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线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。
我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。
阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。
第10讲3.6 线性系统的稳态误差计算3.6.1 稳态误差的定义3.6.2 系统类型3.6.3 扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。
事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。
例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。
但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。
因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。
考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。
为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）图3-23 控制系统N(s)C(s))()()(1)()()()(212s H s G s G s G s N s C s M N +== (3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为)()()()(1)()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n +==(3-72)系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为)()()()(1)()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +-=-=(3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为)()()()(1)()(lim 2120s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +-==→ (3-74) 若令图3-23中的21)()(,)()(222111ννs s W K s G s s W K s G == (3-75)为讨论方便起见假设1)(=s H 则系统的开环传递函数为νs s W K s W K s G s G s G )()()()()(221121==(3-76)1)0()0(,2121==+=W W ννν。
1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 0 0 1-若i λ是A 的特征值，则所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。
1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。
又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于()()t 0t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。
又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。
1-11 解：由题设可知，()τ-t g 随τ变化的图如下所示。
1.1数字信号处理与模拟信号相比有哪些优点答：数字信号处理是采用计算机或数字信号处理器（DSP）和专用集成电路（ASIC）等专用处理设备，具有灵活、高速与高精度的优点，数字信号处理具有抗干扰强、设备尺寸小、造价低、效率高、能耗低等突出优点，这些都是模拟信号处理技术与设备所无法比拟的。
如电视技术的发展，从模拟电视到数字高清、卫星直播，电视的质量、容量、时效性等性能都发生了质的变化，这些都是先进的数字信号处理技术与集成电路技术飞速发展的结果。
1.2简述DSP系统的组成答：PPT第一章第一页第五个1.3DSP芯片与普通单片机相比有什么特点答：（1）在一个指令周期内可完成一次乘法和一次加法；（2）程序和数据空间分开，可以同时访问指令和数据；（3）片内具有快速RAM，通常可通过独立的数据总线在两块中同时访问；（4）具有低开销或无开销循环及跳转的硬件支持；（5）快速的中断处理和硬件I/O支持；（6）具有在单周期内操作的多个硬件地址产生器；（7）可以并行执行多个操作；（8）支持流水线操作，使取指、译码和执行等操作可以重叠执行1.4一个200阶的FIR滤波器，要分别利用TMS32055X和8051单片机完成对信号的实时处理。
试估算一下，采样频率最高可各取多少？设滤波器洗漱和信号数据均为16位整数。
答：1.5DSP芯片有哪些主要特点？答：PPT第一章第二页左下1.6什么事定点DSP芯片，什么事浮点DSP芯片，他们各自有什么优缺点？答：浮点DSP能直接进行浮点运算，一次完成，是直接用硬件完成的。
而定点DSP无法直接完成浮点运算，需要用程序来辅助完成浮点运算。
