- 1 - 向量坐标运算公式
向量坐标运算是数学中非常重要的一类运算，它的基本思想就是利用坐标系中的“向量”结构，对某一空间中的多个元素进行运算。它可以实现生活中的科学、技术、工程和数学应用。本文将介绍向量坐标运算的基本定义、公式和解决问题的过程。
一、定义
向量坐标运算是以坐标系为基础，以“向量”作为结构，在“平面”上进行坐标点之间的运算。简而言之，它是一种以坐标系为基础，以向量作为结构，对空间中各个元素之间进行运算的科学方法。
二、公式
（1）两个向量之间的运算
A：(a,b)，B：(c,d)
向量A与向量B的点积（Dot Product）：AB=ac+bd
向量A与向量B的叉积（Cross Product）：A×B=ad-bc
（2）向量乘以标量
A：(a,b)
标量m：m
数量m与向量A的乘积（Scalar Product）：mA= (ma,mb)
（3）向量与矩阵之间的乘法
A：（a,b）
矩阵M：（a,b）
矩阵M与向量A的乘积：MA=（ma,mb） - 2 - 三、用向量坐标运算解决问题
例如，假设有一个某个区域的地图，其中有若干个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)等。在该区域内，若要计算从(x1,y1)到(x2,y2)的距离，可以使用向量坐标运算公式和点积计算，也可以使用矩阵乘法计算从(x1,y1)到(x3,y3)的距离。
1、使用点积计算距离
A：(x2-x1,y2-y1)
B：(x2-x1,y2-y1)
距离d=AB= (x2-x1)^2+(y2-y1)^2
2、使用矩阵乘法计算距离
矩阵M：(x3-x1,x2-x1)
向量A：(y3-y1,y2-y1)
距离d=MA= (x3-x1)^2+(y2-y1)^2+(x2-x1)^2
空间向量的坐标运算
一、知识回顾：
1、如果空间一个基底的三个向量互相垂直 ：且长都为1 ：则这个基底叫做 ：
常用 来表示。
2、在单位正交基底i ：j ：k中 ：与向量OA对应的有序实数组),,(zyx叫做
：
其中x叫做 ：y叫做 ：z叫做 。
3、设),,(321aaaa ：),,(321bbbb ：则a+b= ：ab= ：
a ：ba ：a∥b ：ab
。
4、设),,(321aaaa ：),,(321bbbb ：则a ：b ：ba,cos=
。
5、在空间直角坐标系中 ：若),,(111zyxA ：),,(222zyxB ：则BAd, 。
6、如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 ：则称这个向量 ：
向量a叫做平面的 。
二、基础练习：
1、空间直角坐标系中 ：x轴上的点的坐标为 ：y轴上的点的坐标为
：
z轴上的点的坐标为 。
2、向量a=)3,0,2(与坐标平面 平行 ：向量b=)0,3,2(与坐标平面 平行。
3、若向量a=)2,3,2( ：b=)3,5,1( ：且bam与ba23垂直 ：则m 。
4、已知点B是点)4,7,3(A在xOz平面上的射影 ：则2)(OB 。
5、若向量b与向量)2,1,2(a共线 ：且满足18ba ：则b= 。
6、同时垂直于a=)1,2,2( ：b=)3,5,4(的单位向量为 。
三、典型例题：
1、已知△ABC的三顶点)2,1,0(A ：)1,1,2(B ：)2,1,3(C ：求（1）△ABC的重心坐标 ： （2）BC边上的中线长 ：（3）∠A的余弦值 ：（4）△ABC的面积。
2、已知四边形ABCD的顶点分别是)2,1,3(A ：)1,2,1(B ：)3,1,1(C ：)3,5,3(D
3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示
【基础知识在线】
知识点一 空间向量基本定理★★★
考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量
知识点二 单位正交基底★★★
考点： 用坐标表示向量
知识点三 空间直角坐标系★★★★
考点： 选择合适的位置建系
知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★
考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量
能够进行坐标运算
【解密重点·难点·疑点】
问题一：空间向量基本定理
若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,,xyz，使得pxaybzc．
若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是
,,,ppxaybzcxyzR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，
,,abc称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
推论：设CBAO,,,是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组(zyx,,}，使OCzOByOAxOP．
注意：
（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量.
(2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.
(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.
问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示
空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }，如图，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．O—xyz为空间直角坐标系，O为坐标原点，向量i，j，k为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
1 第三讲 空间向量的坐标运算
【基础知识】
一、空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.
二、空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA =xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
三、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) .
四、空间向量常用结论的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0,λ∈R) a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a| a21＋a22＋a23
夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) cos〈a,b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23
五、 证明两直线平行的步骤:
