用二分法求方程的近似解-经典例题及答案上课讲义

例1：利用估计器，供圆程0122=--x x 的一个近似解（透彻到0.1）．之阳早格格创做【解】设2()21f x x x =--， 先绘出函数图象的简图.(如左图所示) 果为(2)10,(3)20f f =-<=>， 所以正在区间(2,3)内，圆程2210x x --=有一解，记为1x .与2与3的仄衡数2.5，果为(2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再与2与2.5的仄衡数2.25，果为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<. 如许继承下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，果为2.375与2.4375透彻到0.1的近似值皆为2.4，所以此圆程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用共样的要领，还不妨供出圆程的另一个近似解. 面评:①第一步决定整面地圆的大概区间),(b a ，可利用函数本量，也可借帮估计机或者估计器，但是尽管与端面为整数的区间，尽管收缩区间少度，常常可决定一个少度为1的区间； 整面地圆区间 区间中面函数值 区间少度]3,2[ 0)5.2(>f1 ]5.2,2[0)25.2(<f ]5.2,25.2[0)375.2(<f ]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f如许列表的劣势：估计步数透彻，区间少度小于粗度时，即为估计的末尾一步．例2：利用估计器，供圆程x x -=3lg 的近似解（透彻到0.1）．分解：分别绘函数lg y x =战3y x =-的图象，正在二个函数图象的接面处，函数值相等．果此，那个面的横坐标便是圆程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x =-的图象不妨创造，圆程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，而且那个解正在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用估计器估计得果为2.5625与2.625透彻到0.1的近似值皆为2.6，所以此圆程的近似解为1 2.6x ≈.思索:创造估计的截止约宁静正在2.58717.那本量上是供圆程近似解的另一种要领——迭代法．除了二分法、迭代法，供圆程近似解的要领另有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用估计器，供圆程24x x +=的近似解（透彻到0.1）．【解】圆程24x x +=不妨化为24x x =-．分别绘函数2x y =与4y x =-的图象，由图象不妨了解，圆程24x x +=的解正在区间(1,2)内，那么对付于区间(1,2)，利用二分法便不妨供得它的近似解为 1.4x ≈.逃踪锻炼一1. 设0x 是圆程ln 4x x =-+的解，则0x 地圆的区间为（ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)25710x x --=的正根地圆的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．估计器供得圆程25710x x --=的背根地圆的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用估计器,供下列圆程的近似解(透彻到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34x x =+问案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中真数p 、q 、r 谦脚021p q r m m m++=++，其中0m >，供证： （1）()01m pf m <+)； （2）圆程()0f x =正在(0,1)内恒有解．分解：原题的巧妙之处正在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1)内的数，且()01m pf m <+，那便开收咱们把区间(0,1)区分为(0，1m m +)战（1m m +，1）去处理． 【解】（1）22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =,(1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01m f m <+若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 正在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++ ()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =正在（1m m +,1）内有解． ②当0p <时共理可证．面评：（1）题目面明是“二次函数”，那便表示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”二个字去掉，所证论断相映变动．（2）对付字母p 、r 分类时先对付哪个分类是有一定道究的，原题的道明中，先对付p 分类，而后对付r 分类隐然是比较佳． 逃踪锻炼二1．若圆程2210ax x --=正在(0,1)内恰有一则真数a 的与值范畴是(B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞D ．1[,1)8- 22210x x k -+-=的二个根分别正在区间(0,1)战(1,2)内，则k 的与值范畴是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，正在[2,1]-上存留0x ，使0()0f x =，则真数m 的与值范畴是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试供函数()y f x =的整面；⑵是可存留自然数n ，使()1000f n =？若存留，供出n ，若没有存留，请道明缘由．问案：（1）函数()y f x =的整面为0x =；（2）估计得(9)738f =，(10)1010f =， 由函数的单调性，可知没有存留自然数n ，使()1000f n =创造．。

第二讲用二分法求方程的近似解一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( ) A ．1.25 B ．1.375 C ．1.42D ．1.5【解析】 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B . 【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【解析】∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】C2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：【解析】f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.【解析】∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.【答案】a2＝4b4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度]3,2[ 0)5.2(>f 1]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与点的横坐标就是方3y x =-的图象可以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．【解】方程24x x +=可以化为24xx =-．分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈ 一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q r m m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01m pf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1m m +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q r pm m m m=++++ 2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++． ①当0p >时，由（1）知()01m f m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1m m +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =；（2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。

1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为 （ ）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。

