高一数学《用二分法求方程的近似解》教案

《4.5.2用二分法求方程的近似解》教学设计教材内容：函数的零点与方程的解、零点的存在性定理、用二分法求方程的近似解是一个完整的利用函数方法研究和解决问题的过程。

通过本节课的学习不仅可以使学生掌握函数这一工具的具体用法，同时也揭示了解决问题的一般性过程。

这对于提高学生分析问题、解决问题的能力有着极为重要的作用。

教学目标：1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教学重点与难点：1、教学重点：利用二分法求方程的近似解；2、教学难点：利用二分法求方程的近似解。

教学过程设计：1.二分法的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半.问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？【预设的答案】取中间、减半等。

问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？【预设的答案】 6【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。

1.2探究典例，形成概念活动：能否求出方程ln x＋2x－6=0的近似解？【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。

引导学生进一步观察，研探。

【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案一、教学目标1.知识与技能：理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

2.过程与方法：通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想；通过学生的自主探究，借助计算器用二分法求方程的近似解，体现逼近思想，为学习算法做准备；体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一二、教学策略选择与设计先行组织者策略：通过商品价格竞猜体会二分法的思想与方法。

启发式方法：通过分步提问，启发得出用二分法求方程近似解的步骤，体会逼近思想和算法思想，分散难点。

讨论式：学生自主探究用二分法求方程的近似解；通过讨论交流总结用二分法求方程近似解的步骤。

三、教学资源与工具设计（1）教师自制的多媒体课件和手机一款（2）上课环境是多媒体教室环境（3）学生手中的高中数学必修1教材和计算器四、教学过程一．复习旧知，创设情景，引入新课师：大家上节课学习了方程的根与零点对吧，相信大家都掌握了，老师来考考大家啊。

（多媒体）函数f(x)＝ln x＋2x－6＝0在区间(2，3)内有零点？怎么找到这个零点？有几种方法？（看30秒左右）师：（引导学生一起回答）有两种对吧，一，代数法，令f（x）=0，求x。

二，数形结合，f(x)＝ln x＋2x－6有零点，等价于f(x)＝0有实根，等价于y=lnx与y=6-2x有交点，画图解答。

师：（手拿一款手机）中央电视台第二频道幸运52大家有看吧！我来当一回李永，价格在1500到2500，你们来猜。

想试一下的让我看到你们高高举起的手。

结果1799元。

生1：2000师：高了生：1300师:低了。

师：对了，此处是不是该有掌声啊。

（环顾教室，示意同学坐下）师：刚刚我们先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格之间的数；着其实就是采用逐步逼近的方法。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识与能力目标通过本课的学习，使学生掌握用二分法求方程的近似解的基本方法，并能够在实际问题中运用二分法进行求解。

2. 过程与方法目标培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

3. 情感态度与价值观目标通过实际案例的讲解，引导学生对数学知识的兴趣，培养学生对数学的积极态度和认真学习的习惯。

使学生明白数学知识在实际生活中的重要性和应用价值。

二、教学重点与难点1. 教学重点① 二分法的基本概念和原理；② 如何用二分法求方程的近似解。

2. 教学难点如何将二分法的概念与实际问题相结合，从而解决实际问题。

三、教学内容本课的教学内容主要包括以下三部分：四、教学方法1. 情境教学法：通过引入实际生活中的问题，引发学生的兴趣，激发学生的学习欲望。

2. 合作学习法：根据学生的智力特点和认知规律，采用小组合作的方式，让学生们在实践中学习，相互合作，相互启发，以达到巩固知识、提高水平的目的。

3. 讨论法：通过提出引导性问题，激发学生的思考，引导学生积极参与到知识的建构过程中。

五、教学过程1. 引入通过一个实际生活中的问题引入本课的话题，例如：小明要在一块土地上建造房子，他想要求出这块土地的面积，但是这块土地的形状并不规则，无法直接进行测量，他要如何做？2. 探究教师简要介绍二分法的基本概念和原理，然后通过一个具体的实例来向学生解释二分法的具体步骤和求解原理。