1.7在进行DSP系统设计时，如何选择DSP芯片？答：考虑因素在PPT第一章倒数第二页1.2.51.8、IT公司的DSP芯片主要有那几大类答：TMS320C2000系列，主要用于数字化控制领域，TMS320C5000系列主要用于图像通信领域，TMS320C6000系列主要用于数字通信和音视频技术领域1.9、TMS320C5000系列DSP芯片有什么特点答：它是16位整数DSP处理器，目前有三代产品。
2-17 证明：①首先证明()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现（该题有问题，不是()TT TCB A，，）。
由于()s G 是对称传递函数阵，故有()()T T T C sI B B A sI C 1-1-A --=，所以()TT TBC A，，是()s G 的实现。
又因为()[]n CA CA Crank CA C A C rank n Tn TT T T =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-1- ，其可控； 同理可证其可观，故系统()T T T B C A ，，是可控可观的。
所以其是()s G 的不可简约实现。
②证明P 的对称性。
由题设易知，由于()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现，则存在非奇异阵P ，使得TT T BCPC PB A PAP===--11，，。
由T T T T T T P P I P P P CP P B C C PB =⇒=⇒==⇒=--11 所以P 是非奇异对称阵。
③证明P 的唯一性。
由T C PB =，很容易知道1-=B C P T ，故知P 是唯一的。
综上可知，命题得证。
2-18 解：[]1 1 3- 4 2301 4 0 2- 3-0 3 2- 6-0 02 0 0 0 0 1 -=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C B A 。
a.① ><B A |由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==65 17 5 2 3 3 3 3 00 0 0 1 1 1 1 32B A B A AB B U 所以)53012301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<，span B A 。
② η()⇔⋂=kCAker η064 27 118- 145-16 9 34- 43-4 3 10- 13-1 1 3- 4 032=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⇔=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x CACA CA C故)12101301(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，span η ③ ><⋂B A |η即任意>⇔<⋂∈B A x |η2153012301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，同时有4312101301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=故0--1 1 5 22 3 3 31 0 0 00 1 1 14321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x ，有)1301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂span B A η ④ ⊥><⋂B A |η 易知，⇔>∈<⊥B A x |[]065 17 5 2 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 32=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T TxB A B A AB B x，即 065 3 0 117 3 0 15 3 0 12 3 0 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x 所以)0103-0010(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⊥，span B A 同③，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⋂⊥0000|B A η⑤ ><⋂⊥B A |η)101-1-0123(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⊥，span η同③可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂⊥0000|B A η⑥ ⊥⊥><⋂B A |η易知)0123(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=><⋂⊥⊥span B A η 综上可知，上述空间的维数加起来不等于4，故在上述空间的直和空间中不能取到状态空间的基底。
第七章第三讲线性系统的稳定性（续）⎡例：考虑系统100111x x u ⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−⎦⎦[]11y x⎣⎣=讨论其BIBS 、BIBO 及BIBS 、BIBO 全稳定。
解系统是不可控但可观测的可控模态是解：系统是不可控但可观测的，可控模态是−1。
根据定理7-6，系统BIBS 稳定，但非BIBS 全稳定。
又系统可控、可观的模态是−1，故系统BIBO 稳定。
但不可控、可观的模态是1，故系统也非稳定但不可控可观的模态是故系统非BIBO 全稳定。
三、总体稳定( T 稳定)定义若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下, 均有x(t) 、y(t)有界, 则称系统(A-1)总体稳定。
)(A1)总体稳定总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。
全稳定()（定）可观则有四、稳定性之间的关系命题(6-1)：（定理7-8）若（Ａ，Ｃ）可观，则有BIBO 稳定⇔BIBS 稳定证明：“⇐”显然。
下面证“⇒”：假定系统已具可控性分解形式：⎧12114111,00()[]y s u −⎡⎤⎡⎤==⎪⎢⎥⎢⎥⇒=−⎣⎦⎣⎦⎨A A B A B A C I A B []()12s ⎪=⎩G C C C 则是可控可观测的(A ,C )可观意味子系统(A 1, B 1, C 1)是可控可观测的。
BIBO ⇔A 1的所有特征值均具负实部。
另外，(A 1, B 1)可控BIBS 稳定可控、A 1的所有特征值均具负实部⇔BIBS 稳定。
证完。
命题(6-2)：（定理7-9）若（Ａ, B）可控，则有BIBS 稳定⇔Reλi(A)<0, ∀λi明只需要稳定i()即可证明：只需要证BIBS ⇒Re λA)<0即可。
事实上，系统BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应事实上系统S的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。
因为（Ａ, B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可）可控故控模态，此时系统BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部从而所有的模式均收敛均具负实部，从而，所有的模式均收敛。
信号与系统第23讲拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换方法直接利用定义求反变换涉及复变函数积分，比较困难。
部分分式展开:将象函数分解为简单部分分式之和，利用拉氏变换的线性性质和常用信号的拉氏变换，从而得到原函数。
j j 1()()d 02πj s tf t F s e s t σσ+∞-∞=>⎰11101110()()()m m m m nn n b s b s b s b N s F s D s s a s a s a --+-++++==++++L L 部分分式展开法求拉氏反变换对分母多项式进行因式分解12()()()()n D s s p s p s p =---L 1p 12,,,n p p p L 为()0D s =的根，称为()F s 的极点式中 1. D ( s ) = 0的根均为单实根则 12112()nn i i n iK K K K F s s p s p s p s p ==+++=----∑L ()()ii i s p K s p F s ==-()i p t ii iK K e t s p ε↔-()1212()()np t p t p tn f t K e K e K e t ε=+++L 而1. D ( s ) = 0的根均为单实根例1 求324()32s F s s s s+=++的原函数()f t 。
3123()(1)(2)12K K K s F s s s s s s s +==++++++解： 1042(1)(2)s s K s s s s =+=⋅=++214(1)3(1)(2)s s K s s s s =-+=+=-++324(2)1(1)(2)s s K s s s s =-+=+=++231()12F s s s s -=++++2()(23)()t t f t e e t ε--=-+原函数为：例2 设 ，求f ( t )。
)2)(1()(++=s s ss F 解 11)2)(1()(21+++=++=s K s K s s s s F 其中1)()1(11-=+=-=s s F s K 2)()2(22=+=-=s s F s K 所以 1211)(+++-=s s s F 则)()e 2e ()(2t t f t t ε--+-=1. D ( s ) = 0的根均为单实根例3 设 ，求f ( t )。
线性系统理论Linear System Theory 北京理工大学自动化学院学时：54学分：3主讲教师：姚小兰联系电话：68912467Email : yaoxiaolan@ 讲义：《线性系统理论与设计》•第一章绪论1学时•第二章系统的数学描述5学时•第四章线性动态方程和脉冲响应矩阵8学时•第五章线性动态方程的可控性和可观测性8学时•第六章传递函数矩阵的状态空间实现6学时•第七章系统的运动稳定性8学时•第八章线性反馈系统的综合8学时•第九章状态观测器及状态观测器的设计4学时•课堂讨论6学时•根据实际情况，各章所用学时会稍微有所调整。
讲授方式：以课堂讲授为主，适当章节进行自学及讨论。
考核方式：期末闭卷考试80~90％平时10~20%参考书目[1] 陈啟宗[美]，王纪文/杜正秋/毛剑琴[译].线性系统理论与设计，科学出版社，1988（英文第三版1999）[2] 郑大鈡. 线性系统理论（第2版），清华大学出版社，2002[3] 段广仁. 线性系统理论（第2版），哈尔滨工业大学出版社，2004[4] 黄琳.系统与控制理论中的线性代数, 科学出版社，1984[5] T.凯拉斯.线性系统，科学出版社，1985[6] (日)须田信英等曹长修译.自动控制中的矩阵理论,科学出版社, 1979何谓控制科学？控制科学是研究各种系统的共同控制规律的科学，是数学与工程学的交叉科学，是自动化系统的核心理论，也是人类改造世界的重要方法。
