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8指数模型8.1单指数模型在均值-方差模型的讨论中，各证券间的协方差我们可以作任何假定，它们可以是由证券间存在的任意数量和种类的关系产生，而且在计算风险时所用的公式VX X r TX =)(2σ中，我们必须对所选择的证券间的协方差进行估计。
如果证券数目太大，我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定投资组合的方差时，需要花费大量时间。
这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。
在∑==ni i i X r E x r E 1)()(，∑∑∑=≠==+=ni nik k ki ik k i ni ii Xx x x 1,11222σσρσσ公式中，这里的数学公式告诉我们，如果投资者考虑的是由n 个资产构成的组合，那么在求解有效资产组合时，需要掌握三个方面的基本数据：（1）每一资产的平均收益率)(i r E ，共需n 个； （2）每一资产收益方差i σ，共需n 个；（3）每一对资产之间的相关系数ik ρ，共需n*(n-1)/2个。
总计需要2n+ n*(n-1)/2个基础性数据。
对于每天追踪30~50种股票的投资机构来说，每天需要处理495~1325个数据；对于每天追踪150-250种股票的投资机构来说，每天需要处理11475~31625个数据；显然，这对各种投资者来说都是一件非常耗时的事情。
那么，如何使投资组合理论和方法有效实用，简便易行，真正为金融财务工作者服务，就成了金融财务经济学家极为关心的问题。
单指数模型能帮助我们克服这一困难，使得确定投资组合的方差计算过程变得简单。
在股票市场中，我们发现，当市场投资组合（如股票市场指数）的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。
这意味着，市场投资组合收益率的变化能充分反映各种证券的共同变化趋势。
因此对各个证券收益率之间的协方差的计算，可以用每一证券收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。
现代投资组合理论与投资风险管理——单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：i i i m R a R β=+i R 代表股票收益。
m R 代表市场指数的收益率——随机变量。
i a 代表股票i 的收益中独立于市场表现的部分——随机变量。
i β度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
i a 项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分：用i α表示i a 的期望值，i e 表示i a 中的随机变量，()0i E e =。
即：i i i a e α=+一只股票的收益方程现在可以写为：i i i m i R R e αβ=++i e 和m R 都是随机变量，分别以ei σ和m σ表示它们的标准差。
单指数模型的基本方程：i i i m i R R e αβ=++其中()0i E e =，对所有股票1,,i N = 二、模型的假设条件 1. 指数与特有收益不相关：[()]0i m m E e R R -= 1,,i N =2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：()0i j E e e = 1,,1,,i N j N i j ==≠及且三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算 在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是： （1） 收益均值：i m i i R R αβ=+（2） 证券收益的方差：2222i i m ei σβσσ=+（3） 证券i 和j 收益之间的协方差：2ij i j m ββσσ=这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