用二分法求方程的近似解山西省教育科学研究院薛红霞问题1：昨天研究了方程的根与函数的零点的关系，请大家回忆相关内容，并指出学习了这些内容如何解决下面的问题？判断方程㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?例1：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．函数f(x)有几个零点?指出零点所在的区间．问题2：已知方程㏑x+2x=6有1个实根，并且位于区间（2，3）内，如何缩小根所在的区间，并求出这个根的近似值呢？请你想想办法.请你用二分法计算三次，完成求近似值的任务，并用一个容易使大家看懂的形式把求解过程记录下来.规定：对于给定的精确度ε，如ε=0.01，当区间[a,b]的长度小于ε，即| b -a|<0.01时，可以停止计算，并且该区间中任意一个值都是函数零点的满足精度的近似值.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度0.01）.左端点函数值中点函数值右端点函数值区间长度a f(a) (a+b)/2 f((a+b)/2)b f(b) b-a2 -1.30685 2.5 -0.083713 1.098612 12.5 -0.08371 2.75 0.511601 3 1.098612 0.52.5 -0.08371 2.625 0.215081 2.75 0.511601 0.252.5 -0.08371 2.5625 0.065983 2.625 0.215081 0.1252.5 -0.08371 2.53125 -0.00879 2.5625 0.065983 0.0625 2.53125 -0.00879 2.546875 0.028617 2.5625 0.065983 0.03125 2.53125 -0.00879 2.539063 0.00992 2.546875 0.028617 0.015625 2.53125 -0.00879 2.535157 0.000568 2.539063 0.009921 0.007813注意：精确度和精确到的区别.问题 3 一般地，上述求解过程具有普适性，请你概括出应用二分法求方程近似解的一般步骤是什么？例2P90例2.用二分法求方程2 x +3x=7在区间的近似解（精确度0.1）.令f(x)=2 x +3x-7左端点函数值中点函数值右端点函数值区间长度a f(a) (a+b)/2 f((a+b)/2)b f(b) b-a1 -2 1.5 0.328427 23 11 -2 1.25 -0.87159 1.5 0.328427 0.51.25 -0.87159 1.375 -0.28132 1.5 0.328427 0.251.375 -0.28132 1.4375 0.021011 1.5 0.328427 0.1251.375 -0.28132 1.40625 -0.13078 1.4375 0.021011 0.0625练习P92习题3.1A组1题问题 4 通过这两节课的学习，你有什么收获？请从知识、技能、数学思想方法、解决问题的经验等方面谈谈你的感想．作业：P92习题3.1A组3题，B组1，2题。

