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现代控制理论 6-1 概念 6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)

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现代控制理论（浓缩版）

现代控制理论（浓缩版）

现代控制理论（浓缩版）绪论1．经典控制理论与现代控制理论的比较。

经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。

经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。

它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。

在对精度要求不高的场合是完全可用的。

最大成果之一就是PID 控制规律的产生，PID 控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。

现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。

确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。

现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。

从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。

而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。

面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。

但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。

所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。

如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。

2．控制一个动态系统的几个基本步骤有四个基本步骤：建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。

现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性
9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )

《现代控制理论》课件

《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。

李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x
v

mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2

-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理

现代控制理论李亚普诺夫稳定性分析PPT学习教案

现代控制理论李亚普诺夫稳定性分析PPT学习教案

设 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任 意实数
,对应存在另一实数
时，从任意初始状态
出发的解都满足
，使当
xe
0
x0 xe δ(ε,t0 )
δ(ε,t0 ) 0 x(t0 ) x0
且对于任意小量
总有
则称平衡状态 是渐近稳定的。若 与 无关,则称这种平衡状态 是一致渐近稳定的。
Φ(t; x0 ,t0 ) xe ε , t t0
第7页/共92页
【例4-1】设系统的状态方程为
x1 x1Βιβλιοθήκη x2x1x2
x23
解 其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即
x1 x1 0 x2 x1 x2 x23 0 ,即,
解之,得系统存在3个孤立的平衡状态
,求其平衡状态。
x1 0 x1 x2 x23 0
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe13 1
,都对应存在另一实数
,使当
ε
xe
0
δ(ε,t0 ) 0
第10页/共92页
时, 系统式（4-1）从任意初始状态
出发的解都满足
x0 xe δ(ε,t0 )
(4-11)
x(t0 ) x0
Φ(t; x0 ,t0 ) xe ε , t0 t
(4-12)
则称平衡状态 为李亚普诺夫意义下稳定,其中,
V (x)
在式（4-15）中，若V(x)正定,则 称权矩 阵P是 正定的,且记为
、
。
。以此类推,可定义二次型权矩阵P的负 定、半 正定、 半负定,并分别 记为
、
P 0
P0 P0
第19页/共92页
V (x)
P0

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2）A=解：第一种方法：令则，即。

求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案

现代控制理论学习指导书第一部分重点要点线性系统理论线性系统数学模型稳定性、可控性和可观测性单变量极点配置的条件和方法。

最优控制理论变分法极小值原理最优性原理动态规划最优估计理论参数估计方法掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法状态估计方法预测法，滤波系统辨识理论经典辨识方法最小二乘辨识方法系统模型确定方法自适应控制理论用脉冲响应求传递函数的原理和方法。

两种设计方法智能控制理论掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。

了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念第二部分练习题填空题1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。

2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。

3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。

5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。

6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。

7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。

8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。

9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。

10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。

11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。

12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。

现控稳定性


是系统的李雅普诺夫函数
判断步骤

Step 1:确定系统平衡状态 Step 2:确定Q和P的形式 Step 3:根据 计算P矩阵的各元素 Step 4:判断P的正定性，如果P为正定，那么系统 是渐近稳定的 P为正定的实质：
4-4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
例题: 4-9 分析系统平衡状态的稳定性
系统传递函数
4-2 李雅普诺夫第一法
系统输出的稳定？ 输出的渐近稳定=状态的渐近稳定 当没有零极点对消时:传递函数的极点=A的特征值
4.3 李亚普诺夫第二方法
一、二次型函数的基本概念 1定义：标量函数的各项最高次数不超过2次 2表达式：
3矩阵表达
11 1 n n 1
n 1 n n n 1