3. 案例分析教师提出一个具体的实际案例，比如小明要在一块不规则的土地上建造房子，他希望求出这块土地的面积。

然后，教师与学生一起分析问题，引导学生逐步掌握用二分法求解实际问题的方法和步骤。

4. 练习教师设计一些练习题，供学生进行巩固和提高。

例如：利用二分法求解方程x^2-2=0的近似解。

通过这些练习，学生可以巩固并加深对二分法的理解和掌握。

6. 拓展应用教师提供一些相关的拓展应用题，供学生进行讨论和解答。

课题：用二分法求方程的近似解教材：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A》必修1一、教学目标：1、知识与技能目标：会用二分法求函数零点或方程根的近似解；知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的数学思想2、过程与方法目标：从猜眼镜价格的实例引入新课，激发学生的学习兴趣；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索具体函数零点近似值的求法，体会二分法的具体过程和步骤。

3、情感、态度与价值观目标：通过本节课的学习，使学生经历逐渐逼近的思维过程，体验数学发现和创造的历程，体会数学知识与现实世界的联系，感受精确与相似的相对统一。

二、教学重点与难点1、重点：体会“二分法”的基本思想2、难点：对用二分法求函数零点近似解的一般步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。

三、教学方法与手段本节课采用“问题教学”模式及“引导——探究”法，充分发挥多媒体的作用，通过创设问题情境，引导学生主动参与学习过程。

（1）、函数的零点：（2）、函数零点的求法：（3）、零点存在性定理：复习不仅是知识的回顾，更重要的是帮助学生构建清晰的知识脉络，以及为后面的学习作好铺垫。

由之前的例1，我们已经知道函数6x=xf在区间（2，3）内有零+x2(-ln)点。

如何找出这个零点？3、设置情境（请一位戴眼镜的同学上讲台，在一张纸上写出他的眼镜的价格，告知学生价格的范围，让学生猜价格。

）游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这副眼镜的价格。

思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？从实际生活提出问题体现数学源于生活，激发学生学习兴趣1、提问：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程062ln =-+x x ？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？ 问题链的设置，可以更好地引导学生利用猜价格时一分为二的思想解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。

2、借助EXCEL ，计算函数62ln )(-+=x x x f 的函数值，引导学生填写事先设置好的表格。

《用二分法求方程的近似解》教学设计【教学目标】1. 理解二分法求方程近似解的基本原理和步骤。

2. 能够运用二分法求解简单的方程。

3. 培养学生的问题分析和解决问题的能力。

【教学准备】1. 课件、教学录像等教学辅助工具。

2. 题目：使用二分法求解方程x^3 - 2x - 5 = 0的根。

【教学过程】一、导入（5分钟）1. 教师提问：“在前面的学习中，我们学过了如何使用代入法求解方程，请问还有其他方法可以求解方程吗？”2. 引导学生思考，然后教师简要介绍二分法的基本原理。

