管内流体流动的基本方程式
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J/kg =J N=m 式中各项单位为 N/kg
（ 2）
z ——位压头
u2 ——动压头 2g p ——静压头 ρg
总压头
二、理想流体管流的机械能守恒
理想流体 （1)μ＝0，τ＝0，无阻力损失 （2) 均匀流段截面上各点的总势能相等 （3) 截面上速度分布均匀，各点的动能相等
Bernoulli方程可以直接推广应用于理想流体的管流
N e = he ⋅ qm = he ⋅ qv ⋅ ρ
5）当体系无外功，且处于静止状态时
gz1 +
p1
ρ
= gz 2 +
p2
ρ
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例 6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
p1 − p2 ＜20%时 压强变化小于原来压强的20%， 即： p1 仍可使用Bernoulli方程。式中流体密度应以两截面之间流体
若流动系统无外加轴功，即 he=0，则
Et1 = Et 2 + h f
由于 hf >0，故 Et1 > Et2
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
4） he和Σhf： 流体流动过程中所获得或消耗的能量 he：输送设备对单位质量流体所做的有效功， Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功率
d 3 = 57 − 2 × 3.5 = 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有 u 2 A2 = 2u 3 A3 即水在管3a和3b中的流速为
u3 = u 2 d 2 2 1.15 100 2 ( ) = 2.30m/s ( ) = 2 d3 2 50
1.2.4 机械能守恒(伯努利方程) Mechanical energy conservation (Bernoulli equation)
假定流体为理想流体，粘度为0，则机械能守恒 牛顿第二定律
F = ma
一、伯努利方程式 在x方向上对微元段受力分析： （1）两端面所受压力分别为
pA 及 − ( p + dp ) A
θ gdm dz
（2）重力的分量
gdm sin θ = gρAdx sin θ = gρAdz
故合力为 pA − ( p + dp ) A − gρAdz = − Adp − gρAdz
3）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平 行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，ΔZ=0。 4）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
动量变化率
qmdu = ρAudu
动量原理
ρAudu = − Adp − gρAdz
ρ 不可压缩性流体，ρ = Const.
1 2 p zg +u + = Const. 2 ρ
gdz +
dp
+ udu = 0
（1）
——伯努利方程式
（1）适用于重力场中连续的同种不可压缩的理想流 体； （2）物理意义：
则水在管1中的流速为
u1 =
1
2
3a 3b
π
VS
管2的内径为
4
d12
9 × 10 −3 = = 1.75m/s 0.785 × 0.0812
附图1－3
d 2 = 108 − 2 × 4 = 100mm
d1 2 81 2 ) = 1.75 × ( ) = 1.15m/s d2 100
由连续性方程，则水在管2中的流速为 u 2 = u1 ( 管3a及3b的内径为
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg
p u 2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg 2
ρ
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg
流动的流体中，存在着三种形式的机械能， 即位能、静压能和动能，三者可以转换，其总和 保持不变 。
将(1)式各项同除重力加速度g :
1 2 p = Const. z+ u + ρg 2g
u ↑→
d ↓ →设备费用↓ 流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
均衡 考虑
qv由生产任务指定，关键在于流速的选择： •u↓，d↑，操作费↓，设备费↑ •u↑，d↓，操作费↑，设备费↓ ∴适宜的流速按总费用最低的原则选取，但经济衡算非 常复杂，故常通过经验值选择。
管径计算步骤
1.据经验值选择一适宜的流速u； 2.计算管内径d； 3.圆整，按照管子规格选用具体的管路。管子规格表示方 法为φ圆管外径×壁厚。 4.核算流速 是否在经验范围内
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
③ 质量流速 （mass velocity ） 单位时间内流经管道单位截面积的流体质量。
qm qV ρ = = ρu G = A A
G又称为质量通量(mass flux)
kg/（m2·s）
④流量 与流速 的关系 （ The relationship of flow rate and flow velocity)：
u2 gz + + = 常数 ρ 2 p
或 或
2 u12 p2 u2 + gz1 + + = gz2 + ρ 2 ρ 2
p1
管流中的流线
P1
2 u12 P2 u2 + = + ρ 2 ρ 2
Geometric significance of Bernoulli equation
思考： 如果管道有分支，则稳定流动时的理想流体的 Bernoulli 方程式又如何？
例:以7m3/h的流量输送自来水，试选择合适的管路。 解：1.据经验值，选择流速u=1.2m/s 2.计算管内径d
4 qv 4× 7 = = 45.4 mm d= πu 3600 × π ×1.2
3.查附录 (热轧无缝钢管)，选择管子规格为φ57×5mm的 管路。 4.核算流速： ub=qv/A=4qv/(πd2)=4×7/(3600×π×0.0472)=1.12 m/s 流速在1～1.5m/s范围内，故管路选择合适。
2、流速（Flow velocity） 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离。
流速u，单位：m/s ① 点流速（Particle velocity ） 同一截面上各点速度不等。 管壁处为零，中心最大。 ② 平均流速（Mean flow velocity）
uA = ∫ u ⋅ dA = qV
A
u = qV / A
单位质量的柏努利方程式:
Et1=Et2+Et3
3
是否成立?
