【全国市级联考】河北省保定市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(文)试题(解析版)

...A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】利用向量的加减法,一步步推导 ,即可得出答案 .【详解】,应选 B.【点睛】本带题目考察了向量的加减法 ,不断的利用邻边关系 ,不断利用向量的加减法 ,最后表示出向量 .5. 以下函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是〔〕A. B.C. D.【答案】 A【解析】对于选项 A，因为，且图象关于原点对称，应选A.考点：三角函数的性质.【此处有视频，请去附件查看】6.设，，，那么、、的大小关系为A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】比拟 a,b 的大小，可以结合对数函数性质进展解答，然后结合a,b,c 与 1 的关系，即可得出答案。

【详解】对于的对数 ,当，a 越小，越靠近y 轴，所以；而，故，应选 A。

【点睛】本道题目考察了对数、指数比拟大小，结合相关性质和1,0 的关系，即可得出答案。

7.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为〔〕，那么g x〔〕满足〔〕g xA. 在区间上单调递减B.在区间上单调递增C. 在区间上单调递减D.在区间上单调递增【答案】 D【解析】【分析】首先结合左加右减原那么，计算出新函数，然后结合正弦函数的性质，判断单调递增区间，即可得出答案。

【详解】函数向左平移个单位长度，得到新函数.当时，有：，满足函数单调递增，应选D 。

【点睛】本道题目考察了正弦函数平移和正弦函数的性质，做此类题目可以结合正弦函数性质进展解答。

8.某工厂2021年投入的科研资金为120 万元，在此根底上，每年投入的科研资金比上年增长12%，那么该厂投入的科研资金开场超过200 万元的年份是〔参考数据： lg1.12=0.05，lg3=0.48lg2=0.30 〕〔〕A. 2021年B. 2021年C. 2022年D. 2023年，【答案】 C【分析】本道题目结合题意，建立不等式，然后结合对数运算，即可得出答案。

