韦达定理公式介绍及典型例题

韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。

求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。

能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。

请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。

由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。

则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。

推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。

1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +； （3）2112x xx x +； （4）12x x -。

一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。

、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。

二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。

1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。

系数。

例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。

的值。

2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）2212x x +； （2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。

的两个根，求这个方程。

例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。

韦达定理练习题一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】已知方程组-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ====2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件. 【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程：。

一元二次方程知识网络结构图等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，未知数的最高次数是 2 （二次）的方程为一元二次方程厂直接开平方法因式分解法 <配方法'b 2 -4ac >0u 方程有两个不相等的实数根J 公式法Jb 2-4ac =0二 方程有两个相等的实数根b 2 -4ac < =方程无实数根1 •方程中只含有_个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 _，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 _______________ （ a b 、c 、为常数，a _______ ）。

2. 一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 ______________ 的平 方，而另一边是一个 __________ 时，可以根据 ________ 的意义，通过开平方法求 出这个方程的解。

（2） 配方法：用配方法解一元二次方程 ax 2 • bx • c = o a = 0的一般步骤是： ① 化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；② 移项，使方程左边为 _______ 项和 ________ 项，右边为 _______ 项； ③ 配方，即方程两边都加上 ___________________ 的平方； ④ 化原方程为（x • m ）2二n 的形式，如果n 是非负数，即n_0,就可以用 ________________ 法求出方程的解。

如果n v O ,则原方程 ________ 。

（3） _____________________________________________________ 公式法：方程 ax 2+bx+c = O （a 式0），当 b 2-4ac ________________________ 0时，x = _________ （4） 因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ________ ; ② 将方程的左边化成两个 的乘积；③ 令每个因式都等于，得到两个 ___________ 方程；④ 解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

韦达定理的应用一、典型例题例 1：关于 x 的方程 2x－〔 m＋ 1〕x＋ 1－ m=0的一个根为 4，求另一个根。

解：设另一个根为 x1，那么相加，得 x例 2：方程x－ 5x＋ 8=0 的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 .解：∵又∴代入得，∴新方程为例 3：判断是不是方程 9x－ 10x－ 2=0 的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭，∴假设是，那么另一根为∴，。

∴以为根的一元二次方程即为.例 4：解方程组解：设∴.∴A=5.∴ x-y=5又xy=-6.∴解方程组∴可解得例 5： RtABC中，两直角边长为方程 x－〔 2m＋ 7〕x＋ 4m〔 m－ 2〕 =0 的两根，且斜边长为13，求 S 的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a， b，那么 2。

又a，b为方程两根。

∴ab=4m〔 m-2〕∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或 6当m=6时，∴ m=5∴ S.例 6： M为何值时，方程8x－〔 m－ 1〕x＋ m－ 7=0 的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴ m>7②∵∴不存在这样的情况。

③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】〔答题时间： 30 分钟〕1.设n为方程x＋mx＋n=0〔n≠ 0〕的一个根，那么m＋ n 等于2.方程 x＋ px－ q=0 的一个根为－ 2＋，可求得 p= ,q=3.假设方程 x＋ mx＋ 4=0 的两根之差的平方为48，那么 m的值为〔〕A．± 8 B.8 C.－8 D. ±44.两个数的和比 a 少 5，这两个数的积比a 多 3，那么 a 为何值时，这两个数相等5.方程〔 a＋ 3〕 x＋ 1=ax 有负数根，求 a 的取值范围。

6.方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。

7.ABC中， AB=AC， A ， B，C 的对边分别为 a，b， c， a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x＋mx＋ 2－ m=0的两个实数根，求ABC的周长。

用韦达定理解决问题韦达定理（Vieta's formulas），又称为韦达方程，是代数学中一种重要的方法，它通过系数与根之间的关系，将多项式求根问题转化为系数之间的关系问题。

