现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)

无差别
渐近稳定
收敛至 平衡状态
y 一致稳定
对定常系统
tc 与初始时刻
无差别
李雅普诺夫稳定 （稳定）
无关
前页 返回
cae 渐近稳定 tcy 小球
李雅普诺夫 意义下稳定
/ 稳定
cn = 2 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 = c 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆
y n = 3 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 + (x3 ) − x3e 2 = c
tc 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球
前页
返回
12
例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x2 −x1
平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
cae tcy前页
返回
设系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心，δ 为半径的闭球域 S(δ)内，即
ex0 − xe ≤ δ t = t0
a若系统的平衡状态 xe不仅具有李雅普诺夫意义
下的稳定性，且有
c lim t→∞
定，不一定大范围渐进稳定。
δ → ∞ S(δ ) → ∞
x2
x0
xe x0
x1
前页 返回
例：机械位移系统
aex(t), x&(t) cm
k
tcy前页 返回 18
内部稳定/状态稳定
初始状态 任意
大范围一致渐近稳定
大范围渐近稳定
e 对线性系统 无差别
对定常系统 无差别
对线性系统 无差别
a一致渐近稳定 c 对定常系统

03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态 空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定 控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性； 搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法， 最优控制可分为线性二次型最优控 制、最小时间控制、最小能量控制 等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、 经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐 成为现代控制理论的研究热点，如多智能体 系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知 识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统 中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实 验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性， 建立机器人运动学模型， 描述机器人末端执行器的 位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计 运动规划算法，生成机器 人从起始点到目标点的平 滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器， 实现机器人对规划轨迹的 精确跟踪；在实际机器人 平台上进行实验验证。

正定
正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是 一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退 缩的曲线。C 1 ＜ C 2 ＜ C 3 ＜ C 4 ＜ C 5 ＜ C 6 ＜ C 7
C7
C6
C5
C2 C1
C4
C3
一些记号： 0 :正 定 0： 半 正 定 0 :负 定 0： 半 负 定
李雅普诺夫第二方法简介
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程 的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造 所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动 的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。
0
0
则 易 于 验 证 它 是 正 定 对 称 阵 。 首 先 ，
P T P； 其次，注意到
xT P xxTeA T tQ eA td tx(eA tx)T Q (eA tx)d t
0
0
且 (eAtx)TQ(eAtx)0x0。 又 由 于 A阵 均 具 负 实 部 ， 故 积 分 有 界 ， P必 正 定 。 因 此 方 程 (?)成 立 。
x 1 2(t) x2 2(t) x 1 2(t0) x2 2(t0)。
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x1 x 2 x 2 x1 x 2
研 究 其 平 衡 状 态 x 1 0 , x 2 0 的 稳 定 性 。 若 取 v(x)x1 2x2 2,则 有
v x v 1 x 1 x v 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 2 2 0

12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。

李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，它是从能量观点进行稳定性分析的，它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上，即：由经典力学理论可知，对于一个振动系统，如果系统的总能量随时间增长而连续减少，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。

1）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =，满足(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。

则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。

此外，如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。

2）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。

（3）(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。

3）李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是负定的。

v x t（3）则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。

4）不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是正定的。

v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。

现代控制理论
Modern Control Theory
4.3 李雅普诺夫第二法(直接法)
基本思想
不是通过求解系统的运动方程，而是借助于 一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状 态的稳定性作出判断。
*它是从能量观点进行稳定性分析的。
1、如果一个系统被激励后，其储存的能量随 着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时， 能量将达到最小值，那么这个平衡状态就是 渐近稳定的。
4)
V (x) 0 V (0) 0 （或非正定）的。
x0 时， V ( x )为半负定 x0
例如： V ( x ) ( x 1 x 2 )
2
5)
x0 V ( x ) 0或 V ( x ) 0 时， V ( x )为不定的。 V (0) 0 x0
令
V ( x , t ). 0 若 x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
李氏意义 下稳定 渐进稳定
若仅x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
例1：已知非线性系统的状态方程为： . 2 2 x 1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) . 2 2 x 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
.
. 则： . x1 0 , x 2 0 V ( x ) 0 . V ( x ) 负半定 其它 V (x) 0 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
原点 x e 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
说明：x 0 V ( x , t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x ( t ; x 0 , t 0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V ( x , t ) 正定； . (2) V ( x , t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x , t ) 正定 能量函数随时间增 大， ( t ; x 0 , t 0 ) 在x e 处发散。 x

