韦达定理经典例题复习课程

韦达定理经典例题及解题过程
摘要：
1.危险的事物
2.普通的事物
3.迅速的事物
4.威武的事物
5.锋利的事物
正文：
在我们的生活中，危险的事物无处不在，比如狂风暴雨、悬崖峭壁等。

这些危险的事物往往会给我们带来威胁，因此我们需要保持警惕，采取防范措施。

与此同时，我们生活中也有很多普通的事物，如阳光、空气和水，它们对我们来说不可或缺，但却常常被我们忽略。

而迅速的事物，如闪电、高铁等，则让我们感受到了世界的快速发展和便捷。

威武的事物，如狮子、老虎等，则代表了一种强大的力量，有时也会引发我们的敬畏之情。

至于锋利的事物，如
刀剑、针尖等，它们既可以是工具，也可能是危险的源头。

因此，我们在使用这些锋利的事物时，需要格外小心，以免造成意外伤害。

数学八下一元二次方程韦达定理课程韦达定理是解一元二次方程的重要工具。

一元二次方程通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。

韦达定理给出了一元二次方程解的特性，它的表述为：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，设其两个根为x₁和x₂，则有以下等式成立：x₁ + x₂ = -b / a （①）x₁x₂ = c / a （②）韦达定理是通过将方程两个根的和与积与方程系数之间的关系来推导得出的。

根据韦达定理，我们可以直接通过方程的系数求出方程的根，而不需要进行因式分解或使用求根公式。

下面我们通过一个具体的例子来理解韦达定理的应用。

假设我们有一个一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。

首先，我们可以看出方程的系数分别为a = 1，b = -5，c = 6。

根据韦达定理，我们可以计算出方程的两个根的和和积。

根据公式（①）：x₁ + x₂ = -b / a = -(-5) / 1 = 5。

根据公式（②）：x₁x₂ = c / a = 6 / 1 = 6。

得到方程的两个根的和为5，积为6。

现在我们可以利用以上结果解一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。

我们需要找到两个数，使得它们的和为5，积为6。

通过观察我们可以发现，这两个数分别为2和3。

因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。

所以，方程的两个根分别为2和3。

因此，方程x² - 5x + 6 = 0的解为x₁ = 2和x₂ = 3。

这个例子展示了如何利用韦达定理求解一元二次方程。

通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。

韦达定理不仅可以解一元二次方程，还可以应用于其他方程问题。

例如，我们可以利用韦达定理来解决一些和根相关的问题，比如找出满足一定条件的根的值。

总结一下，韦达定理是解一元二次方程的一种有效方法，通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。

专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。

【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。

【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、韦达定理经典例题1.例题一2.例题二3.例题三三、韦达定理解题过程1.确定韦达定理的应用条件2.分析题目中给出的方程3.应用韦达定理求解方程4.总结解题过程并得出答案正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta 定理，是一元二次方程根与系数关系的定理。

它指出，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），其两个根x1 和x2 的和与积分别等于方程中一次项系数和常数项系数的相反数和倒数。

具体来说，韦达定理有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理经典例题1.例题一题目：已知一元二次方程x-3x-4=0，求该方程的两个根。

2.例题二题目：已知一元二次方程2x-5x+3=0，求该方程的两个根。

3.例题三题目：已知一元二次方程x+2x-3=0，求该方程的两个根。

三、韦达定理解题过程假设我们有一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），我们想要求出它的两个根x1 和x2。

1.确定韦达定理的应用条件首先，我们需要确保方程有两个实数根，即b-4ac≥0。

如果b-4ac<0，则方程没有实数根。

2.分析题目中给出的方程对于每一个例题，我们首先需要将方程写成标准形式ax+bx+c=0。

然后，我们可以根据韦达定理的公式x1 + x2 = -b/a和x1 * x2 = c/a来求解。

3.应用韦达定理求解方程对于每一个例题，我们分别代入方程的系数，计算出x1 和x2 的值。

4.总结解题过程并得出答案最后，我们将求得的x1 和x2 的值代入原方程，验证它们是否是方程的根。

如果是，我们便成功求解了该方程。

综上所述，韦达定理是一种非常有用的解一元二次方程的方法。

韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、经典例题解析1.线性方程组解的性质2.非线性方程组解的性质3.方程组解的应用问题三、解题步骤与方法1.确定未知数2.建立方程组3.应用韦达定理4.求解方程组四、易错点与注意事项五、总结与提高正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的一个有关多项式方程的定理。