第18讲用二分法求方程的近似解1. 了解二分法的原理及其适用条件；2. 掌握二分法的实施步骤；3. 体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想.1二分法的概念对于在区间[a ,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.解释求f(x)=x2−x−2，g(x)=2x−1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数f(x)=x3+ x2−1或g(x)=e x+x−2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.2用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a ,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a ,b)的中点c;(3)计算f(c)，(i) 若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii) 若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a ,c))(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c ,b))(4)判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复(2)~(4)Eg：求f(x)=x3+x2−1(x>0)的零点x0近似值(精确到0.1).解析易得f(x)=x3+x2−3在(0,+∞)上递增，则它至多只有一个零点，而f(0)=−3<0，f(2)=9>0，即f(x)=x3+x2−3在(0,2)存在唯一的零点x0；取区间(0,2)的中点1，而f(1)=−1<0，故零点x0在区间(1,2)上；>0，故零点x0在区间(1,1.5)上.取区间(1,2)的中点1.5，而f(1.5)=698而1.5已经达到了精确度0.1，故x0≈1.5.若精确度要求是0.01，则继续取区间(1,1.5)的中点1.25往下计算.解释(1)使用二分法的前提是函数在所选定的区间[a ,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0；(2)所选的区间[a ,b]的范围尽量小，且f(a),f(b)比较容易求;(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【题型一】判断二分法的适用条件【典题1】下列函数中，不能用二分法求零点的是()A．f(x)=2x B．f(x)=x2+2√2x+2−3D．f(x)=ln x+3C．f(x)=x+1x变式练习1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是()A．B．C．D．2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为()A．log2x+x=0B．e x+x=0C．x2−2x+1=0D．√x+lnx=0【题型二】二分法的求解步骤【典题1】若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)≈−0.984f(1.375)≈−0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈−0.054那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )A．1.25B．1.39C．1.41D．1.5变式练习=0近似解时，所取的第一个区间可以是()1. (2023·广东梅州·二模)用二分法求方程log4x−12xA．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)2.设f(x)=2x+x−8，用二分法求方程2x+x−8=0在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为()A．[1,2]或[2,3]都可以B．[2,3]C．[1,2]D．不能确定3.若函数y=f(x)的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：f(1)=−2，f(1.25)=−0.984，f(1.375)=−0.260，f(1.40625)=−0.054，f(1.4375)=0.162，f(1.6)=0.625，那么方程f(x)= 0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.54.已知函数f(x)在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分()A．8次B．9次C．10次D．11次5. (多选)某同学利用二分法求函数f(x)=lnx+2x−6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：f(2)≈−1.307f(2.5)≈−0.084f(2.5625)≈0.066f(2.625)≈0.215f(2.75)≈0.512f(3)≈1.099则函数f(x)=lnx+2x−6的零点的近似值(精确度0.1)可取为()A．2.49B．2.52C．2.55D．2.586.(多选)教材中用二分法求方程2x+3x−7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x−7来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5f(x)−0.87−0.26ℎ−0.050.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：()A．ℎ>0B．方程2x+3x−7=0有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【题型三】用二分法求函数零点近似值【典题1】用二分法求方程2−x=x+2在区间[−1,0]上的根的近似值(误差不超过0.01)．变式练习1.设函数g(x)=−6x3−13x2−12x−3．则g(x)在区间(−1,0)内零点的近似解为．(精确到0.1)2.判断方程x3−x−1=0在区间[1,1.5]内是否有解；如果有，求出一个近似解．(精确度为0.1)3.求曲线y=lnx和直线x+y=2的交点的横坐标(误差不超过0.01)．【题型四】二分法的思想应用【典题1】现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？变式练习1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？2.如图，有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确到0.1cm)？请利用二分法思想，设计解决该问题的思路和过程.【A组---基础题】1.下列方程中不能用二分法求近似解的为()A．ln x+x=0B．e x−3x=0C．x3−3x+1=0D．4x2−4√5x+5=02.用二分法求方程lg x=3−x的近似解，可以取的一个区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3.若函数f(x)=log3x+x−3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：f(2)=−0.3691f(2.5)=0.3340f(2.25)=−0.0119f(2.375)=0.1624f(2.3125)=0.0756f(2.28125)=0.0319那么方程log3x+x−3=0的一个近似根(精确度0.1)为()A．2.1B．2.2C．2.3D．2.44.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为[−2,4]，则第二次所取区间可能是()A．[−2,−1]B．[−2,1]C．[2,4]D．[1,4]5.已知方程lgx+x−2=0的根在区间(1,3)上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为．6.在用二分法求方程x2=3的正实数跟的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1,7,1,8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．7.用二分法求方程2x3+3x−3=0的一个正实数近似解(精确度0.05)8.某企业现有资产4.2亿，计划平均每年增长8%，问要使资产达到10亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数，可使用计算机)x3−x2+19.已知函数f(x)=13(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．【B组---提高题】1.若函数f(x)的零点与g(x)=512x3−125的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是()A．f(x)=4x−1B．f(x)=|2x−1|C．f(x)=x3+x−2D．f(x)=(3x+1)23的近似值(精确度为0.1，参考数据：1.3753≈2.5996，1.43753≈2.9705)．2.求√3。

§3.1.2 用二分法求方程的近似解--纲要六、教学过程设计（一）创设情境，提出问题1、猜数游戏2、竞猜中，“大了”、“小了”的含义、作用是什么？3、如何才能更快的猜中？你的思路是什么？4、采用这种方法，几次以内一定可以猜中？为什么？----精确度再次游戏指出游戏思想就是二分法。

（二）感受领悟列举一些二分法在实际生活中的应用吗？（三）引出课题：数学中也很有用，体验一下在数学中的应用----用二分法求方程的近似解。

（四）师生探究,构建新知例1、①判断方程x 3+3x -1=0在区间（0，1）内是否有解？若有，有几解？（----估算，或作图） ②这个实数解的近似值是多少？你是怎样得出的？让学生展示自己的解决策略----计算器。

借助几何画板来显示范围逐步缩小的过程。

（形的逼近，零点区间的判断--数）【讨论】● 若要求精确度达到0.1，最多算几次就可以了？此时方程的近似解为多少？---说明在区间中取值● 若精确度到0.01呢？● 对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？例2、利用计算器，求方程3lg =+x x 的近似解（精确度0.1）----初始区间未给定， 提示：设函数，估算找区间（1，3），作图看区间（2，3）。

黑板书，以(1,3)为初始区间列表，示范一次。

学生同桌合作（计算+记录），代表上台演示，完成后几步。

------(2.5625,2.625),x ≈2.5625【总结提炼】二分法步骤的图表表示．--------学生列出，或将框架给学生填充【思考】：● 问题1：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？不是，有时精确解恰好在区间中点上。

