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一维声波方程有限差分模拟一维声波方程是$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2p}{\partial x^2}$$其中 $p(x,t)$ 是在位置 $x$ 和时间 $t$ 上的压力，$c$ 是声速。
为了进行数值模拟，我们需要使用有限差分方法来近似空间和时间上的偏导数。
一个常用的方法是使用二阶中心差分，即$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} \approx \frac{p_j^{n+1} -2p_j^n + p_j^{n-1}}{\Delta t^2}$$$$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \approx \frac{p_{j+1}^n -2p_j^n + p_{j-1}^n}{\Delta x^2}$$其中 $p_j^n$ 表示在位置 $j\Delta x$ 和时间 $n\Delta t$ 上的压力。
将这两个式子代入原方程得到$$\frac{p_j^{n+1} - 2p_j^n + p_j^{n-1}}{\Delta t^2} = c^2\frac{p_{j+1}^n - 2p_j^n + p_{j-1}^n}{\Delta x^2}$$整理后可得$$p_j^{n+1} = 2p_j^n - p_j^{n-1} + c^2 \frac{\Delta t^2}{\Deltax^2} (p_{j+1}^n - 2p_j^n + p_{j-1}^n)$$这是通过有限差分方法得到的一维声波方程的数值模拟公式。
我们可以从初始状态 $p_j^0$ 和 $p_j^1$ 开始迭代，按照上述公式计算 $p_j^{n+1}$ 直到达到所需的时间步数。
需要注意的是，为了保证数值稳定性，需要满足 $\Delta t \leq \frac{\Delta x}{c}$ 的条件。
