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常微分方程第三版答案.d o c本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsinxy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duduu+ x=ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dxdy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 解：原方程为：dx dy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dx du 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dxdu =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》第三版答案习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d( 21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2 y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明：令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。
参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。
参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。
参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。
常微分方程试卷答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B一、 选择题（3分⨯8=24分） 1、（ A ）是一阶线性微分方程。
A ．y y x ='2B ．2y y =' C ．x y y +='1D ． ye y ='2、（ B ）不是变量可分离微分方程。
A ．xyy ++='11 B ．1--='y x y y C ． 022=+dy x dx y D ．0=+x dy y dx3、下列等式中为微分方程的是 （ D ）A ．()'='+'uv v u v uB ．()dx e y d e dx dy x x+=+ C. ()'''v u v u +=+ D.x e y xsin '+= 4、向量组在区间I 上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I 上为零的（ C ）A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、若方程0=-''y y λ存在满足()()010==y y 的非零解，则λ为（ B ）A ．2πλ=B ．2πλ-=C ．πλ=D ．πλ-=6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是（ B ） A ．)(y N x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ B ．)(x N x Ny M ϕ=∂∂-∂∂ C ．)(y M x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ D ．)(y M xNy M ϕ=∂∂-∂∂ 7、微分方程082=-'-''y y y 的通解为 （ B ） A ．x x e c e c y 2241--= B ．x x e c e c y 2241+=- C ．()2241c e e c y x x ++=- D ． x x e e y 243-=-8、方程212-='y y 的通过点（0，0）的解的最大存在区间是（ A ）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-2，2） 二、求解方程0)(42=++dx y x y xdy 。
常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
工程数学 答案1.1计算下列各式： （2）、（a-bi ）3解（a-bi ）3=a 3-3a 2bi+3a(bi)2-(bi)3=a 3-3ab 2+i(b 3-3a 2b) ；（3）、ii −1 (i −2)；解 ii −1 (i −2)=i i 2−2i −i+2=i1−3i=i(1+3i)10=−310+i 101.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：（1）（z 1±z 2）=z 1±z 2；证 （z 1±z 2）= x 1+iy 1 ±(x 2+iy 2)=(x 1±x 2)-i(y 1±y 2) =x 1− iy 1±x 2±iy 2=z 1±z 2 （2） z 1z 2 =z 1 z 2 ；证 z 1z 2 =（x 1+iy 1）（x 2+iy 2） = x 1x 2−y 1y 2 +i （x 1y 2+y 1x 2） =x 1x 2-y 1y 2- i （x 1y 2+y 1x 2）z 1 z 2=（x 1+iy 1）（x 2+iy 2）=(x 1−iy 1)( x 2−iy 2) =x 1x 2-iy 1x 2- ix 1y 2−y 1x 2 即左边=右边，得证。
（3） Z 1Z 2 =Z 1Z 22≠0)证 Z1Z 2=（x 1+iy 1x 2+iy 2）=（（x 1+iy 1）（x 2−iy 2）x 22+y 22）=（x 1−iy 1）（x 2+iy 2）x 22+y 22=（x 1−iy 1）（x 22+y 22）（x 22+y 22）（x 2−iy 2）=x 1−iy 1x 2−iy 2=Z 1Z 21.4、将直线方程ax+by+c=0 (a 2+b 2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z ］ A z+A z +B=0，其中A=a+ib ，B=2C(实数) 。
解 由x=z+z 2，y=z −z 2i代入直线方程，得a 2(z +z )+b 2i(z −z )+c=0, az+az -bi(z −z )+2c=0,(a- ib)z+( a+ib) z +2c=0,故A z+A z +B=0，其中A=a+ib ，B=2C1.5、将圆周方程a(x 2+y 2)+bx+cy+d=0 (a ≠0)写成复数形式（即用z 与z 来表示，其中z=x+iy ） 解：x=z+z 2，y=z −z 2i，x 2+y 2=z z 代入圆周方程，得az z +b2(z +z )+c 2i(z −z )+d=0，2az z +(b-ic)z+(b+ic) z +2d=0故Az z +Bz +B z +C=0，其中A=2a ，C=2d 均为实数，B=b+ic 。
1浙江省2018年4月自学考试常微分方程试题课程代码：10002本试卷分A 、B 卷，使用1983年版本教材的考生请做A 卷，使用2018年版本教材的考生请做B 卷；若A 、B 两卷都做的，以B 卷记分。