● 问题2：是否所有存在零点的函数都可以用二分法来求零点近似值？不是.（五）巩固练习，检验成果（六）课堂小结，回顾反思：---什么收获？体会？疑问？ 学生归纳，互相补充，老师总结：（七）课外作业§3.1.2 用二分法求方程的近似解 讲义● 例1、①判断方程x 3+3x -1=0在区间（0，1）内是否有解？若有，有几解？②这个实数解大概是多少？你是怎样得出的？● 例2、利用计算器，求方程3lg =+x x 的近似解（精确到0.1） 设f(x)=初始区间为：f(中点) 新区间 新区间长度 第一次F(2)<0 (2,3) 1 第二次F(2.5)<0 (2.5,3) .5 第三次F(2.75)>0 (2.5,2.75) .25 第四次F(2.625)>0 (2.5,2.625) .125 第五次F(2.5625)<0 (2.5625,2.625) 1/16● 填下表，归纳出用二分法求函数零点近似值的步骤：。

1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为 （ ）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。

拓展延伸应用点一二分法的步骤【例1】用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，以上横线上应填的内容为()．A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125) 思路分析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．答案：A某同学在求方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lg x＋x－2，发现f(1)＜0，f(2)＞0，他用“二分法”又取了四个值，通过计算得到方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的四个值中的第二个值为__________．应用点二方程根的分布问题【例2】(1)指出方程x5－x－1＝0的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的一个根在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．思路分析：可先画出方程对应函数的图象或通过多次验证区间端点处的函数值符号，或两者结合，寻找到方程的根所在的区间．图3.1.2-3解：(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图3.1.2-3所示，显然它们只有1个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1＜0，F(2)＝29＞0，∴方程x5－x－1＝0的根在区间(1,2)内．(2)令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一个根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在区间(0,1)和(1,2)内．若方程2ax2－x－1＝0，在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()．A．a＜－1 B．a＞1 C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1应用点三用二分法求函数的零点【例3】用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度0.01)思路分析：要求函数的一个正零点，首先需要确定正零点所在的大致区间，然后利用计算器，借助二分法求出零点近似解．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5＜0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．求函数y ＝x 3－x －1在(1,1.5)内的零点．(精确度0.1) 应用点四 用二分法求方程的近似解【例4】证明方程6－3x ＝2x 在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)思路分析：先构造函数f (x )＝2x ＋3x －6，检验f (1)·f (2)＜0是否成立，再根据函数的单调性，确定零点唯一性，最后用二分法求解．解：设函数f (x )＝2x ＋3x －6. ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0，又∵f (x )是增函数，∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间(1,2)内有唯一的零点， 则方程6－3x ＝2x 在区间(1,2)上有唯一一个实数解． 设该解为x 0，则x 0∈(1,2)，取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33＞0， f (1)·f (1.5)＜0，∴x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f (1.25)＝0.128＞0，f (1)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f (1.125)＝－0.44＜0，f (1.125)·f (1.25)＜0. ∴x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f (1.187 5)＝－0.16＜0，f (1.187 5)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，∴可取x 0＝1.25，则方程的一个实数解可取x 0＝1.25.求方程x 5－x 3－3x 2＋3＝0的无理根．(精确度0.01)迁移1.1.75 解析：由f (1)＜0，f (2)＞0知根在(1,2)上，按二分法的步骤，再计算f (1＋22)＝f (1.5)＜0，即有解区间为(1.5,2)， 所以再计算f (1.5＋22)＝f (1.75)．所以所取的第二个值为1.75.迁移 2.B 解析：令f (x )＝2ax 2－x －1，则由题意，知在(0,1)内函数只有一个零点，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1，故选B.迁移3.解：用二分法逐次计算，列表如下：由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数的一个近似零点为x＝1.312 5.迁移4.解：令f(x)＝x5－x3－3x2＋3.f(x)＝(x2－1)(x3－3)＝(x＋1)(x－1)(x3－3)．显然－1,1是方程f(x)＝0的两个有理根．∴f(x)＝0的无理根是x3－3＝0的根．只需令g(x)＝x3－3，求出g(x)的零点即可．∵g(0)＝－3，g(1)＝－2，g(2)＝5，∴无理根在(1,2)内．用二分法求函数g(x)＝x3－3的零点，列表如下：由于|1.443 9－1.437 5|＝0.006 4＜0.01，所以1.443 9就是函数g(x)的一个零点的近似值，故原方程的无理根是1.443 9.。