41.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.2 用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解江苏省南菁高级中学 花敏教学目标：1、知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

2、能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；培养学生利用信息技术和计算工具的能力。

3、情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。

教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定。

教学过程：一、【游戏引入】同学们，现在是幸运52现场直播，下面进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”。

【讨论】1、任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？2、为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中。

）上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。

这种思想就是二分法。

设计意图：通过做游戏，来提高学生的学习兴趣，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。

【感受领悟】在刚才的游戏中，我们体会到了二分法的用处，你还能列举一些二分法在实际生活中的应用吗？如：翻字典查英语单词(类似二分法)；输电线路的故障检测（如：一条电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？）设计意图：通过列举实例，让学生进一步领悟二分法的思想，并感受到数学与生活的密切联系。

二、【揭示课题】我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。

如：类似3lg =+x x 的方程，我们现在不会解。

用二分法求方程的近似解(2)求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程的解。

但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。

说求方程的近似解倒不如说是逼近解。

本课重点是学习一种思维。

1、课题用二分法求方程的近似解2、教学目标2.1 知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

2.2能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；让学生能够初步了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

2.3情感、态度与价值观正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。

3、教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。

4、教学难点对二分法的理论支撑的理解。

5、教学方法实例导入→推出课题→实践探究→总结提炼→学生感悟（总结、反思）6、教具多媒体课件7、教学过程…………………………………………………………………………………………………一、创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片段）支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。

观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。

下一件……师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。

生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。

如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。

第三十一课时用二分法求方程的近似解【学习导航】知识网络 学习要求1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2．能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．自学评价1．二分法对于在区间上连续不断，且满足()f a ⋅)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[,]a b ，验证()f a ⋅)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．【精典范例】例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示)听课随笔因为(2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x=-方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个的图象可以发现，解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等． 例3：利用计算器，求方程24xx +=的近似解（精确到0.1）． 【解】方程24xx += 可以化为24xx =-． 分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24xx +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ） A ．(3,4) B ．(2,3) C ．(1,2) D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ） A ．（1-，0） B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+ 答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈【选修延伸】听课随笔一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q rm m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01mpf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解．分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1mm +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1m m +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q rpm m m m=++++2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p mm m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01mpf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01mf m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+,所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1m m +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二听课随笔次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B ) A ．1[,)8-+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________． 4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由． 答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =； （2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。

§2.5函数与方程课 题：§2.5.2用二分法求方程的近似解教学目标：1.引导学生探究发现求一元方程近似解的常用方法——二分法;2.鼓励学生运用二分法解决有关问题;3.培养学生探究问题的能力,能够初步理解算法思想.重点难点：重点——运用二分法解决有关问题;难点——理解二分法的解题思想.教学教程：一、问题情境问题1: 从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查几个接点？二、学生活动思考,讨论,分小组提出解决方案,在课堂上相互交流.如果有用到二分法思想的解决方案,就由此引入课题;如果没有类似方案,老师可以适当引导,引入课题.三、建构数学问题2: 1.能否求解以下几个方程⑴x 2－2x －1＝0⑵2x ＝4－x⑶x 3+3x －1＝02.不解方程,能否解出它们的近似解？解:用配方法可以求得方程x 2－2x －1＝0的解,但无法求解另外两个方程.在生产实践中,很多情况下,只需要求出近似解,本课就来学习求解方程近似解的一种方法——二分法.例1不解方程,如何求方程x 2－2x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)? 分析:画出y ＝x 2－2x －1的图象,如图由图象可得：方程x 2－2x －1＝0一个根x 1在区间(2,3)内,另一个根x 2在区间(－1,0)内 由此可知：借助函数f(x)＝ x 2－2x －1的图象,我们发现f(2)＝－1<0,f(3)＝2>0,这表明此函图象在区间(2,3)上穿过x 轴一次,可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.思考:如何进一步有效缩小根所在的区间?取区间(2,3)的中点2.5,计算f(2.5)＝0.25>0又∵f(2)＝－1<0 ∴方程根在区间(2,2.5)内这样不断地缩小根所在区间,由电脑演示出所求近似解x ＝2.4 引导学生口述解题过程.解:设f (x)＝x 2－2x －1,设x 1为其正的零点f(2)<0, f(3)>0 ＝> x1∈(2,3)f(2)<0,f(2.5)＝0.25>0 ＝> x1∈(2,2.5)f(2.25)<0, f(2.5)>0 ＝> x1∈(2.25,2.5)f(2.375)<0, f(2.5)>0 ＝> x1∈(2.375,2.5)f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ＝> x1∈(2.375,2.4375)∵2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4对于在区间[a,b]上连续不断,且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法.注意:1.函数y＝f (x)在[a,b]上连续不断;2.y＝f (x)满足f (a)f (b)<0.二分法求解方程f(x)＝0(或g(x)＝h(x))近似解的基本步骤:1.寻找解所在的区间:⑴图象法;⑵函数状态法(利用f (m)f (n)<0,则在(m,n)内必有零点);2.不断将解所在的区间一分为二;3.根据精确度得出近似解.困难在哪里?确定第一个区间!四、数学运用1．例题例2:利用计算器,求方程2x＝4－x的近似解(精确到0.1)在同一坐标系内画函数y＝2x与y＝4－x的图象,如图: Array得方程有一个解x0∈(0,2)解：设函数f (x)＝2x+x－4则f (x)在R上是增函数∵f (0)＝－3<0, f (2)＝2>0∴f (x)在(0,2)内有惟一零点,∴方程2x+x－4＝0在(0,2)内有惟一解x0.由f (1)＝－1<0, f (2)＝2>0得:x0∈(1,2)由f (1.5)＝0.33>0, f (1)＝－1<0得:x0∈(1,1.5)由f (1.25)＝－0.37<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.25,1.5)由f (1.375)＝－0.031<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.375,1.5)由f (1.4375)＝0.146>0, f (1.375)<0得:x0∈(1.375,1.4375)∵1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.42.练习:求方程x3+3x－1＝0的一个近似解(精确到0.01).(画y＝x3+3x－1的图象比较困难,变形为x3＝1－3x,画两个函数的图象,有惟一解x0∈(0,1))五、回顾小结回顾小结:本课学习了1.二分法的解题思想,知道了二分法是一种求一元方程近似解的方法;2.了解了二分法的解题步骤,学会用二分法求某些一元方程的近似解.六、课外作业作业:P81 习题2.5 3 5⑴2.预习课本P82~84 §2.6函数模型及应用预习题:认真阅读本节的三个例题,理解其解法.江苏省淮州中学曾宁江。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。

它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。

二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。

在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。

这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。

通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。

在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。

通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。

1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。

特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。

我们需要借助数值计算方法来求得近似解。

二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。

在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。

掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。

本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。

1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。

通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。

通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。

本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。

通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

2.5.2用二分法求方程的近似解（1）教学目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．教学重点：用二分法求方程的近似解；教学难点：二分法原理的理解．教学方法：讲授法与合作交流相结合．教学过程：一、问题情境1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；（2）给出函数f (x)＝lg x＋x－3存在零点的区间；2．问题：如何求方程lg x＝3－x的近似解？二、学生活动用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．三、建构数学1．对于区间[a，b]上连续不断，且f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定f(a) f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a) f(x1)＜0，则零点x1∈(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．四、数学运用例1求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．例2借助计算器用二分法求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．练习1．确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(k∈Z)：（1）函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是．（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．（4）函数f (x)＝lg x＋x－3有零点的区间是．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．五、要点归纳与方法小结1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．六、作业课本P79－1，2，3．。