二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图等方式，讲解二分法求方程近似解的基本思想和步骤。

2. 强调二分法的基本原理是通过不断将待求解区间进行二分，直到找到近似解为止。

3. 提醒学生在运用二分法时需要确定初始的待求解区间。

三、示例演练（20分钟）1. 教师出示题目：“使用二分法求解方程x^3 - 2x - 5 = 0的根。

”2. 以班级为单位进行讨论，确定初步的待求解区间。

3. 教师引导学生运用二分法求解方程的近似解，并进行实时解答。

4. 教师解释二分法求解方程的具体步骤，并引导学生完成。

5. 教师进行总结，强调二分法在求解方程近似解中的重要性。

四、巩固练习（15分钟）1. 教师提供一组方程，要求学生运用二分法求解方程的近似解。

2. 学生独立完成练习，并在一定时间内互相讨论、交流。

3. 教师根据学生的表现和问题进行答疑和指导。

五、拓展应用（15分钟）1. 拓展应用让学生运用二分法解决实际问题，如求解方程在某个区间内的根的个数。

2. 强调根和解在二分法中的关系，并引导学生思考和讨论。

3. 学生独立完成实际问题的求解，并主动分享解题过程和思路。

六、小结（5分钟）1. 教师对本节课的学习内容进行小结，强调二分法的应用领域和实际意义。

2. 教师对学生的表现进行评价和肯定，鼓励学生在日常生活中积极运用所学知识。

【教学反思】本节课通过概念讲解、示例演练、巩固练习和拓展应用等环节，帮助学生初步了解和掌握二分法求解方程近似解的基本原理和步骤。

高一数学用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备. 情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
教学程序与环节设计:
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.
二分法的意义、算法思想及方法步骤.
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围.
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解
决简单问题.
二分法应用于实际.
1.二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2.追寻阿贝尔和伽罗瓦.
教学过程与操作设计:。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握二分法求解方程的基本方法和步骤，理解近似解的概念和计算方法。

2. 能力目标：学生能够独立运用二分法解决实际问题，提高数学问题的解决能力。

3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生对数学的热爱和好奇心。

二、教学重点和难点1. 教学重点：二分法求解方程的基本方法和步骤。

2. 教学难点：学生对于二分法的理解和运用能力。

三、教学过程1. 导入与引入为了让学生更好地理解二分法求解方程，可以通过一个简单的例子引入，比如求解方程sin(x) = 0的近似解。

引导学生思考如何用二分法来解决这个问题。

2. 理论学习1）介绍二分法的基本原理和步骤，通过图表和实际问题进行说明。

2）讲解二分法在数学问题中的应用，如求函数的零点、求解方程等。

3）举例说明二分法的具体运用，帮助学生理解二分法的实际操作过程。

3. 案例分析以一些典型的实际问题为例，让学生运用二分法进行求解。

比如通过一个实际应用问题，让学生理解并运用二分法。

如通过实例，“小明在深山中迷路，他在午夜时分按照手表上的时间发出信号弹，他需要知道现在是深夜0时还是清晨0时。

如果他发了三次信号弹，分别被回声弹在0.5分钟、2分钟、3分钟之后听到，那么他能知道现在的时间是多少吗？”4. 练习与训练1）学生按照老师指导的方式进行相应的答疑与讨论，对理论知识进行巩固。

2）组织课外实践活动，让学生通过实际操作来练习和巩固二分法的运用。

5. 总结与拓展1）总结二分法求解方程的基本方法和步骤，复习本节课的知识点。

2）让学生思考二分法在其他数学问题中的应用，指导学生拓展和深入理解。

3）布置相关作业，让学生巩固所学知识。

四、教学手段1. PowerPoint演示：用于讲解二分法的基本原理和步骤，用图表等形式进行说明。

2. 实例分析：通过一些实际问题的案例，让学生理解并运用二分法。

3. 板书：用于记录学生提出的问题和解题的关键步骤，便于学生理解。

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案教学目标：1.了解二分法的基本思想和应用范围。

2.学会运用二分法来求解方程的近似解。

3.提高学生的数学思维和解题能力。

教学重难点：教学重点：掌握基本的二分法思想和方法，能够灵活运用。

教学难点：运用二分法解决实际问题。

教学准备：用黑板、白板、投影仪等。

教学过程：Step 1：导入1.引出课题：本节课我们研究用二分法求方程的近似解。

2.激发学生兴趣：生活中我们经常遇到需要解方程的问题：比如，确定某种体重增加速度的最优剂量，需要用到方程进行求解；汽车的刹车距离与刹车时间是什么关系，也可以运用方程进行求解。

为了更好地了解和掌握这个方法，我们来看一道小题：如果x3-2x2+3x-1=0，求方程的根的近似值。

Step 2：讲解1.二分法的基本思想：二分法，又称折半法，是一种递归的算法。

运用的总体思想是将待求值的区间逐步缩小，至最终确定的范围足够满足精度要求。

2.二分法的定义：二分法是指在具有单调性的函数或数列中不断地将特定区域分成两个部分，通过比较某一特定数值与这两个部分中一定量的数值的大小关系，来确定特定数值所处的位置的方法。