通俗地说，从现代汽车到航天飞机，都离不开控制理论。
随着计算机和其他高技术的急剧发展，人类需要处理越来越复杂的动态系统，而保持技术和经济竞争优势不断地刺激着追求控制系统的精确性、有效性和可靠性。
航空航天、工业过程、生物医学，社会经济和生态环境等领域出现了大量复杂系统控制问题，对控制科学提出了前所未有的挑战。
一、系统控制理论的研究对象1、系统：由相互关联和相互制约的若干“部分”组成的具有特定功能的一个“整体”。
线性系统 论 线性系统理论(Linear System Theory)程鹏 教授 编写北京航空航天大学内部讲义参考书：一、矩阵方面： 1.(日)须田信英等，曹长修译 信英等 曹 修 ： 《自动控制中的矩阵理论》 科学出版社 1979 2 黄琳 ： 2.黄琳 《系统与控制理论中的线性代数》, 科学出版社 1984 3 韩京清，许可康 ，何关钰： 3.韩京清，许可康 《线性系统理论的代数基础》，辽宁科技出版社1987二、线性系统理论方面： 1. T.KAILATH：Linear Systems 1985年有中译本，李清泉等译：凯拉斯： 年有中译本 李清泉等译：凯拉斯：《线性系 统》。
2. C.T.CHEN: Linear System Theory and Design (王纪文、毛剑琴等译 王纪文 毛剑琴等译)： 《线性系统理论与设计》，1988年中译本 3. 郑大钟： 《线性系统理论》 清华大学出版社，1992 其余见篇末文献。
课程的地位与目的本课程是控制科学与工程一级学科研究生的公共学 位课和专业基础课。
通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。
步学习其它控制理论奠定坚实的基础 本课程理论性强，用到较多数学工具，因此， 对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学生运 用数学知识处理控制问题的能力具有重要作用。
一、控制论产生的背景社会背景现代社会的生产和管理对于高度自动化水平的需要社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更 能把科学推向前进。
—— 恩格斯直接原因二战期间，维纳参加了火炮控制和电子计算机的研制工作。
1943年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了 年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了《 《行为、 目的和目的论》 目的和目的论 》，首先提出了“控制论”这个概念，第一次把 只属于生物的有目的的行为赋予机器 阐明了控制论的基本思 只属于生物的有目的的行为赋予机器，阐明了控制论的基本思 想。
02 航天学院序号：课程编号：02M001课程名称：线性系统理论任课教师：周军刘莹莹英文译名：Linear System Theory先修要求：《线性代数》和《矩阵论》中任一门、《复变函数》内容简介：《线性系统理论》是控制类、系统工程类、电类、计算机类、机电类等许多学科专业硕士研究生的一门公共基础理论课，是控制、信息、系统方面系列理论课程的先行课。
《线性系统理论》是最优估计、最优控制、系统辨识、自适应控制等现代控制理论的基础，系统讲述线性系统的运动规律，揭示系统中固有的结构特性，建立系统的结构、参数与性能之间的定性和定量关系，以及为改善系统性能，满足工程指标要求而采取的各类控制器设计方法。
具体的内容包括：线性系统的状态空间描述、状态空间描述与传递函数描述的关系、线性系统的运动分析、能控性、能观性、稳定性理论、线性反馈系统的状态空间综合方法、线性鲁棒性控制基本理论、线性系统的基本代数理论，以及多变量频域设计方法等。
主要参考书：（1）《线性系统理论》阙志宏主编，西安西北工业大学出版社，1995；（2）《现代控制理论引论》周凤歧等，北京国防工业大学出版社，1988；（3）《线性理论》郑大中编著，北京清华大学出版社；（4）《线性系统理论与设计》[美]陈启宗，科学出版社，1988。
序号：课程编号：02M900课程名称：专业英语任课教师：周军英文译名：Professional English先修要求：专业方面的课程内容简介：本课程作为一种基本的专业英语技能，在阅读和学习与本专业的相关的国外文献资料时，发挥着重要的作用。
因此，主要学习和掌握专业外语的基本语法、句法和结构，通过这门课的学习，期望学生能掌握专业英语的特点；扩大专业英语词汇量，尤其关于本专业有关导弹、航天器、无人机等专业知识方面的英语词汇量；提高专业英语（或科技英语）文章的阅读速度；并进行相应专业英语文献的翻译，在此基础上掌握专业英语的写法，为今后从事工程技术和科学研究工作打下稳固的基础。
第七章第三讲线性系统的稳定性（续）⎡例：考虑系统100111x x u ⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−⎦⎦[]11y x⎣⎣=讨论其BIBS 、BIBO 及BIBS 、BIBO 全稳定。
解系统是不可控但可观测的可控模态是解：系统是不可控但可观测的，可控模态是−1。
根据定理7-6，系统BIBS 稳定，但非BIBS 全稳定。
又系统可控、可观的模态是−1，故系统BIBO 稳定。
但不可控、可观的模态是1，故系统也非稳定但不可控可观的模态是故系统非BIBO 全稳定。