4-2 李雅普诺夫第一法
通过状态方程的解来判断系统的稳定性 •线性系统的特征根 •非线性系统—线性化 判断线性系统稳定性的步骤: 平衡状态xe=0 稳定性属于李氏的哪一种 状态稳定与输出稳定的关系
4-2 李雅普诺夫第一法
线性系统的稳定判据
Ax bu x y cx
Ax x
( x ) v
负定
x ,..v( x)
那么平衡状态是大范围渐近稳定的.
4-3 李雅普诺夫第二法
例题4-4 非线性方程平衡点状态轨迹
几 种 情 况
ε
x0
δ xe
1
v(x)正定
负定
渐近稳定
2
3 4
v(x)正定
v(x)正定 v(x)正定
负定
负半定 负半定
大范围渐近稳定
渐近稳定 稳定
5
v(x)正定
正定
不稳定

上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第6章 稳定性与李雅普诺夫方法

第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。

第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。

一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。

6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。

假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。

于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2) 则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。

如果系统是线性定常的，也就是说Ax t x f =),(，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

平衡状态的确定不包括式(6.1)的系统微分方程的解，只涉及式(6.2）的解。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。

现代控制理论经典习题

第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。

（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。

（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。

（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。

（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。

9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。

10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。

一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。

你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。

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以 xe 为球心，任意规定的半径为ε 的闭球域 S(ε)
c内，即 x(t; x0 , tt )− xe ≤ ε t ≥ t0
y 则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下稳定。 tc稳定前页
返回
10
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状
y 态，则不稳定。 tc 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！
2
经典控制理论 对稳定性描述的局限性
e (1) 局限于描述线性定常系统；
(2) 局限于研究系统的外部稳定性。
ca稳定性判据
劳斯 (Routh) 判据；
y 奈氏 (Nyquist) 判据； tc 前页
三、系统的内部稳定性
e （系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性） a1. 基本概念 c2. 李雅普诺夫稳定性定义
3. 稳定的范围
tcy 4. 内部稳定与外部稳定的关系 返回
4
1. 基本概念
设系统方程为： x& = f (x,t)
不受外力
e n 维状态向量
n 维向量函数
ca 展开式为： x&i = fi(x1,x2,L, xn,t)
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a初始状态有界，随时
x2
c间推移，状态向量距平衡
S(δ )
点的距离可以维持在一个
y 确定的数值内，而到达不
x0 xe
x1
了平衡点。
tc n=2 圆
n=3 球
S(ε )
前页
返回
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
解： MLθ&&+ Mg sinθ = 0
e选取 x1 = θ, x2 = θ&
cax2
状态方程
⎪⎧ x&1 = x2
⎨ ⎪⎩
x&
2
=
−
g L
sin
x1
平衡状态：
tcy K xe xe xe xe xe Kx1
xe
=
⎡nπ ⎤
⎢⎣0
⎥ ⎦
(n
=
0, ± 1, ±
2,L)
7
平衡状态的稳定性：
系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的）
ca 几何意义：
初始状态有界，随
y 时间推移，状态向量距 tc 平衡点越来越远。
x2
S(ε )
S(δ )
x0 xe
x1
稳定
渐稳
15
如果对于某个实数 ε > 0 和任一个实数 δ > 0，
不管这两个实数有多么小，在 S(δ) 内总存在着一
e 个状态 x0 ，由这一状态出发的轨迹超出 S(ε) ，则
称此平衡状态是不稳定的。
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a x2
若δ 与初始时刻t0 无
c关，则称系统的平衡状态
S(δ )
xe 是一致稳定的。
x0 xe
x1
y 时变系统 δ 与t0 有关 tc 定常系统 δ 与t0无关
S(ε )
前页
返回
11
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使 得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