1 2
如不成立,正确的应该如何?
Et1=Et2＝Et3
1.2.5 实际流体的机械能衡算式
一、 实际流体的机械能衡算式
µ ≠ 0,τ ≠ 0, 有阻力损失
2 u12 p2 u2 + + hf gz1 + + + he = gz2 + ρ 2 ρ 2
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量 例： 20 ℃的空气在直径为 800mm 的水平管流过，现于管路中接一文丘 里管，如本题附图所示，文丘里管的 上游接一水银U 管压差计，在直径为 20mm 的喉径处接一细管，其下部插 入水槽中。空气流入文丘里管的能量 损失可忽略不计，当 U 管压差计读数 R=25mm，h=0.5m 时，试求此时空气 的流量为多少m3/h? (当地大气压强为 101.33×103Pa)
= qm ρ = qV ρ= uA GA
3. 管径的计算（calculation of pipe diameter）
Cost
对于圆形管道 1 2 q = uA = πd u v 4
4qV d= πu
Total cost Operating cost Equipment cost uopt u
流量qV一般由生产任务决定。 流速选择：
1.2.2 稳态流动与非稳态流动
稳态流动：各截面上的温度、压力、流速等物理量 仅随位置变化，而不随时间变化；
T , p, u = f ( x , y , z )
非稳态流动：流体在各截面上的有关物理量既随位 置变化，也随时间变化。
T , p, u = f ( x , y , z , θ )
1.2.3 质量守恒方程（连续性方程）
p1
P
P2 u u + + he = + + hf 2 2 ρ ρ
1
2 1
2 2
实际流体的Bernoulli方程
1. 柏努利方程的不同形式 （1）以单位质量1kg流体为衡算基准,
u p1 u p2 + + he = gz2 + + + hf gz1 + ρ ρ 2 2
总机械能 Et
（2）以单位重量1N流体为衡算基准。 将上式各项除以g,则得:
•将上式各项乘以流体密度ρ,则：
u u ρ gz1 + ρ + p1 + pT = ρ gz2 + ρ + p2 + ρ h f 2 2
2 1 2 2
Pa
其中
pT = he ρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
（ 2）
z ——位压头
u2 ——动压头 2g p ——静压头 ρg
总压头
二、理想流体管流的机械能守恒
理想流体 （1)μ＝0，τ＝0，无阻力损失 （2) 均匀流段截面上各点的总势能相等 （3) 截面上速度分布均匀，各点的动能相等
Bernoulli方程可以直接推广应用于理想流体的管流
N e = he ⋅ qm = he ⋅ qv ⋅ ρ
5）当体系无外功，且处于静止状态时
gz1 +
p1
ρ
= gz 2 +
p2
ρ
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例 6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
p1 − p2 ＜20%时 压强变化小于原来压强的20%， 即： p1 仍可使用Bernoulli方程。式中流体密度应以两截面之间流体
若流动系统无外加轴功，即 he=0，则
Et1 = Et 2 + h f
由于 hf >0，故 Et1 > Et2
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
4） he和Σhf： 流体流动过程中所获得或消耗的能量 he：输送设备对单位质量流体所做的有效功， Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功率
d 3 = 57 − 2 × 3.5 = 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有 u 2 A2 = 2u 3 A3 即水在管3a和3b中的流速为
u3 = u 2 d 2 2 1.15 100 2 ( ) = 2.30m/s ( ) = 2 d3 2 50
1.2.4 机械能守恒(伯努利方程) Mechanical energy conservation (Bernoulli equation)
假定流体为理想流体，粘度为0，则机械能守恒 牛顿第二定律
F = ma
一、伯努利方程式 在x方向上对微元段受力分析： （1）两端面所受压力分别为
pA 及 − ( p + dp ) A
θ gdm dz
（2）重力的分量
gdm sin θ = gρAdx sin θ = gρAdz
故合力为 pA − ( p + dp ) A − gρAdz = − Adp − gρAdz
3）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平 行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，ΔZ=0。 4）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
动量变化率
qmdu = ρAudu
动量原理
ρAudu = − Adp − gρAdz
ρ 不可压缩性流体，ρ = Const.
