第4章_稳定性与李亚普诺方法

4.2
李亚普诺夫第一方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断 系统稳定性。
一、线性系统稳定判据 x Ax bu Σ (A, b, c): ；xe 0渐近稳定的充要条件是A y cx 的所有特征值均具有负实部(状态稳定性，内部稳定性) 。 若对于有界输入u引起 的输出y也有界 ，称系统输出稳定 。
W(s) c(sI A)1b
极点在左半s平面，系统输出稳定。
(s 1)1 0 1 s -1 1 1 0 ＝ 1 (s 1) 1 (s 1)(s 1) s 1 0
例4-1 Matlab仿真
• 上例中，正特征值被零点对消，出现状态不渐近 稳定而输出稳定的情形。所以如果系统传递函数 不出现零极相消，特征值与极点相同时，系统状 态稳定性与输出稳定性一致。


①
如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负实部， 则原非线性系统在平衡状态xe处是渐进稳定的，系 统稳定性与高阶导数项R(x)无关； 如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线 性系统在平衡状态xe处是不稳定的； 如果A的特征值，至少有一个的实部为零，则系统 处于临界情况，原非线性系统在平衡状态xe处的稳 定性取决于高阶导数项R(x)，不能由A的特征值符 号决定。
x e2
x e2
( 1 x1 ) x1 1 0
x 2 1
0 1 1 0
λ 1 2 特征方程： λI A λ 1 ＝0，特征值： λ 1 , 2 j 1 λ 特征值实部为0，系统稳定性取决R(x) ，不能由特征值判别 原非线性系统在x e 2处的稳定性。
关于稳定性定义的小结


李亚普诺夫关于稳定性的定义中，球域s(δ)限制着 初始状态x0的取值范围，球域s(ε) 规定了系统自由 响应x(t)的边界。因此，稳定性定义可概括为： 若x(t)有界，则称平衡状态xe稳定(李亚普诺夫意 义下稳定)； 若x(t)有界且收敛于xe，则称xe渐近稳定； 若球域s(δ) 无限制，x(t)有界且收敛于xe，则称xe 渐进稳定； 若x(t)无界，则称xe不稳定。 经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定系统； 满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称 为临界稳定系统（在工程上属于不稳定系统）。


二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义
用欧几里德范数 x xe 表示状态向量x与xe 距离；点集s(ε)表 示以xe为中心、ε为半径的超球体；若x s(ε), 则 x xe ε。 对于n维状态空间，欧几里德范数 x xe 的计算为：
1 2 2
x xe ＝[( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ... ( xn xne ) ]
f1 x e1 (1 x 2 ) x1 0 1; x 2 x 2 0 f2 x e1 (0 x 2 ) x1 0 0; x 2 x 2 0
x e1
(0 x1 ) x1 0 0;
x 2 0
x e1
( 1 x1 ) x1 0 1 1 0
大范围渐近稳定的必要 条件是系统只有一个平 衡状态。 线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定；非线 性系统：通常 使为x e 渐近稳定的球域 s( )不大，常称为小范围渐 近稳定。
4.不稳定 对ε 0和δ 0, 不管δ多小, 由s(δ) 内出发的状态轨线，至少 有一条越出s(ε) ，称平衡状态xe不稳定。
令Δx x - x e， 得近似线性化方程: Δx AΔx f 式中A T x xe 。 x

忽略高阶导数项，
令Δx x - xe，可将原非线性方程 x f(x, t) 近似线性化: f Δx AΔx，式中A T x xe x 将原非线性方程近似线性化为线性方程后：
• 两个推论：
系统状态渐近稳定，必输出稳定； 若输出稳定，且系统能控能观，则系统渐近稳
定。
二、非线性系统稳定性
x f(x, t)对x有连续偏导数，设x e为系统的平衡状态；讨论系统 在x e 处的稳定性：将向量函数f(x, t) 在x e 邻域内按泰勒级数展开得

f x f(x, t) f(xe ,t) T (x xe ) R(x) ； x xe

若存在状态向量xe 使得状态方程f(xe ,t) 0，则称xe为 系统的平衡状态或平衡点。
例1. x Ax，若A非奇异，则易知满足x Ax＝0的状态向量为 xe 0，且为唯一平衡状态；若A奇异，则满足Ax＝0的状态 向量有无穷多个，即系统存在无穷多个平衡状态。 0 0 0 x1 x1 例2. ;令 x 0，解之得xe 1 ,xe 2 ,xe 3 0 1 1 3 x2 x1 x2 x2 这三个状态向量均为系统的平衡状态。 说明：稳定性都是针对平衡状态而言 的。线性系统在A阵
②
③
非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态，需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 先考察系统在xe1处的稳定性：
f1 x1 f A 1 f f 2 2 x1 x 2 x e1
0 1
λ 1 0 特征方程： λI A (λ 1)(λ 1) 0 0 λ 1 特征值：λ ，λ ；原非线性系统在x e 1处不稳定。 1 1 2 1