3.求方程近似解的步骤：（1）将问题转化为方程问题；（2）确定函数f(x)的单调性；（3）确定f(x)的零点x0的初始区间[a,b]，并设迭代精度ε；（4）使用二分法，根据f(a)和f(b)的符号关系将区间[a,b]分成两个子区间，然后沿着f(x)的符号变化取其中一个子区间；（5）重复步骤（4），直到x1满足精度要求为止。

4.用例（1）f(x) = x3-2x2+3x-1，在[0,2]中求方程的近似解。

$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$由函数图像可见，函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增。

因此，该函数在[0,1]上有一个实根（记为xo），在[1,2]上有另一个实根（记为x1）。

取区间[a,b]=[0,2]，设精度ε=0.0001，下面进行迭代计算：$f(0)=-1<0, f(2)=1>0，因而函数在区间[0,2]内有实根$$x0=\frac {a+b} 2=1.0, f(x0)=-0.0>0$故f(x0)与0的符号相反，因而根在[a,x0]区间内，故将新区间设为[a,x0]，即[0,1.0]。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标知识与技能：学生能够掌握二分法求解方程的基本原理和步骤，能够灵活运用二分法解决简单的方程问题。

过程与方法：通过教师的讲解和示范，学生能够掌握二分法求解方程的基本步骤，并能够运用二分法解决简单的方程问题。

情感态度与价值观：培养学生的数学思维能力，激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考和解决问题的能力。

二、教学重点掌握二分法求解方程的基本原理和步骤能够运用二分法解决简单的方程问题四、教学资源多媒体课件、黑板、彩色粉笔、教学实例、教学图片五、教学内容1. 问题提出通过一个简单的例子引出二分法求解方程的思想和原理，引导学生思考问题。

2. 二分法求解方程的原理通过示意图和简单的数学推导，解释二分法求解方程的原理和思路，让学生理解二分法的基本思想。

3. 二分法求解方程的步骤（1）确定解的区间（2）取区间的中点（3）判断中点的取值（4）更新区间的端点（5）重复以上步骤，直到满足精度要求或达到预定次数4. 二分法求解方程的实例分析通过实例分析，让学生掌握二分法求解方程的具体步骤和技巧。

5. 习题训练组织学生做一些相关的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

2.示范与讲解通过多媒体课件、教学图片等形式，示范和讲解二分法求解方程的基本原理和步骤，帮助学生理解和掌握知识点。

3.实例演练教师给出一些实例让学生进行演练，引导学生灵活运用二分法解决方程问题，并及时纠正学生的错误。

4.课堂讨论鼓励学生在课堂上提出问题，并展开讨论，促进学生思维的碰撞和碰撞。

七、教学方法讲授法、示范法、讨论法、练习法九、教学评价1. 问答环节：教师随机提问学生，检查学生对二分法求解方程的理解和掌握情况。

2. 练习情况：检查学生在课后练习的情况，及时纠正学生的错误，帮助学生提高解题能力。

3. 课堂表现：评价学生在课堂上的表现，包括学生的思维活跃程度、学习态度和解题能力等。

十、教学反思通过本次教学，我会反思教学方法和手段的合理性和有效性，提出改进的建议，进一步提高教学质量和水平。

3.1.2用二分法求方程的近似解本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教A版）第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第二小节《用二分法求方程的近似解》.一、教学背景分析1.教学内容分析函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型，本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数（I）之后，研究函数与方程关系的内容，是《函数与方程》一节的重点.二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节课学生通过对具体实例的探究，借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解，经历用函数的观点看方程的思维过程，在问题的解决中突出函数的应用，深化对函数与方程联系的理解，初步形成用函数观点处理问题的意识，这是本节课的一条明线；总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，发展学生的数学抽象能力，是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线.图形计算器可以实现求方程的近似解，但是内置的程序是由人设计的，并且“二分法”的产生要远远早于计算器，因此对于此内容的学习是十分必要的：我们要“教”计算器如何求解.2.学生学情分析初中阶段，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程，并会用求根公式求一元二次方程的根；高中阶段，学生学习了基本初等函数（I），对指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质都有了比较深入的研究，同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用；另外，前一节内容的学习，不仅把函数与方程联系起来，还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。