三、总体稳定( T 稳定)定义若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下, 均有x(t) 、y(t)有界, 则称系统(A-1)总体稳定。
)(A1)总体稳定总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。
全稳定()（定）可观则有四、稳定性之间的关系命题(6-1)：（定理7-8）若（Ａ，Ｃ）可观，则有BIBO 稳定⇔BIBS 稳定证明：“⇐”显然。
下面证“⇒”：假定系统已具可控性分解形式：⎧12114111,00()[]y s u −⎡⎤⎡⎤==⎪⎢⎥⎢⎥⇒=−⎣⎦⎣⎦⎨A A B A B A C I A B []()12s ⎪=⎩G C C C 则是可控可观测的(A ,C )可观意味子系统(A 1, B 1, C 1)是可控可观测的。
BIBO ⇔A 1的所有特征值均具负实部。
另外，(A 1, B 1)可控BIBS 稳定可控、A 1的所有特征值均具负实部⇔BIBS 稳定。
证完。
命题(6-2)：（定理7-9）若（Ａ, B）可控，则有BIBS 稳定⇔Reλi(A)<0, ∀λi明只需要稳定i()即可证明：只需要证BIBS ⇒Re λA)<0即可。
事实上，系统BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应事实上系统S的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。
因为（Ａ, B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可）可控故控模态，此时系统BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部从而所有的模式均收敛均具负实部，从而，所有的模式均收敛。
证完。
命题(6-3)（定理7-10）若（Ａ,B ,Ｃ）可观、可控，R )0则有BIBO 稳定⇔Re λi (A )<0证明：⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→←(A,C)(A,B)可观可控Re ()0i λ<←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯6-16-2BIBO BIBS A 命题命题稳定稳定命题(6-4)（定理7-11）BIBS BIBS BIBS 全稳定⇔BIBS 稳定, 且A Lyapunov 稳定命题(6-5)（定理7-12）若（Ａ, Ｃ）可观，则有BIBO BIBO 稳定A BIBO 全稳定⇔BIBO 稳定、A Lyapunov 稳定证明充分性显然必要性因可观测则证明：充分性显然。
必要性：因(A , C )可观测，则所有的模式均可出现在(0)A C te x 中由于的任意性要求稳定中。
由于x 0的任意性，要求A Lyapunov 稳定。
证完推论：若（A , C ）可观，则BIBO 全稳定与BIBS 全稳定等价。
证明：由命题(6-5)，BIBO 全稳定等价于BIBO 稳定、A 6-1A 是Lyapunov 稳定；而命题（61）表明系统还是BIBS 稳定的。
故由命题(6-4)知结论真。
证完BIBS 全稳定稳定BIBO 全稳定BIBS 稳定(6-4)+A 稳定BIBS 全稳定可观(6-1)(6-5)可观(6-1,5，推论)BIBO 稳定+A 稳定BIBO 全稳定可观(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有(6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有若（Ａ、Ｃ）可观，则有BIBO 稳定BIBS 稳定BIBO 全稳定BIBO 稳定,A 李氏稳定BIBO 全稳定BIBS 全稳定定理7-13若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价11.BIBO稳定;2.BIBS稳定;3.A渐近稳定;.的所有特征值具负实部;4.A ;5.传递函阵极点具负实部;6.总体稳定注：定理中的5 用到了第三章中的定理3-8：(A,B,C)可控、可观测的充分必要条件是G s的极点多项式与()A的特征多项式相等。
7-13(6-3)若（Ａ、B 、Ｃ）可观、可控，则R 定理传函阵极点A 可观可控有BIBO 稳定Re λi (A)<0负实部特征值负实部6-16-2A 渐近稳定BIBS 稳定BIBO 稳定可观可控总体稳定传函阵极点A 可观可控负实部特征值负实部A 渐近稳定BIBS 稳定BIBO 稳定可观可控总体稳定A 稳定时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性近行研究，再根据定理作判断。
因为系统的可控性、可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，直接计算：BIBS稳定：(s I−A)−1B (所有极点在左半面）S稳定BIBS全稳定：(s I A)(不发散) BIBS稳定−−1 )+BIBO稳定：C(s I−A)−1B (所有极点在左半面）BIBO全稳定：C(s I−A)−1 (不发散) + BIBO稳定由计算的结果判别。
例3系统状态方程和输出方程如下000⎡⎤⎡⎤b 001001⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−− x x u a a 12⎣⎦⎣⎦1y b x=−[]其中a 1、a 2和b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时，a 1、a 2和b 的取值范围李普诺夫意义稳定1.李亚普诺夫意义下稳定；22.有界输入、有界输出(BIBO )稳定。