韦达定理在解决多项式方程的根与系数之间的联系上，有着重要的应用价值。

本文将以一个具体的问题为例，通过韦达定理来解决问题。

假设我们有一个二次多项式f(x) = ax^2 + bx + c，并已知该多项式有两个根α和β。

现在的问题是，如何通过已知的根α和β求解系数a、b和c的值。

这时就可以运用韦达定理来解决这个问题。

根据韦达定理，对于二次多项式f(x) = ax^2 + bx + c，我们有以下三个重要关系式：1. 根之和与二次项系数的关系：α + β = -b/a2. 根之积与常数项系数的关系：αβ = c/a3. 根之差与一次项系数的关系：α - β = √((α+β)^2 - 4αβ) = √((b/a)^2 - 4(c/a))根据这三个关系式，我们可以得到以下结论：1. 已知根α和β之和等于-b/a，可以得到：α = (-b/a) - β2. 已知根之积等于c/a，可以得到：αβ = c/a3. 已知根之差等于√((b/a)^2 - 4(c/a))，可以得到：α - β = √((b/a)^2 - 4(c/a))通过这些关系式，可以通过已知的根求解系数a、b和c的值。

举个例子，假设已知一个二次多项式f(x)的根分别为2和3。

现在的问题是，求解该多项式的系数a、b和c的值。

根据韦达定理的第一个关系式，根之和与二次项系数的关系，我们有：α + β = -b/a2 +3 = -b/a因此，我们可以得到一个方程：2 + 3 = -b/a。

根据韦达定理的第二个关系式，根之积与常数项系数的关系，我们有：αβ = c/a2 *3 = c/a因此，我们可以得到另一个方程：2 * 3 = c/a。

有了这两个方程，我们可以解得系数b和c的值。

韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。

在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。

练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。

1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。

请计算第三边的长度。

解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。

其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。

根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。

我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。

c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。

练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。

2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

请计算另一条高的长度。

解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。

首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。

根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。

其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。

根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

假设另一条高的长度为h₂。

根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）观察与猜想1、解方程：（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2 解：y=221⨯±--）（ 解：=y 1= ,y 2=则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2= （3）3x 2+7x+2=0解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= （4）5x+2=3x 2解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？2. 一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知 x 1=aac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=aac b b 242-+-+aac b b 242---=aacb b ac b b 24422----+-=太妙了！我想知道为什么？12.x x =aac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(aac b b ac b b ----+-=2224)()(a-=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x1+x 2=ab -， x 1x 2=ac3. 韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12b x x a+=-12c x x a=4. 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac ＝0(a ≠0)，则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为．．．．．．1．）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0) 练习：1、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。

韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。

韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。

本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。

二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。

韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。

我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。

这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。

三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。

例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。

解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。

通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。

例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。

解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。

韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX&sup2;+bX+C=0﹙a&ne;0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a ,X1&middot;X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a&ne;0 且△=b^2-4ac&gt;0)中,设两个根为x1 ,x2 那么X1+X2= -b/aX1&middot;X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1&middot;X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax&sup2;+bx+c=0 (a&ne;0)中,假设b&sup2;-4ac&lt;0 那么方程没有实数根假设b&sup2;-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b&sup2;-4ac&gt;0 那么方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)假设两根互为相反数,那么b=0(2)假设两根互为倒数,那么a=c(3)假设一根为0 ,那么c=0(4)假设一根为1 ,那么a+b+c=0(5)假设一根为-1 ,那么a-b+c=0(6)假设a、c异号,方程一定有两个实数根【例题】p+q=198 ,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2 ,不妨设x1&le;x2.由韦达定理,得x1+x2=-p ,x1x2=q.于是x1&middot;x2-(x1+x2)=p+q=198 ,即x1&middot;x2-x1-x2+1=199.&there4;运用提取公因式法(x1-1)&middot;(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,解得x1=2 ,x2=200;x1=-198 ,x2=0.。

