为2或者3变式四：，解得m＜1．问鼎巅峰【解析】∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，∴x21＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，∴x21＝－4x1－2，而x31＝x21·x1，∴x31＋14x2＋55＝x21·x1＋14x2＋55＝(－4x1－2)·x1＋14x2＋55＝－4x21－2x1＋14x2＋55＝－4(－4x1－2)－2x1＋14x2＋55＝14(x1＋x2)＋8＋55＝14×(－4)＋63＝7.四、回味展望本类题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

2. 二、韦达定理的推导求根公式法推导一元二次方程²的求根公式为ax ²+bx +c =0 (a≠0)的求根公式为aac b b x 242-±-= 那么两个根aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---=+a ac b b 242---=a b 22-=ab -×a ac b b 242---=2224)4()(a ac b b ---=ac 三、韦达定理的应用1.已知方程求两根之和与两根之积例如，对于方程2x ²-5x +3=0，这里a =2，b =-5，c =3根据韦达定理，两根之和x 1+x 2 =a b -=25232.已知两根之和与两根之积构造方程若已知两根之和为m ，两根之积为n ，则可构造方程x ²-mx +n =0。

比如，两根之和为 4，两根之积为 3，那么构造的方程为x ²-4x +3=0。

3. 不解方程求与两根有关的代数式的值例如，求(x 1-x 2)²的值。

(x 1-x 2)²=(x 1+x 2)²-4x 1x 2 ，已知两根之和与两根之积，代入即可求解。

4. 利用韦达定理判断方程根的情况由韦达定理可知，当b ²-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时两根之和与两根之积均有确定的值。

当b ²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，两根之和为-当b ²-4ac ＜0时，方程无实数根，韦达定理在这种情况下无意义。

四、韦达定理的注意事项1. 韦达定理只有在一元二次方程有实数根的情况下才成立。

2. 在应用韦达定理时，要先确定方程中a 、b 、c 的值，且a ≠0。

3. 对于一些特殊的一元二次方程，如缺项方程（如ax ²+c =0），也可以利用韦达定理求解，但要注意分析具体情况。

五、韦达定理的典型例题及讲解 1.已知方程的一根，求另一根及字母系数的值例题：关于x 的一元二次方程02)1(2=---x x m ，若x=-1是方程的一个根，求m 的值及另一个根。