【详解】设第n 年后，建立不等式，gaokaoq高考圈-高中生升学规划平台故从2021年起第 5 年，故为2022，应选 C。

2017-2018学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣13．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=612．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用_______个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．14．若a=cosxdx，则（++）4的展开式中常数项为_______．15．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为_______．16．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=+cos（A+B）．（1）求∠C；（2）若c=3，b=a，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}，{b n}，其中a1=1，a n=+，=﹣（n∈N*）．（1）求证：数列{b n﹣}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．21．已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．（1）求m的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．2015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中y=，得到x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1），故选：C．2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵z==的实部和虚部相等，∴，即a+6=3﹣2a，解得：a=﹣1．故选：D．3．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1），利用直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，可得m=0，即可得出结论．【解答】解：直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1）∵直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴m=0，∴“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的必要不充分条件，故选：B．4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．【考点】程序框图；数列的求和．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S值，分析循环变量的初值（由n=2决定）、终值（由n＜21决定）、及步长（由n=n+2决定）我们易得到结论．【解答】解：由n=2知循环变量的初值为2由n＜21得循环变量的终值为20由n=n+2得循环变量步长为2又由S=S+，则S=，故选：A．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象．令x=，求得g（x）=1，为函数g（x）的最大值，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线x=，故选：C．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】的真假判断与应用．【分析】①利用平均数的定义可得：两个班的数学的平均分为，即可判断出正误；②利用的定义可得：平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，即可判断出正误；③利用回归直线方程的性质可得：谢谢回归方程可得：必过点（，）；④利用正态分布的对称性可得．【解答】解：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为，因此不正确；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数为a==14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有c＞b＞a，因此不正确；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，），正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）==0.1，因此不正确．其中正确判断的个数有1个．故选：B．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得|MF|=1+=5，解得p=8，可得抛物线的方程为y2=16x，M（1，4），双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A（﹣，0），直线AM的斜率为，又双曲线的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，解得a=，故选A．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则﹣=﹣=﹣2，所以d=﹣2，又a1=2016，故S2016=2016a1+×（﹣2）=2016，故选：C．10．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题．【解答】解：如图，设=，=，，则∠COA=，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则==﹣，∠ODB=∠AOD=．BD=OA，OB=OA．在△OBD中，由正弦定理得：，∴=，解得sin∠BOD=，∴∠BOD=．∴θ=∠BOD+∠AOD==．∴tanθ=﹣．故选：D．11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论0＜a＜1和a＞1，判断函数f（x）的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可．【解答】解：f（x）=+3log a=+3log a=3﹣+3log a（﹣1﹣），若a＞1，则﹣为增函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为增函数，即f（x）在﹣≤x≤上为增函数，此时函数的最大值A=f（），最小值B=f（﹣），若0＜a＜1，则﹣为减函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为减函数，即f（x）在﹣≤x≤上为减函数，此时函数的最大值A=f（﹣），最小值B=f（），则A+B=f（﹣）+f（）=+3log a++3log a=++3log a+3log a3=+3log a1=4+0=4，故选：B12．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】化简f（x），得方程有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．【解答】解：f（x）=﹣k=，∵f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），∴f（x）=﹣k=0在（0，+∞）上有两个不同的根a，b（a＜b），即|sinx|=kx有两个根，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，则函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，﹣sinb）时满足题意，a，b是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=﹣sinx，f′（x）=﹣cosx，∴在B处的切线为y+sinb=f′（b）（x﹣b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=﹣b×（﹣cosb），∴=cosb，∵O，A B三点共线，∴=，∴=﹣cosb，∴sina=﹣acosb．故选：D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．【考点】由三视图还原实物图．【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=×2×2×2=，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．故答案为：3．14．若a=cosxdx，则（++）4的展开式中常数项为．【考点】定积分．【分析】求定积分可得a值，由二项式的知识可得．【解答】解：求定积分可得a=cosxdx=sinx=2，∴（++）4=（++）4，故展开式中的常数项为•（）2•（）2+••（）2+（）4=+6+4=故答案为：15．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．16．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】全称；二次函数的性质；指数函数综合题．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=+cos（A+B）．（1）求∠C；（2）若c=3，b=a，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的公式求得sin（C+）的值，可得C的值．（2）由条件利用余弦定理求得a的值，可得△ABC的面积S．【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，∴或．（2）当时，根据c=3，b=a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，求得a=3，∴，当时，由勾股定理得a=，∴，18．已知数列{a n}，{b n}，其中a1=1，a n=+，=﹣（n∈N*）．（1）求证：数列{b n﹣}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知得，由此能证明{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）由{}是首项为，公比q=2的等比数列，得，从而，由此能求出数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵，即，∴，又≠0，∴{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）解：由（1）知b n﹣==，∴，n≥1，∵，∴，∴S n=a1b1+a2b2+…+a n b n==．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言，∴选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率：．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，又，，，，ξ∴Eξ==．20．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知推导出BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．（2）法一：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PO⊥平面ABC，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．（2）解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，∵平面PAB⊥平面ABC，∴点P在坐标平面yBz内，∵PC=，BC=1，BC⊥PB，∴，作PQ垂直于直线AB于Q，则，QB=1，∴P（0，1，1），，，，设平面PBC的法向量为，则，取y=1，得，设平面PAC的法向量=（a．b．c），=（0，﹣，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），则，取a=1，得，∴==，由图知，二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．解：（2）解法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PQ⊥平面ABC，∵，，PO=BO=1，如图，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，取PC中点F，连接AF，EF，∵AO=AB=，PO=BC=1，∴，∴AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥EF，∴∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角．，，∴，，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．21．已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．（1）求m的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，推导出k AB+k AD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，∴由，得A点坐标为，联立方程组，∵A、B、D三点两两互不重合，∴△=﹣8m2+64＞0，∴，且m≠0，∴m的取值范围是．（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），①∵|BD|=|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BD的距离，则．∴，当且仅当m=±2时取等号．∵±2∈（﹣2，0）∪（0，2），∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则，将①代入上式整理得k AB+k AD=0，∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可；（3）问题转化为，设g（x）=，（x＞1），根据函数的单调性证出g（m）＜g（n），从而证出结论．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，f（x）=xlnx﹣x+1，f′（x）=lnx，令f′（x）＞0，则x＞1；令f′（x）＜0，则x＜1，∴f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（1）=0；（2）f′（x）=alnx+a﹣1，（x＞1），①a=0时，f′（x）=﹣1＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减，f（x）＜f（1）=0恒成立与已知相矛盾，②当a＞0时，由，由，∴f（x）的单调减区间是，单调增区间是．当，即a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增，f（x）＞f（1）=0恒成立．当，即0＜a＜1时，f（x）在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾，综上：实数a的取值范围是[1，+∞）．（3）证明：∵m＞n＞1，∴要证：m n﹣1＜n m﹣1，只需证（n﹣1）lnm＜（m﹣1）lnn，只需证：．设g（x）=，（x＞1），则．由（1）知当a=1时，f（x）=xlnx﹣x+1＞f（1）=0，∴x﹣1﹣xlnx＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数，而m＞n，∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．2016年9月12日。

2017-2018学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设集合A={x∈N*|x≤2}，B={2，6}，则A∪B=（）A. B. C. 2， D. 1，2，【答案】C【解析】【分析】结合并集的概念,取两个集合所有部分.【详解】集合故,故选C.【点睛】本道题目考查了集合的交并集运算,注意,并集取A,B两个集合所有部分.2.若，则f[f（-3）]=（）A. B. 0 C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】此为一个复合函数,先计算里面的值,再计算外面的函数值.【详解】,故选D.【点睛】本道题目考查了复合函数计算值,注意先计算里面函数的值,再计算外面函数的值.3.的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.4.在△ABC中，已知D为AB上一点，若，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减法,一步步推导,即可得出答案.【详解】,故选B.【点睛】本带题目考查了向量的加减法,不断的利用邻边关系,不断利用向量的加减法,最后表示出向量.5. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.考点：三角函数的性质.6.设，，，则、、的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】比较a,b的大小，可以结合对数函数性质进行解答，然后结合a,b,c与1的关系，即可得出答案。

【详解】对于的对数,当，a越小，越靠近y轴，所以；而，故，故选A。

【点睛】本道题目考查了对数、指数比较大小，结合相关性质和1,0的关系，即可得出答案。

7.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（x）满足（）A. 在区间上单调递减B. 在区间上单调递增C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】首先结合左加右减原则，计算出新函数，然后结合正弦函数的性质，判断单调递增区间，即可得出答案。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。