2014—2015学年九年级数学（上）周末辅导资料（02） 理想文化教育培训中心 学生姓名：_______ 得分： _____一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .1、如果方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =2、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .3、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += .4、已知方程20652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：①2221x x + + 21x x ②1221x x x x +5、已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2.（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.二、一元二次方程的应用：（一）、增长率（降低率）问题：)1(x na ±1、某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A . 100)1(1442=-xB . 144)1(1002=-xC . 100)1(1442=+xD . 144)1(1002=+x2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）3、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．4、为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2012年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2014年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2014年底共建设了多少万平方米廉租房（二）传染病问题：总人数=+)1(x n1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？三、巩固练习：1、设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 2、若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .3、已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ） Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或14、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 5、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）6、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？7、某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x 。

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。

第一种使用条件：已知直线的斜率。

【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。

【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。

韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。

第一步：假设两个交点的坐标。

假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。

第二步：假设直线的方程。

本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。

假设：直线l 的方程为：m x y +=。

第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。

mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。

第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。

原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。

340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。

第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。

),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。

韦达定理一、知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则ab x x -=+21， a cx x =∙21，；补充公式ax x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2、 已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。

4、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-212111xy y x5、 分解因式：（1）=--2532x x （2）=-+1842x x三、练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

3、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+23xy y x4、 分解因式（1）6542--x x= （2）=--2222y xy x四、聪明题1、 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。

（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。

2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。

对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。

3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。

（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。

6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。

（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

（完整版）韦达定理及其应用韦达定理及其应用高一数学B 段教学目的：1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法教学难点：韦达定理的正确使用一、知识要点1、若一元二次方程002a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则a b x x 21a cx x ?21，；2、以1x ，2x 为两根的方程为021212x x x x x x 3、用韦达定理分解因式2122x xx x a a cx a b x a c bx ax 二、例题1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032x x （2）01532x x （3）0223422xx 2.若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值.（1）2221x x （2）2111x x学生练习：（1）)5)(5(21x x （2）21x x 反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形:2122122212x x x x x x 2111x x =2121x x x x 212212214)(x x x x x x 21221214)(x x x x x x 3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值练习．已知关于x 的方程2x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.4 .当m 取什么实数时，方程0)5()2(42m x m x 有两个正实根。

练习（引申变形一）：若方程有一正根和一负根，求m 取值范围。

三、练习1、在关于x 的方程07142m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、求出以一元二次方程0232x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

根与系数的关系（韦达定理）一、知识要点1、根与系数的关系:若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则a b x x -=+21，a c x x =⋅21；补充公式:ax x ∆=-21。

特别的，若二次项系数为1，则02=++q px x 的两根为1x ，2x 。

则p x x -=+21，q x x =⋅21注意：根与系数的关系是在04,02≥-≠ac b a 的前提下得出的关系式。

2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=⋅++-x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 常用变形：定理巩固1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x ； （4）)1)(1(21++x x = .5、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ．6、已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .例1、若方程072=+-mx x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 练1、已知：关于x 的方程0122=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k 的值。

一元二次方程知识网络结构图1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案一、 一元二次方程的基本概念及解法1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为A ．－１B ．0C ．1D ．22、程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1=+-++-x m x m m3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2二 一元二次方程根的判别式4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣26、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一）韦达定理7、不解方程，判别方程两根的符号。

韦达定理是一种用于求解一元三次方程根的方法，其求根公式如下：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，首先计算其判别式 D = b^2 - 3ac，然后根据D 的取值分类讨论：
若D > 0，则方程有三个实根，公式如下：
x1 = (-b + √D) / (3a)
x2 = (-b -√D) / (3a)
x3 = (-b + √D) / (3a)
若D = 0，则方程有一个实根和一个重根，公式如下：
x1 = x2 = -b / (3a)
x3 = (-b + 2√D) / (3a)
若D < 0，则方程有一个实根和一对共轭虚根，公式如下：
x1 = (-b + (3√-D)i) / (3a)
x2 = (-b -√D + (3√-D)i) / (3a)
x3 = (-b -√D - (3√-D)i) / (3a)
其中，i 表示虚数单位。

需要注意的是，这个公式虽然可以用来求解一元三次方程的根，但是它的计算过程比较复杂，而且容易出现计算错误。

因此，实际应用中常常使用计算机程序来求解一元三次方程的根。