韦达定理的运用一.典范例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4,求另一个根.解：设另一个根为x1,则相加,得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1,x2,求作一个新的一元二次方程,使它的两根分离为和.解：∵又∴代入得,∴新方程为例3：断定是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭,∴若是,则另一根为∴,.∴认为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴xy=5又xy=6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中,两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m （m－2）=0的两根,且斜边长为13,求S的值解：无妨设斜边为C=13,两条直角边为a,b,则2.又a,b 为方程两根.∴ab=4m（m2）∴S但a,b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时,∴m=5∴S.例6：M为何值时,方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数,一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不消失如许的情形.③∴m<7④∴m=7⑤∴不消失这种情形【模仿试题】（答题时光：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根,则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋,可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48,则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5,这两个数的积比a多3,则a为何值时,这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根,求a的取值规模.6. 已知方程组的两组解分离为,,求代数式a1b2+a2b1的值.7. ABC中,AB=AC, A,B,C的对边分离为a,b,c,已知a=3,b 和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根,求ABC的周长.【试题答案】1. －12. 4,13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提醒：分a=－3以及a≠－3评论辩论求解6. 13例 1 已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1.x2,无妨设x1≤x2．由韦达定理,得x1＋x2＝－p,x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．留意到x1－1.x2－1均为整数,解得x1＝2,x2＝200;x1＝－198,x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数,求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1.x2,且无妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11,即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1.x2为正整数,解得x1＝1,x2＝5;x1＝2,x2＝3．故有m＝6或7．例 3 求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0,得x＝1,即k＝0相符请求．若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1.x2,由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2,(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1.x2－1均为整数,所以例 4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α,0). (β,0)两点,且α＞1＞β,求证：p＋q＞1．(’97初中数学比赛试题)证实：由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α.β．由韦达定理得α＋β＝p,αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ,＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式.判别式与根的个数关系.判别式与根.韦达定理及其逆定理〖大纲领求〗1.控制一元二次方程根的判别式,会断定常数系数一元二次方程根的情形.对含有字母系数的由一元二次方程,会依据字母的取值规模断定根的情形,也会依据根的情形肯定字母的取值规模;2.控制韦达定理及其简略的运用;3.会在实数规模内把二次三项式分化因式;4.会运用一元二次方程的根的判别式和韦达定理剖析解决一些简略的分解性问题. 内容剖析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b24ac△＞0时,方程有两个不相等的实数根当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=b/a,x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=P,x1x2=q(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分化(公式法) 在分化二次三项式ax2+bx+c的因式时,假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)．〖考核重点与罕有题型〗1.运用根的判别式判别一元二次方程根的情形,有关试题出如今选择题或填空题中,如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2.运用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中测验题中消失的频率异常高,多为选择题或填空题,如：设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．在中测验题中常消失有关根的判别式.根与系数关系的分解解答题.在近三年试题中又消失了有关的凋谢摸索型试题,考核了考生剖析问题.解决问题的才能.考核题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2．设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．假如x1,x2是两个不相等实数,且知足x12－2x1＝1,x22－2x2＝1, 那么x1•x2等于（）（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝7．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是8．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1•x2＝ ,（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m －2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝二.考点练习：1. 不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=02. 当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3. 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－3/5 ,则m= ,这时方程的两个根为 . 4. 已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5. 求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6. 求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－√5 和1+√5 .7. 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,运用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解题指点1. 假如x2－2(m+1)x+m2+5是一个完整平方法,则m= ;2. 方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3. 已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4. 设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;5. 设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1＊6.实数s.t分离知足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值.7.已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？8.求证：不管k为何实数,关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分化成两个一次因式的积. 9．实数K在什么规模取值时,方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？自力练习（一）1. 不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2. 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是 ;3. 一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+√3 和2－√3 ,则p= ,q= ;4. 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;5. 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6. m,n是关于x 的方程x2(2m1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式mn= .7. 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8. 假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,运用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;9. 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β,若s＝1/α ＋1/β ,求s的取值规模. 自力练习（二）1. 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2. 假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3. 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ,则k= ;4. 若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3,则a= ;5. 方程4x2－2(ab)x－ab=0的根的判别式的值是;6. 若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7. 已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情形是 ;8. 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9. 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x210．m取什么值时,方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0 （1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根; 11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值. 12．是否消失实数k,使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2,知足｜x1/x2 ｜＝3/2 ,假如消失,试求出所有知足前提的k的值,假如不消失,请解释来由.。

韦达定理专项训练1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则ab x x -=+21， acx x =∙21，；补充公式a x x ∆=-212、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 1、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0，求a 4－b 4的值。

2、试确定使x 2+(a －b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。

3、已知一元二次方程(2k －3)x 2+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求当k 取何整数时，方程有两个整数根。

4、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。

5、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数 p 、q 的值。

6、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。

7、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。

求a的整数值。

8、关于x的方程22n41mx2x+-=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

9、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。

通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。

现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。

如果a=b=c，则为等边三角形。

其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。

如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。

然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。

如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。

最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。

练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。

解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

一元二次方程知识网络结构图1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；一元二定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法 应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理一、 一元二次方程的基本概念及解法1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为A ．－１B ．0C ．1D ．22、3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2二一元二次方程根的判别式4、关于x的方程2210++-=的根的情况描述正确的是( )．x kx kA．k为任何实数．方程都没有实数根B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种5、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a＜2B、a＞2C、a＜2且a≠lD、a＜﹣26、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一）韦达定理7、不解方程，判别方程两根的符号。

韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。

一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】 已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】 已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件. 【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： 。

初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。

它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。

韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。

韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。

下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。

解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。

由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。

根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。

但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。

根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。

2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。

解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。

由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。

根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。

但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。

根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。

根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

韦达定理(常见经典题型)一、一元二次方程的基本概念及解法一元二次方程是指等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程。

通常可写成如下的一般形式：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0.一元二次方程的解法有三种：直接开平方法、配方法和公式法。

1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

2）配方法：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零；③配方，即方程两边都加上b²/4a²的平方；④化原方程为(x+m)²=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用公式法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程无实数解。

3）公式法：方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，x1=(-b+√(b²-4ac))/2a，x2=(-b-√(b²-4ac))/2a，即方程有两个不相等的实数解；当b²-4ac=0时，x1=x2=-b/2a，即方程有两个相等的实数解；当b²-4ac＜0时，方程无实数解。

二、一元二次方程的应用一元二次方程可以应用于解决实际问题，例如求解某个物体的运动轨迹、面积和体积等问题。

通过列出方程，可以得到实际问题的答案。

三、___定理韦达定理是指一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1和x2的和为-x1-x2=-b/a，乘积为x1x2=c/a。

这个定理可以在解一元二次方程时起到重要的作用。

注：原文中存在格式错误和明显有问题的段落，已在修改过程中删除。

1.已知一元二次方程的两个根分别为$x_1$和$x_2$，求其系数$a$、$b$、$c$的值。

一元二次方程知识网络结构图1、方程中只含有 个未知数,并且整理后未知数的最高次数就是 ,这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、ｃ、为常数,a )。

2、 一元二次方程的解法:(1)直接开平方法:当一元二次方程的一边就是一个含有未知数的 的平方,而另一边就是一个 时,可以根据 的意义,通过开平方法求出这个方程的解。

(2)配方法:用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤就是:①化二次项系数为 ,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为 项与 项,右边为 项; ③配方,即方程两边都加上 的平方; ④化原方程为2()x m n +=的形式,如果ｎ就是非负数,即0n ≥,就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0,则原方程 。

(3)公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠,当24b ac -＿____＿_ 0时,x = ＿＿＿_____ (4)因式分解法:用因式分解法解一元二次方程的一般步骤就是:①将方程的右边化为 ;②将方程的左边化成两个 的乘积;③令每个因式都等于 ,得到两个 方程; ④解这两个方程,它们的解就就是原方程的解。

3、韦达定理一元二次 方程定义:等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),未知数的最高次数就是2(二次)的方程为一元二次方程 解法(降次) 直接开平方法因式分解法 配方法公式法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案一、 一元二次方程的基本概念及解法１、已知关于x 的方程ｘ 2+bx ＋a ＝0有一个根就是－a(a≠０),则a-ｂ的值为Ａ.-1 Ｂ、０ C 、１ D.2 2、程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1=+-++-x m xm m3、一元二次方程x(x －2)=２-x 的根就是( )A ．－1 B.2 ﻩＣ、１与2 D.－1与２二 一元二次方程根的判别式4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的就是( )、 Ａ、k 为任何实数、方程都没有实数根B,k 为任何实数、方程都有两个不相等的实数根 C.ｋ为任何实数、方程都有两个相等的实数根Ｄ.根据k 的取值不同.方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根与有两个相等的实数根三种5、已知关于x 的一元二次方程(a ﹣l)x 2﹣2x ＋ｌ=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围就是( ) A 、a<2 B 、ａ>2 Ｃ、a ＜２且a≠ｌ ﻩD 、a<﹣26、已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一)韦达定理７、不解方程,判别方程两根的符号。

一元二次方程知识网络结构图1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案一、 一元二次方程的基本概念及解法1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为A ．－１B ．0C ．1D ．22、程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1=+-++-x m x m m3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2二 一元二次方程根的判别式4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣26、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一）韦达定理7、不解方程，判别方程两根的符号。