这些都为本节课的学习奠定了基础.同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现，学生对于“精确度”的概念非常模糊，这也对我们的教学提供了参考.二、教学目标设计基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：1.知识与技能（1）通过具体实例，能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解（给定精度），体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；（2）通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来；2.过程与方法经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似值、总结二分法实施步骤的过程，体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等；3.情感态度与价值观引导学生用联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系；发展学生的理性思维.【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.三、教学策略分析为了更好地突出重点，我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题——求方程的近似解，首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例ln 260x x +-=阐释.在这个过程中借助图形计算器充分体现数形结合思想，并将数形结合思想具体化落实：1.从数到形：方程的解——函数的零点——函数图象与x 轴的交点；2.从形到数：交点的坐标——数轴上的区间——表格数据——二分法的形成.为了突破难点，在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情：“如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等，由此引出 “精确度”的概念.为了突破此难点，首先在引入中用“误差”做铺垫，同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的，在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么……”，然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述，同时利用数轴的直观来突破符号语言中“赋值”这一难点.本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解，体会二分法思想”，为了不冲淡本节课的主题，在教学中设计应用TI 图形计算器：作图功能、表格功能（计算函数值）、求解功能.图形计算器的使用，可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实，对知识的发展起到了助力作用.三、教学过程的设计与实施（一）具体实例，引出课题【问题1】2018年5月15日北大珠峰登山队成功登顶世界第一高峰珠穆朗玛峰，以此庆贺北大建校120周年.我们知道，随着海拔的升高，大气压强会降低,空气中的含氧量会降低，影响人的身体.（1）登山队员为了实时监测身处地的大气压强，从某公司购买了先进的气压表，在其产品参数中有这样一句话：经订正后测量误差不大于200Pa ，你如何理解这句话？（2）已知大气压强y （单位Pa ）与海拔x （单位m ）间的关系式为：()5.25885ln 288.150.006518.2573x y e ⨯--=.2018年5月13日登山队计划前往海拔7790米的营地，但是某队员身体不适，当压强降低为海拔的5.5倍时他就必须停止攀登，此时他能否到达该营地呢？【设计意图】从一个实际问题引入，首先让学生体会现实生活中存在大量取近似值问题，如生产零食袋上标注的净含量、22m 的正方形地面砖等,另一方面（1）中的“误差”也为要学习的“精确度”概念做铺垫.对于（2）可以从两个角度将实际问题转化为数学问题：一是求方程()5.25885ln 288.150.006518.2573 5.5x e x ⨯--=的解，与7790比较；二是将7790代入关系式求出压强，利用压强与海拔的比值进行判断.本节课我们抓住角度一，让学生产认知冲突，激发学生的求知欲望并体会求近似解的必要性，同时引入方程求解的历史，让学生感受数学文化方面的熏陶.这样我们就解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.（二）问题引领，探究方法【问题2】如何求方程ln 260x x +-=的近似解？【设计意图】由于问题1中方程较为复杂，为了计算方便研究此方程.引导学生从函数与方程联系角度将求方程的解进行转化：一种是转化为求函数()ln 26f x x x =+-零点的近似值；另一种是将方程变形为ln 62x x =-，转化为求函数ln ,62y x y x ==-交点横坐标的近似值.通过学生小组合作探究、教师追问解决如下问题：函数的零点是否存在？如果存在有几个？并找到零点的一个大致范围.二分法源于逐步搜索法，该方法基于连续函数零点存在性定理：按某规则将区间[],a b 分成若干个子区间，在每个子区间上计算端点值，一旦发现两端点的函数值异号，则可断定该子区间上至少有一个零点.本节课作为二分法的起始课，确定初始区间[],a b 是十分重要的，因为我们只需要求出一个零点即可，不需要考虑所有零点，所以课本上给出了一个单调函数的例子（至多有一个零点）.可以通过两种途径寻找零点大致范围：借助图形计算器画出函数图象；利用函数零点存在性定理判断.如果学生选择前者，那就需要用零点存在定理进行验证；如果学生选择后者，要引导学生通过图象观察函数的单调性，以此来确定零点个数。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。