0 xe1 0
4.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一. 系统状态的运动及平衡状态
几点说明:
对于非零平衡状态，总可以经过适当的坐 标变换，把它变换到状态空间的原点。
稳定性是相对具体的平衡状态讨论的,指受到 扰动后,系统具有恢复到原来平衡状态的能力
不同平衡状态的稳定性可能不同
平衡状态与时间无关、可能不存在平衡状态
1. 分析系统稳定性
2. 研究使系统稳定的方法
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，根轨迹判据等
李雅普诺夫稳定性理论
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定 理采用了状态向量来描述，适用于线性，非线 性，定常，时变，多变量等系统。 李氏第一法（间接法）：根据特征值判断稳定性 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数, 根据李氏函数的特性判断稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
1.李氏意义下的稳定
x f ( x, t )
xR
n
f ( xe , t ) 0
如果对 0 , 对应存在另一个实数 ( , t0 ) 0
当初态 x0满足:
x0 xe ( , t0 )
时,系统的运动轨迹 x(t; x0 , t0 ) 在t 都满足:
4.2 李雅普诺夫第一法（间接法） 一. 线性定常系统稳定性
x Ax Bu y Cx
系统传递函数:
x(0) x0
t0
W(S)=C(SI-A)-1B n 1 n 2 n1s n2 s ... 1s 0 n n 1 s an1s ... a1s a0 传递函数的极点是A特征值的一部分 仅依据传函极点来判断稳定性是不够全面的!

Routh判据 Nyquist判据
Hurwitz判据
2
非线性系统和时变系统
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫第一法 间接法
李雅普诺夫第二法 直接法
3
由经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于 系统的结构和参数， 而与系统的初始条件及外界扰动 无关。 与此相反，非线性系统的情况要复杂得多。
4
10.1.1 系统状态的运动及平衡状态
矩阵 A 的所有特征值都具有负实部。
33
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称为 内部稳定性。 在工程上，有时更重视输出稳定性。
34
如果系统对于有界输入 u 所引起的输出 的，则称系统为输出稳定。
y 是有界
线性定常系统 ∑ = ( A, b, c ) 输出稳定的充分必要 条件为： 它的传递函数
W ( s ) = c ( sI − A ) b
⎡1 0 ⎤ =⎢ Δx Δx ⎥ ⎣0 −1⎦
在 xe2 处的线性化方程为
⎡0 ⎤ xe3 = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
9
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标 变换将其移到坐标原点 xe
= 0 处。
所以，今后就只
讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
10
注意： 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 线性定常系统，由于只有唯一的一个平衡点，所以才笼 统地讲所谓的系统稳定性问题。 对其余系统，则由于可能存在多个平衡点， 而不同平衡 点可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个分别讨论。
f ( xe , t ) ≡ 0
（3）
xe 为系统的平衡状态。
7
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。 有时即使存在也未必是唯一的。例如对线性定常系统

n
x2
P nn Pij Pji
xn
P11x12 P22 x22 Pnn xn2 2P12 x1x2 2P1n x1xn 2P23x2 x3
对于P为实对称矩阵的二次型V（x）的符号性质可以由塞 尔维斯特判据判断。
2021年4月30日
第5章第7页
5.4.4李亚普诺夫第二法的稳定性判据
x
x12
x22
0
V
(x)
V ( x) x1
x1
V ( x) x2
x2
2 x1 x1
2x2 x2
2(1
x2 )2
x22
x2 0, x1 0,V ( x) 0 x2 1, x1 0,V ( x) 0 V (x) 0
由判据二可知，系统在平衡状态是稳定的。
2021年4月30日
第5章第16页
3)考察 V ( x) 在系统方程的非零状态运动轨迹上是否恒为零。
2021年4月30日
第5章第4页
李雅普诺夫第二法又称直接法，从能量的观点来研究 物理系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量 是状态矢量x的标量函数。平衡状态具有的能量最小。
对于一般系统，引入一个虚构的能量函数，称为李雅 普诺夫函数，一般与状态变量和时间有关V（x，t）；若 不显含t ，记为V（x） 。
系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的
2021年4月30日
第5章第13页
2、判据二
1）V(x,t)>0，正定； 2） V ( x,t) 0 ，半负定； 则系统在 xe 处稳定。 3）此外，对于任意初始时刻t 0时的任意状态x0≠0，在 t≥t0时除在x=xe时有 V (x) 0 外， V ( x)不恒等于0。则系 统在 xe 处是渐近稳定的。