它揭示了多项式方程系数与根之间的关系。

根据韦达定理，多项式方程的系数可以表示为根的线性组合，而且这种表示是唯一的。

二、经典例题解析1.线性方程组解的性质线性方程组是多项式方程的一种特殊形式。

对于线性方程组，我们可以利用韦达定理求解其解的性质。

例如：解：设线性方程组为：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 3根据韦达定理，我们可以知道：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 32.非线性方程组解的性质非线性方程组是指含有非线性项的方程组。

对于非线性方程组，我们同样可以利用韦达定理求解其解的性质。

例如：解：设非线性方程组为：x - 2x + 1 = 0x + y + 1 = 0根据韦达定理，我们可以知道：x + x = 2xx = 13.方程组解的应用问题韦达定理不仅在求解方程组方面有重要作用，还可以应用于解决一些实际问题。

例如：解：设方程组为：x + y = 5x - y = 1根据韦达定理，我们可以知道：x + y = 5x - y = 1求解得：x = 3，y = 2实际问题：一家商店出售两种商品，一件商品的价格为5元，另一件商品的价格为1元。

已知两种商品的销售额之和为80元，求每种商品的销售额。

三、解题步骤与方法1.确定未知数：分析题目，找出需要求解的未知数。

2.建立方程组：根据题目的条件，建立方程组。

3.应用韦达定理：将方程组中的系数和常数项表示为根的线性组合。

韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。

韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。

本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。

二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。

韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。

我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。

这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。

三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。

例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。

解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。

通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。

例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。

解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。

第四讲 充满活力的韦达定理一、知识要点与思维方法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是：aac b b x 2422,1-±-= 由此不难得到()ab a b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+222442221， ()()ac a ac a ac b b x x ==---=22222214444. 这表明一元二次方程两根之和与两根之积可用一元二次方程系数表示:ac x x a b x x =-=+2121, 被称为一元二次方程的根与系数的关系,也称为韦达定理.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.二、例题选讲例1、 已知βα,是方程012=--x x 的两个实数根,求代数式553223+--++βααβα的值.例2、 如果方程()()0212=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范围是( )A 、10≤≤mB 、43≥mC 、143≤<mD 、143≤≤m 例3、设21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值？并求出这个最小值.例4、设实数b a ,满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211ba +的值.三、课堂练习1、设21,x x 是方程020162=--x x 的两个实数根，则=-+20162017231x x2、设21,x x 是方程0342=-+x x 的两个实数根，且()23522221=+-+a x x x ，则=a 3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121,，请根据以上结论，解决下列问题：⑴已知关于x 的方程()002≠=++n n mx x ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.(2)已知b a ,满足0515,051522=--=--b b a a ,求ba ab +的值. (3)已知c b a ,,满足16,0==++abc c b a ,求正数c 的最小值.。

一元二次方程知识网络结构图定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程一元二次方程解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法b2公式法b4ac＞04ac＝0方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根b2 4ac＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题步骤实际问题的答案1. 方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式( a、b、c、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax 2bx c o a 0 的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为项和项，右边为项；③配方，即方程两边都加上的平方；④化原方程为( x m) 2n 的形式，如果n 是非负数，即n 0 ，就可以用法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程。

2（3））公式法:方程axbx c 0(a 0) ，当b 2 4ac 0 时，x =（4））因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：2①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个的乘积；③令每个因式都等于，得到两个方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理一、一元二次方程的基本概念及解法1、已知关于x 的方程x 2＋bx＋a＝0 有一个根是－a(a ≠0)，则a－b 的值为A．－１B．0 C．1 D．22、当方程( m m 13)x (m 3)x 5 0满足下列条件时，m的取值范围。

1、当方程为一元一次方2、当方程为一元二次方程时；程时。

3、一元二次方程x（x－2）=2 －x 的根是（）A．－1 B．2 C．1 和2 D．－1 和2二一元二次方程根的判别式4、关于x 的方程x2 2kx k 1 0 的根的情况描述正确的是( )．A．k 为任何实数．方程都没有实数根B，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根D．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种5、已知关于x 的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l ＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A、a＜2B、a＞2C、a＜2 且a≠lD、a＜﹣26、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一）韦达定理7、不解方程，判别方程两根的符号。

韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。

二次函数韦达定理专题1、如图, 已知抛物线C 1：22y x x c =-+和直线:28l y x =-+，直线(0)y kx k =>与抛物线C 1交于两不同点A 、B,与直线L 交于点P. 且当k=2时，直线(0)y kx k =>与抛物线C 1只有一个交点.（1）求c 的值;（2）求证：112OA OB OP+=，并说明k 满足的条件；（3）将抛物线C 1t （t>0）个单位，再沿y轴负方向平移（t 2-t ）个单位得到抛物线C 2，设抛物线C 1和抛物线C 2交于点R ；①求证无论t 为何值，抛物线C 2必过定点，并判断该定点与抛物线C 1的位置关系；②设点R 关于直线y=1的对称点Q ，抛物线C 1和抛物线C 2的顶点分别为点M 、N ，若90MQN ∠=︒，求此时t 的值2、如图，抛物线:y ＝ax 2＋bx+1的顶点坐标为D （1,0），（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线，直线，经过点D 交y 轴于点A ，交抛物线于点B ，抛物线的顶点为P,求△DBP 的面积 （3）如图2，连结AP,过点B 作BC ⊥AP 于C,设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交为定值．1C 1C 1C 2C y x c =+2C 2C Q P B PQ BC E BQ AC )3、已知如图1，抛物线y=ax2+4ax+交x轴于A、B（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k （k＞）交抛物线于另一点C（x1，y1），交y轴于M．（1）直接写出A点坐标，并求a的值；（2）连BC，作BD⊥BC交AC于D，若CB=5BD，求k的值；（3）设P（﹣1，﹣2），中图2连CP交抛物线于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N．请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．4、（2015年武汉中考）已知抛物线y＝x2＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C；(1) 求抛物线的解析式；(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长5、（2016年武汉中考）抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)，① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；（2） 如图2，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OCOFOE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．6、（2016年武汉四调）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：5212+-=x y 经过点C (2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A 、B 两点，∠ACB ＝90°(1) 探究与猜想① 探究：取点B (6，﹣13)时，点A 的坐标为(25-，815)，直接写出直线AB 的解析式 ；取点B (4，﹣3)，直接写出AB 的解析式为② 猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为 ．请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；友情提醒：此问如果没有解出，不影响第(2)问的解答(2) 如图2，点D 在抛物线M 上，若AB 经过原点O ，△ABD 的面积等于△ABC 的面积，试求出一个符合条件的点D的坐标，并直接写出其余的符合条件的D 点的坐标7、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求此抛物线解析式；（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是，求点D的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C1，若直线y=m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直线PM沿y=m翻折交新抛物线C1于N，过Q作QS∥y轴，求证：QS必定平分MN．。

韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。

韦达定理(常见经典题型)一、一元二次方程的基本概念及解法一元二次方程是指等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程。

通常可写成如下的一般形式：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0.一元二次方程的解法有三种：直接开平方法、配方法和公式法。

1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

2）配方法：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零；③配方，即方程两边都加上b²/4a²的平方；④化原方程为(x+m)²=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用公式法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程无实数解。

3）公式法：方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，x1=(-b+√(b²-4ac))/2a，x2=(-b-√(b²-4ac))/2a，即方程有两个不相等的实数解；当b²-4ac=0时，x1=x2=-b/2a，即方程有两个相等的实数解；当b²-4ac＜0时，方程无实数解。

二、一元二次方程的应用一元二次方程可以应用于解决实际问题，例如求解某个物体的运动轨迹、面积和体积等问题。

通过列出方程，可以得到实际问题的答案。

三、___定理韦达定理是指一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1和x2的和为-x1-x2=-b/a，乘积为x1x2=c/a。

这个定理可以在解一元二次方程时起到重要的作用。

注：原文中存在格式错误和明显有问题的段落，已在修改过程中删除。

1.已知一元二次方程的两个根分别为$x_1$和$x_2$，求其系数$a$、$b$、$c$的值。

一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】 已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】 已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】 已知，关于x 的方程(n-1)x 2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程m 2y 2-2my-m 2-2n 2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2n+12n 的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x 2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x 2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x 2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x 2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，则x12+x22 的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x 的一元二次方程X 2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x 2-3x-6=0与方程x 2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： 。

一元二次方程知识网络结构图1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案一、 一元二次方程的基本概念及解法1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为A ．－１B ．0C ．1D ．22、程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1=+-++-x m x m m3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2二 一元二次方程根的判别式4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣26、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？三一元二次方程根与系数的关系一）韦达定理7、不解方程，判别方程两根的符号。