它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。

二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。

在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。

这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。

通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。

在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。

通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。

1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。

特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。

我们需要借助数值计算方法来求得近似解。

二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。

在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。

掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。

本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。

1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。

通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。

通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。

本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。

通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

《用二分法求方程的近似解》教学设计教学目标(1)通过对二分法原理的学习和探究，帮助学生形成用函数的观点处理方程问题的意识； (2)通过对二分法基本原理的介绍，探索用二分法求近似解的思路和步骤，体会从特殊到一般的数学思维过程，感悟数学的极限思想.教学重点与难点(1)教学重点：理解二分法的基本原理，用二分法求方程近似解的思路与步骤； (2)教学难点：用二分法求方程近似解的算法，以及对精确度的理解.教学过程环节 教 师 教 学 与 学 生 活 动 设 计 意 图创 设 情 境 渗 透 数 学 思 想游戏环节：猜猜华为音响的价格（学生活动）游戏反思环节（师生活动）问题1：商品价格“600-800”提示有什么作用？问题2：“多了”“少了”的提示在竞猜过程中起了什么作用？问题3：条件“误差不超过10元”,如何理解？ 问题4：怎样快速猜出商品价格？结合现实生活中实例创设情境，以能激发学生兴趣的华为音箱价格竞猜入手导入，激发了学生学习的兴趣，轻松的引入本节课的学习，在热烈的气氛中，让学生不知不觉地进入数学教学的情境中.在游戏反思环节，通过问题串引导学生用二分法的思想将商品价格的范围不断缩小，从而猜测出华为音箱的价格，有效地渗透了数学逼近思想.探究新 知 从实际问题转 入 数 学问题探究新知1（老师活动）生活中有大量近似值的存在，比如食品外包装的净重量；电影《攀登者》中海拔与大气压之间的关系等等，所以我们有必要研究方程的近似解.不管是在现实生活中，还是在科学决策中，都存在着大量取近似值的问题，所以我们有必要研究方程的近似解.同时也使学生感受到数学就在身边，体会到数学的价值，激发他们学习数学的积极性，增强数学情感.探究新知2（师生活动）：问题引导，类比猜商品价格的方式求方程的近似解引入问题：对比两个方程的求解追问1：估算方程lnx +2x −6=0的解的大致范围？追问2：能不能缩小函数f (x )=lnx +2x −6零点的范围学生活动：借助计算器求方程的近似解 （画表格进行计算） 次数 2a b+()2a bf +取a 取b |a -b | 1 2.5 -0.084 2.5 3 0.5 2 2.75 0.512 2.5 2.75 0.25 3 2.625 0.215 2.5 2.625 0.125 42.56250.0662.52.5625 0.063得出：当|a -b |<0.1时，终止计算.从特殊方程出发，对比两个方程，一个方程可以快速求出解, 而另一个方程无法求出准确值，所以我们有必要研究第二个方程的近似解.类比游戏环节，要求方程的近似解，先求方程解的范围，借助函数零点与方程的解的关系，将方程的解转化为函数的零点，再利用零点存在定理，估算函数零点的初始范围.再次类比游戏环节，借助数形结合和逼近的思想，利用二分法不断地去缩小零点的范围.此时主要是学生的活动，借助手中的计算器，利用零点存在定理和二分法原理缩小零点范围.再次类比游戏环节，引入了本节课的难点精确度的概追问3：怎么结束运算？念,为了很好的理解这个概念，借助数轴让学生感受准确值与近似值差的绝对值小于零点所在范围很难实现，进而转化为准确值所在区间的长度小于精确度，从而结束运算.认识新知归纳步骤老师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤二分法及步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定零点所在区间[a,b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精度ε；2．求区间(a,b)的中点x1；3．计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)∙f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1)）；若f(b)∙f(x1)<0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1,b)）；4．判断是否达到精度ε；即若|a−b|<ε，则得到零点零点值a（或b）；否则重复上述步骤.1.通过游戏和求特殊方程近似解的探究，由老师讲解介绍二分法，学生归纳二分法解决问题的一般步骤,让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法.2.培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并会学以至用，渗透从特殊到一般的数学思想.合作共赢学生活动：合作共赢，巩固新知1.设计求近似解的合作共赢环节，再次强调使用二分法的程序性，体现了从一般到特殊的演绎推理的过程.2.通过学生的讲解，老师了解学生掌握的情况，用学生的思维给学生讲解更通俗易懂，同时也激发了学生学习的兴趣，调动了学生学习的积极性和主动性.应用新知学生活动：应用新知1.利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标；2.本环节老师提问，让学生起来回答问题，多给学生自主活动的空间.思想方法总结1.化归与转化的思想；2.函数与方程的思想；3.数形结合的思想：从数到形：方程的解，函数的零点，函数图象与x轴的交点；从形到数：交点的坐标，数轴上的区间，表格数据，二分法的形成;4.逼近的思想；通过问题的呈现式，引导学生归纳总结这堂课所学内容.。