向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

李亚普诺夫根据系统自由响应是否有界定义如下四种稳定性：
1.李亚普诺夫意义下稳定(简称稳定) 若系统对任意选定正实数ε，存在另一正实数δ(ε,t0 )，
使得当 x0 xe δ(ε,t0 )时，从任意初态x0出发的解均满足 x(t;x0,t0 ) xe ε，t0 t ，称平衡状态xe是李亚普诺夫 意义下稳定的。若δ与t0无关，称平衡状态xe是一致稳定的。
4.不稳定 对ε 0和δ 0，不管 δ多小，由s(δ内) 出发 的状 态轨 线，至少
有一 条越 出s(ε，)称平衡 状态xe不稳 定。
稳定性定义小结
李亚普诺夫关于稳定性的定义中，超球域s(δ)限制 着初始状态x0的范围(可称之出发区域)，超球域s(ε) 则规定了系统由初态x0引起的自由响应x(t)的边界 (可称之稳定边界)。因此，稳定性定义可概括为：
•
x
f
(
x
,t
)
f
(
xe
,t
)
f x
式 中，R ( x )为 展 开 式 中 的 高 阶
f1
f
x1 f2
x
x1
f1 x2 f2 x2
f1
xn f2
xn ;
(x xe ) R(x)；
f
(
x,
t
)
f2
;
xe
导
数项
，f x
为
雅
可
比(
fn
Jacobian)矩 阵 ：
令Δx x - xe，忽略高阶导数项， 得近似线性化方程：
A阵为非奇异时只有一个平衡状态，因此可笼统讲系统稳定性；
对于非线性系统，可能存在多个平衡状态，系统在不同平衡
状态下可能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和研究。

现代控制理论知识点总结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４． 状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。

➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/7)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
定义 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数 V(x,t)是定义在[t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连 续函数(||x||)和(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 (0)=(0)=0,
1) 如果对任意tt0和x0, V(x,t)为有界正定的,即
0<(||x||)V(x,t)(||x||)， 称函数V(x,t)为[t0,)上的(时变)正定函数。
的几个定理。
李雅普诺夫第二法的几个定理(1/1)
3. 李雅普诺夫第二法的几个定理
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
0
2
1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2

则称xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变系统： 与 t0有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。 1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 9
2.渐近稳定
1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定
2）lim t
14
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
x Ax x(0) x0 t 0
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
2）渐近稳定的充要条件：
Re( i ) 0 i 1,2,n
3）不稳定的充要条件：Re( i ) 0
正定； 负半定； 在非零状态恒为零；则原
点是李雅普诺夫意义下稳定的。
➢ 说明：沿状态轨迹能维持 V (x, t) 0 表示系统能
维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态,而
不运行至原点。
33
❖定理4：若(1) V (x,t) 正定； (2) V (x,t) 正定
2.初态 x f (x,t)的解为 x(t; x0,t0 ) x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe 5
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f (x)
f1
x1 f2
f1
x2 f2
f1
xn f2

李亚普诺夫方程求解
李亚普诺夫方程
验证：
是否
4.5.李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用
克拉索夫斯基方法
且
例题
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
4.2.李亚普诺夫第一法
1.线性系统的稳定性判据
状态稳定性
输出稳定性
例 注意：
2.非线性系统的稳定性判据
2.非线性系统的稳定性判据 例
不稳定！
临界状态！ 用李亚普诺夫第二方法判别！
4.3.李亚普诺夫第二法
直接法
能量观点
李亚普诺夫函数
要 素
充分条件，非充要条件！来自4.4.李亚普诺夫方法在线性系统中的应用

《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。

以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。