第二方法特点：不求解微分方程，而借助一个 虚构的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状 态稳定性进行判断。 从能量观点： 若一系统受激励后，其存储能量随时间衰减， 到达平衡状态时，能量达最小，则平衡状态 渐近稳定； 反之，若系统不断从外界吸收能量，储能越 来越大，则平衡状态不稳定； 若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量, 储能既不增也不减，则平衡状态就是李亚普 诺夫意义稳定。
非奇异时只有一个平衡状态 ，因此可笼统讲 系统稳定性；对 于非线性系统，可能存在多个平衡状态 ，不同平衡状态 下可 能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和 研究。 在研究某个平衡状态的 稳定性时，通常可以通 过坐标变换将
该平衡状态平移到坐标 原点xe 0处，从而转为研究系统 在坐标 原点处的稳定性。
即：对于每个 s(ε) ，都存在一个 s(δ) ，当t无限增长时，从
s(δ) 内出发的状态轨线不会 超出s(ε) ，即系统响应是有界的 。
2.渐近稳定：若平衡状态xe是稳定的，且当t无限增长时，状 态轨迹不仅不超出s(ε) ，且最终收敛于xe，称xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定 ：平衡状态xe渐近稳定，且从状态空间中所有 初始状态出发的轨迹都 具有渐近稳定 ，则xe 称大范围渐近稳定 。

f1 x 1 f2 f x1 T x f n x1
f 式中:R(x) 为展开式中的高阶导数项， T 为雅可比矩阵。 x
f1 x 2 f2 x 2 fn x 2

f1 xn f2 xn ; fn xn
f1 x1 f2 x1
x e2
f1 (1 x 2 ) x1 1 0; x 2 x 2 1 f2 (0 x 2 ) x1 1 1; x 2 x 2 1
x e2
f1 f1 (0 x1 ) x1 1 1; A x1 x 2 x 2 1 f2 f2 x1 x 2 x e2

稳定性:系统受外界扰动后偏离原平衡状态， 扰动消失后系统回到原平衡状态的能力。
Routh判据， Hurwity判据，Nyquist判据 李亚普诺夫第一方法、第二方法，后者适用于任 何系统的稳定性分析

4.1
李亚普诺夫关于稳定性的定义
主要学习和掌握内容： 1、学习和理解系统稳定性的一般定义。

第4章 稳定性与李亚普诺夫方法
4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李亚普诺夫第一法 4.3 李亚普诺夫第二法 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中 的应用 4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统 中的应用
本章主要学习和掌握内容： 1、系统稳定性的一般定义； 2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方 法: 第一法(间接法)和第二法(直接法)；
其中x [ x1,x2 ,..., xn ]T ,xe [ x1e,x2e,..., xne ]T。

当ε很小时，称s(ε)为xe的邻域；若x0 s(δ) ，则 x 0 xe δ。
若 x f[x, t]解x(t;x 0 ,t0 ) s(ε) ，t t0，则 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε，
一、预备知识
例4-2
4.3
李亚普诺夫第二方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以 及标量函数符号性质的概念； 2、学习和掌握实对称矩阵符号性质的概念以 及利用Sylvester判据判别实对称矩阵符号性质 的方法； 3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据 以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性 的方法。

线性系统稳定性只决定于系统的结构及参数，与系 统初始条件及外界扰动大小无关；非线性系统的稳 定性还与初始条件及外界扰动大小有关。 李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定性的 一般定义。
一、系统状态的运动及平衡状态
设系统齐次状态方程为： x f(x, t) 式中，x为n维状态向量， f为与x同维的向量函数，是 x的各 分量x1 , x 2 ,..., x n和时间t的函数，通常为时变非 线性函数 ( 若不 显含t则为定常非线性系统 ) 。 设在初始条件(t0 ,x 0 )下有方程有唯一解： x Φ(t;x 0 ,t0 ) ， 其中初始状态为 x 0 Φ(t0;x 0 ,t0 ) 。系统的解描述了系统 在n 维状态空间中从初始条 件(t0 ,x 0 ) 出发的一条状态运动的 轨迹， 简称为系统的运动或状 态轨迹（或状态轨线） 。