用二分法求方程的近似解教案一、教学目标1.让学生掌握二分法求方程近似解的基本原理和方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

3.提高学生的计算精度和计算效率。

二、教学内容1.二分法的基本原理：通过不断将函数值在区间中点处进行比较，从而缩小区间范围，逼近方程的解。

2.二分法的步骤：确定初始区间、计算中点函数值、判断解所在区间、重复执行以上步骤直至达到精度要求。

3.二分法的应用：求方程的近似解、求解不等式等。

三、教学步骤1.引入课题：介绍二分法的基本原理和应用背景，激发学生的学习兴趣。

2.讲解知识点：详细解释二分法的基本原理和步骤，并辅以例题进行说明。

3.练习与互动：让学生自行尝试使用二分法求解方程，教师给予指导和帮助。

同时，鼓励学生提出问题和意见，进行课堂互动。

4.归纳与总结：对本节课的知识点进行总结和归纳，强调二分法的重要性和应用广泛性。

5.布置作业：布置相关练习题，让学生在家中继续巩固所学知识。

四、教学难点与重点1.教学难点：如何确定初始区间、如何判断解所在区间、如何控制计算精度。

2.教学重点：二分法的基本原理和步骤、二分法的应用实例。

五、教学方法与手段1.教学方法：采用讲解、练习和互动相结合的方式进行教学。

通过具体实例和例题来帮助学生理解和掌握二分法的应用方法。

2.教学手段：使用黑板、多媒体课件和教学软件等辅助工具进行教学，提高教学效果和效率。

六、教学评价与反馈1.教学评价：通过课堂练习和作业来检验学生的学习效果，及时给予反馈和指导。

同时，鼓励学生进行自我评价和互相评价，提高学习积极性和自主性。

2.教学反馈：根据学生的反馈意见和建议，及时调整教学策略和方法，提高教学质量和效果。

同时，加强与家长的沟通和交流，共同关注学生的学习进步和发展。

用二分法求方程的近似解教案教案：用二分法求方程的近似解一、教学目标：1.理解二分法的基本原理。

2.掌握二分法在求解方程中的应用方法。

3.能够运用二分法求解方程的近似解。

二、教学准备：1.教师准备：（1）多个方程，例如x^2 - 2 = 0，x^3 - 5x + 3 = 0等，以便学生进行求解练习。

（2）计算器或电脑，帮助学生验证最终的近似解是否正确。

2.学生准备：（1）理解二分法的基本概念。

（2）掌握求解一元方程的基本方法。

三、教学过程：步骤一：导入1.引入二分法的概念：二分法是一种在有序数列中寻找特定元素的搜索算法，它通过将问题分为两个子问题，并逐渐缩小搜索范围，最终找到目标元素或近似解。