方程的解为： x(t; x0,t0 )
i = 1,2,L, n
y 初始状态向量
初始时刻
tc ⇒ x(t0; x0,t0)= x0
x& = f (x,t)
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。
ex& e = f (xe,t) = 0 a所有状态的变化速度为零，即是静止状态
c线性定常系统： x& = Ax
平衡状态 x& e = Axe = 0
y A ≠ 0 ⇒ xe = 0 一个平衡状态—状态空间原点
tc A =0
无穷多个平衡状态
5
例：机械位移系统
x(t), x&(t)
eμ
m
ak c x2
m&x& = −kx − μx&
返回
选取
x
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡x⎤ ⎢⎣ x& ⎥⎦
状态方程
⎪⎧x&1 = x2
a x2 c S(ε)
S(δ )
x0 xe
x1
y稳定
tc 渐稳
前页 返回
cae tcy 例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x1 x2
平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
前页 返回
16
3. 稳定的范围 渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态
e 均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全
局）渐近稳定的。
无差别
渐近稳定
收敛至 平衡状态
y 一致稳定
对定常系统
tc 与初始时刻
无差别
李雅普诺夫稳定 （稳定）
无关
前页 返回
cae 渐近稳定 tcy 小球
李雅普诺夫 意义下稳定
/ 稳定
1
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
e §1 李雅普诺夫意义下的稳定性 a§2 李雅普诺夫第一法(间接法) c§3 李雅普诺夫第二法(直接法) y §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 tc 定常系统的稳定性
一、概述
稳定性是系统性能研究的首要问题
e 控制系统的重要性质! 正常工作的首要条件! a 控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 c扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状
现代控制理论提纲
线性连续系统
e 线性离散系统 a可控性 c可观性 tcy 稳定性
建立
建建模模
状态空间 表达式
求解
转换
分分析析
状态反馈
设设计计 状态观测器
最优控制
返回
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
e §1 李雅普诺夫意义下的稳定性 a§2 李雅普诺夫第一法(间接法) c§3 李雅普诺夫第二法(直接法) y §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 tc 定常系统的稳定性
tcy稳定
前页 返回
14
例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x2 −x1
−
x2
cae tcy 平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
前页 返回
如果对于某个实数 ε > 0 和任一个实数 δ > 0，
不管这两个实数有多么小，在 S(δ) 内总存在着一
e 个状态 x0 ，由这一状态出发的轨迹超出 S(ε) ，则
称此平衡状态是不稳定的。
x2
S(ε )
S(δ )
x0
x1
点可以无限接近，直至到
y 达平衡点后停止运动。 稳定
tc 与经典控制理论中稳定性的定义相同！ 前页
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几何意义：
当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不仅不超出
e S(ε)，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是
a 渐近稳定的。
x2
S(ε )
c S(δ)
x0
x1
x(t;
x0
,
tt
)
−
xe
=0
稳定
则称此平衡状态是渐近稳定的。
y 若δ 与初始时刻t0 无关，则称系统的平衡状态xe
tc 是一致渐近稳定的。
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几何意义：
当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不仅不超出
e S(ε)，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是
渐近稳定的。
a初始状态有界，随时 c间推移，状态向量距平衡
cn = 2 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 = c 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆
y n = 3 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 + (x3 ) − x3e 2 = c
tc 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球
e选取 x1 = θ, x2 = θ&
ca 状态方程
⎪⎧ x&1 = x2
⎨ ⎪⎩
x&
2
=
−
g L
sin
x1
y 平衡状态：x&
=
0
⇒
⎪⎧ x2 = 0
⎪⎩⎨−
g l
sin
x1
=
0
tc ⇒
⎩⎨⎧sxi2ne
=0 x1e =
0
⇒
xe
=
⎡nπ ⎤
⎢⎣0
⎥ ⎦
(n
=
0, ± 1, ±
2,L)
例：分析单摆(Pendulum)平衡状态的稳定性。
a 几何意义：
δ → ∞ S(δ ) → ∞
c当 t →∞ 时，从状态空间任
意一点出发的轨迹都收敛于xe 。
y 初始状态在整个状态空间时，
x2
x0
xe x0x1tc 系Fra bibliotek状态都渐近稳定。
3. 稳定的范围 渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态
e 均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全
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例：机械位移系统
x(t), x&(t)