A 卷一、填空题(本大题共11小题，每空3分，共36分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.方程0d d =+y N(x,y)x M(x,y)有只含x 的积分因子的充要条件是_____,有只含y 的积分因子的充要条件是_____.2. 方程221d d y x y =通过点(6,-1)的解的存在区间为_____. 3. 如果存在常数L >0，使得不等式_____对于所有R )),(x,y (x,y ∈21都成立，则函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件.4. 方程y ″-x 2y ′+3y =0的解空间构成_____ .5. 若x i (t )(i =1,2,…,n )为齐线性方程的一个基本解组，x (t )为对应的非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _____.6. 方程 y x xy tan d d =的所有常数解是_____. 7.方程04d d 22=+y x y的基本解组是_____.8.n 阶非齐线性方程最多存在_____个线性无关的解.9.A 是一个n ×n 常数矩阵，矩阵(exp A t )′=_____.10.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量v 1,v 2,…,v n ，它们对应的特征值分别为λ1,λ2，…λn ,那么矩阵Φ(t )=_____是常系数线性方程组x ′=Ax 的一个基解矩阵.11.方程组⎪⎩⎪⎨⎧==)(d d )(d d x,y y ty x,y X t x 满足_____的点(x *,y *)称为此方程组的奇点.2 二、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）1.解方程：0d ln d 3=++y x) (y x xy . 2.解方程：(2x +2y -1)d x +(x +y -2)d y =0.3.求解常系数线性方程：x ″-2x ′+3x =e -t cos t .4.求方程xy e xy x y =+d d 的通解. 5.试求方程组x ′=Ax 的一个基解矩阵，并计算exp At ，其中A =.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21-12- 6.求t x d d =-x -y +1, ty d d =x -y -5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 7.判断方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+=++=x )z y-z-(y x xz )ex,z y x-y-(x ty x,x y-z x -t x cos d d d d sin 2d d 23332的零解的稳定性. 三、证明题（本大题8分）假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组x ′=A x +ce mt有一解形如ϕ(t )=pe mt其中c ,p 是常数向量.B 卷一、填空题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)请在每小题的空格中填上正确答案。
习题2.2求下列方程的解 1．dxdy=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dxc dx +)=e x [-21e x-(x x cos sin +)+c] =c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt3 (⎰et2e -⎰-dt 3c dt +) =e t 3- (51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dtds=-s t cos +21t 2sin解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + )=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y nx+=)(c dx ex e ey dxx nnx dxx n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x⎰=-dxx x ey 212(c dx edxx x +⎰-221))21(ln 2+=x e)(1ln 2⎰+--c dx exx=)1(12xce x +是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dxx P x dxdy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyy x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y y eyQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
浙大远程教育控制理论离线作业第一章1-1 与开环系统相比，闭环系统的最大特点是：检测偏差，纠正偏差。
1-2 分析一个控制系统从以下三方面分析：稳定性、准确性、快速性。
1-3图1-1 (a)，(b)所示均为调速系统。
(1) 分别画出图1-3(a)、图(b)所示系统的方框图。
给出图1-1(a) 所示系统正确的反馈连线方式。
(2) 指出在恒值输入条件下，图1-1(a)，(b) 所示系统中哪个是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。
图1-1 调速系统工作原理图解图1-1(a)正确的反馈连接方式如图1-1 (a)中虚线所示。
(1) 系统方框图如图解1-2所示。
(2) 图1-1 (a) 所示的系统是有差系统，图1-1 (b) 所示的系统是无差系统。
图1-1 (a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流一定是恒定值。
这意味着放大器前端电压是非零的常值。
因此，常值偏差电压存在是系统稳定工作的前提，故系统有差。
图1-1 (b)中，给定恒定电压，电动机达到稳定转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为0，故系统无差。
1-4图1-3 (a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。
假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1-3(a)，(b)中哪个能保持110V不变，哪个电压会低于110V？为什么?图1-3 电压调节系统工作原理图解带上负载后，开始由于负载的影响，图1-3(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110V，而图(b) 所示系统却不能。
理由如下：图(a)系统，当u低于给定电压时，其偏差电压经放大器K放大后，驱动电机D转动，I增大，发电机的输出电压会升高，从而使偏经减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流j差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。
