2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
【学习要求】
1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；
2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．
【学法指导】
通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.
填一填：知识要点、记下疑难点
如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？
探究点一变号零点与不变号零点
问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？
小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．
探究点二二分法的概念
问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？
例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．
问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？
问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？
跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．
探究点三 二分法的应用
例2 求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．
小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练2 求32的近似值(精确到0.1)．
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x 、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有
( )
A.[1,2]，[2,3]
2.设函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x 0＝a ＋b 2
，若f(a)·f(x 0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．
3.已知函数f(x)＝mx ＋2m －7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m 的取值范围．
课堂小结：
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．
2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．
3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．
4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.