解：特征多项式为221()0s s a s a ++=1 李氏稳定：1)特征值个为两个有负实部10a >20a >特征值一个为0，两个有负实部；2),0a =0a >)特征值两个为0，一个有负实部。
经验算，零特征值几何重数与代数重数相同初等因子为一次12值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次；3)10a >20=a 一个零特征值，一对共轭零实部特征值。
4) a 1=0, a 2=0，系统不稳定。
例4：考虑动态方程：001−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−= a []55155,000001+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦x x u y b x讨论当常数a 、b 为何值时有11.关于零解李氏稳定；2.系统BIBS 稳定；3.系统BIBO 稳定。
系统可控性矩阵是21525a a ⎡⎤−解系统可控性矩阵是：255100b b b a ⎢⎥⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎢⎥−⎣⎦A A 使系统不可控的a =0, 5/2。
例5 系统动态方程为1000100a u σσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=+⎢x x =00100001λλ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]010y b x试分别给出系统满足各种稳定性时，参数a 、b 、σ、应满足的充分必要条件λ应满足的充分必要条件。
解可知det()0−=±由有解和二重的可知：s j σλI A 1.x =0李雅普诺夫意义下稳定:00σλ≤<渐近稳定2.x =0渐近稳定：00σλ<<3BIBS 稳定：2200,a b λ=<时其可控部分是由()决定的，只需即可；A σ为；任意实数000±≠<<时，由于有特征值，须。
必a j σλσ4BIBS 全稳定：BIBS 全稳定等价于所有可控的模式收敛所有不可控的模式不发散收敛、所有不可控的模式不发散。
时系统可控对特征值000≠<<±时，系统可控，对特征值必须。
，j a λσσ22,000a b j σλσ±=<≤；时其可控部分是由()决定的，需要其不可控部分的根均为单根：，需要就可以了。
A5BIBO 稳定：根据定理7-7:BIBO 稳定等价于所有可控可观的模式收敛可控可观的模式收敛。
时00,b a λσσλ==⎧一：时，对应若当块不可观，对应若当块不可控，为任意实数00a σσλ⎨≠<⎩，对应若当块可控，，为任意实数0b λ≠二：时，对应若当块可观00a σσλ=<⎧，对应若当块不可控，为任意，对应若当块可控000a σσλ⎨≠<<⎩，对应若当块可控，，6BIBO 全稳定：BIBO 全稳定等价于所有可控可观的模式收敛所有可观不可控模式不发散的模式收敛、所有可观不可控模式不发散：=≤⎧00,000,a b a σλσλ=⎨≠<⎩，可为任意实数第一种情形：，可为任意实数00000a b σλσ=≤<⎧≠⎨第二种情形：00a λ≠<<⎩Lyapunov第二方法29非线性系统和时变系统Lyapunov方法Lyapunov第一方法Lyapunov第二方法Lyapunov第二方法为了分析稳定性, Lyapunov y p 提出了两种方法: 第一方法 用微分方程的显式解来对稳定性进 行分析 是一个间接的方法 行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓Lyapunov函数（标量函数）来直接判断运 动的稳定性，因此又称为直接法。
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： = −5x x首先构造 个函数： 首先构造一个函数：v (x ) = x 2显然，v (x ) > 0, ∀x ≠ 0, 且v (x ) = 0 ⇔ x = 0。
现考虑v 沿上述微分方程的解对时间t的导数，有 = 2xx = −10x 2 < 0, v 0 ∀x ≠ 0这意味着v (x )，从而x 必将渐近收敛到零。
我们 得出了这个结论但却并未求解微分方程。
例：考虑阻尼线性振动系统：1 = x2 ⎧x ⎨ 2 = − x1 − x2 ⎩xx2x1试研究其平衡状态x1 = 0, x2 = 0的稳定性。
类似于前例，取一个函数，通常称为v函数： 2 2 v (x1 , x 2 ) = 3x1 + 2x1x 2 + 2x 2易于验证，这是一个常正函数。
而方程2 3 x12 + 2 x1 x2 + 2 x2 = C , 当0 < C < ∞时表示一个椭圆族。
时表示 个椭圆族求出 v 沿微分方程解的导数：= v ∂v ∂v 2 2 1 + 2 = (6x1 + 2x 2 )x 2 + (2x1 + 4x 2 )(−x1 − x 2 ) = −2(x1 x x + x2 ) ∂x1 ∂x 2当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总 有dv/dt<0，这说明v总是沿着微 分方程的运动而减小的。
也就是 说，运动轨线从v=C的椭圆的外 面穿过椭圆走向其内部。
因此， 系统关于零解必是渐近稳定的。
x2x1以上例子说明，籍助于一个特殊的 以上例子说明 籍助于一个特殊的v函数，不求 函数 不求 解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判断零 解的稳定性。