1 2 p zg +u + = Const. 2 ρ
gdz +
dp
+ udu = 0
（1）
——伯努利方程式
（1）适用于重力场中连续的同种不可压缩的理想流 体； （2）物理意义：
则水在管1中的流速为
u1 =
1
2
3a 3b
π
VS
管2的内径为
4
d12
9 × 10 −3 = = 1.75m/s 0.785 × 0.0812
附图1－3
d 2 = 108 − 2 × 4 = 100mm
d1 2 81 2 ) = 1.75 × ( ) = 1.15m/s d2 100
由连续性方程，则水在管2中的流速为 u 2 = u1 ( 管3a及3b的内径为
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg
p u 2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg 2
ρ
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg
流动的流体中，存在着三种形式的机械能， 即位能、静压能和动能，三者可以转换，其总和 保持不变 。
将(1)式各项同除重力加速度g :
1 2 p = Const. z+ u + ρg 2g
u ↑→
d ↓ →设备费用↓ 流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
均衡 考虑
qv由生产任务指定，关键在于流速的选择： •u↓，d↑，操作费↓，设备费↑ •u↑，d↓，操作费↑，设备费↓ ∴适宜的流速按总费用最低的原则选取，但经济衡算非 常复杂，故常通过经验值选择。
管径计算步骤
1.据经验值选择一适宜的流速u； 2.计算管内径d； 3.圆整，按照管子规格选用具体的管路。管子规格表示方 法为φ圆管外径×壁厚。 4.核算流速 是否在经验范围内
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
③ 质量流速 （mass velocity ） 单位时间内流经管道单位截面积的流体质量。
qm qV ρ = = ρu G = A A
G又称为质量通量(mass flux)
kg/（m2·s）
④流量 与流速 的关系 （ The relationship of flow rate and flow velocity)：
u2 gz + + = 常数 ρ 2 p
或 或
2 u12 p2 u2 + gz1 + + = gz2 + ρ 2 ρ 2
p1
管流中的流线
P1
2 u12 P2 u2 + = + ρ 2 ρ 2
Geometric significance of Bernoulli equation
思考： 如果管道有分支，则稳定流动时的理想流体的 Bernoulli 方程式又如何？
例:以7m3/h的流量输送自来水，试选择合适的管路。 解：1.据经验值，选择流速u=1.2m/s 2.计算管内径d
4 qv 4× 7 = = 45.4 mm d= πu 3600 × π ×1.2
3.查附录 (热轧无缝钢管)，选择管子规格为φ57×5mm的 管路。 4.核算流速： ub=qv/A=4qv/(πd2)=4×7/(3600×π×0.0472)=1.12 m/s 流速在1～1.5m/s范围内，故管路选择合适。
2、流速（Flow velocity） 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离。
流速u，单位：m/s ① 点流速（Particle velocity ） 同一截面上各点速度不等。 管壁处为零，中心最大。 ② 平均流速（Mean flow velocity）
uA = ∫ u ⋅ dA = qV
A
u = qV / A
单位质量的柏努利方程式:
Et1=Et2+Et3
3
是否成立?
1 2
如不成立,正确的应该如何?
Et1=Et2＝Et3
1.2.5 实际流体的机械能衡算式
一、 实际流体的机械能衡算式
µ ≠ 0,τ ≠ 0, 有阻力损失
2 u12 p2 u2 + + hf gz1 + + + he = gz2 + ρ 2 ρ 2
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量 例： 20 ℃的空气在直径为 800mm 的水平管流过，现于管路中接一文丘 里管，如本题附图所示，文丘里管的 上游接一水银U 管压差计，在直径为 20mm 的喉径处接一细管，其下部插 入水槽中。空气流入文丘里管的能量 损失可忽略不计，当 U 管压差计读数 R=25mm，h=0.5m 时，试求此时空气 的流量为多少m3/h? (当地大气压强为 101.33×103Pa)
= qm ρ = qV ρ= uA GA
3. 管径的计算（calculation of pipe diameter）
Cost
对于圆形管道 1 2 q = uA = πd u v 4
4qV d= πu
Total cost Operating cost Equipment cost uopt u
流量qV一般由生产任务决定。 流速选择：
1.2.2 稳态流动与非稳态流动
稳态流动：各截面上的温度、压力、流速等物理量 仅随位置变化，而不随时间变化；
T , p, u = f ( x , y , z )
非稳态流动：流体在各截面上的有关物理量既随位 置变化，也随时间变化。
T , p, u = f ( x , y , z , θ )
1.2.3 质量守恒方程（连续性方程）
p1
P
P2 u u + + he = + + hf 2 2 ρ ρ
1
2 1
2 2
实际流体的Bernoulli方程
1. 柏努利方程的不同形式 （1）以单位质量1kg流体为衡算基准,
u p1 u p2 + + he = gz2 + + + hf gz1 + ρ ρ 2 2
总机械能 Et
（2）以单位重量1N流体为衡算基准。 将上式各项除以g,则得:
•将上式各项乘以流体密度ρ,则：
u u ρ gz1 + ρ + p1 + pT = ρ gz2 + ρ + p2 + ρ h f 2 2
2 1 2 2
Pa
其中
pT = he ρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
