4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
(1) 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性,或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看,往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的,则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数:
1892年,俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i
即
,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式: (10)
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。