2.提问：你对二分法有什么了解？步骤二：讲解二分法的基本原理1.展示二分法示意图，并解释其基本原理。

例如：对于一个有序数列，假设我们想找到该数列中值为x的元素，我们可以先求出数列的中间值mid，然后根据mid与x的比较结果，将搜索范围减半，再在剩余部分中执行同样的步骤，直到找到x或搜索范围足够小。

2.举例说明：假设要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为3的元素，首先计算中间值mid = 3，因为mid与目标值相等，所以找到了3这个元素。

若要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为6的元素，计算中间值mid = 3，因为mid小于6，所以在数列4, 5中继续查找，计算中间值mid = 4，最终找到值为6的元素。

步骤三：应用二分法求解方程1.提问：我们可以将二分法用于求解方程吗？2.解释：是的，我们可以将要求解的方程转化为一个函数的零点问题。

例如：对于方程f(x) = x^3 - 5x + 3 = 0，我们可以尝试寻找函数的零点，即找到f(x) = 0的解。

3.讲解求解步骤：（1）根据给定方程确定搜索区间[a, b]，确保f(a)和f(b)异号，否则不能保证方程在[a, b]范围内有解。

（2）计算中间值mid = (a + b) / 2，并计算f(mid)。

3.1.2用二分法求方程的近似解[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.知识点一二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()答案 B解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.题型二用二分法求方程的近似解例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.解析由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.忽视给定区间造成失误例3函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是()A.0B.1C.2D.3错解由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.正解前同错解得x1＝－3，x2＝1.因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.忽视二次项系数为零致误例4 已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1，若f (x )的图象与x 轴只有一个交点，求m 值. 错解 ∵f (x )的图象与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.∴当m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.正解 当m －1＝0，即m ＝1时，f (x )＝－4x ＋1， 满足函数图象与x 轴只有一个交点.当m －1≠0，即m ≠1时，函数图象与x 轴只有一个交点等价于方程2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.所以当m ＝1或m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.跟踪训练3 已知方程mx 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 设f (x )＝mx 2－x －1，因为方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解， 当m ≠0时，由f (0)f (1)<0，即－(m －1－1)<0，解得m >2.1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )答案 B2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案 B3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2,1]B.[－1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 A解析∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案 A解析由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.答案(2,2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5).1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、选择题1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案 C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.2.用二分法求函数零点的近似值适合于()A.变号零点B.不变号零点C.都适合D.都不适合答案 A3.下列关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成D.只有求函数零点时才用二分法答案 B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案 C解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0， ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.5.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，则β属于( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点.f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0. ∴β∈(2,3).6.函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 答案 C解析 ∵f (1.437 5)＝0.162，f (1.406 25)＝－0.054， ∴f (1.437 5)·f (1.406 25)＜0，即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内. 又∵方程的解精确到0.1， ∴可取方程近似解为1.4. 二、填空题7.在用二分法求方程f (x )＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 答案 0.75解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.8.用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2解析 令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.9.用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01. 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1， ∴12n <0.01，即2n >100. 注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度能达到0.01.10.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________. 答案 (0,0.5)，f (0.25)解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由f (0)＜0，f (0.5)＞0，知x 0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0更准确的位置. 三、解答题11.用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝278－32－1＝78>0，f (1.25)＝12564－54－1<2－54－1＝－14<0，故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1； f (1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内， 此时0.125>0.1；又f (1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1， 故f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点是x ＝1.312 5. 12.求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1). 解 令f (x )＝ln x ＋x －3，求函数f (x )＝0在(2,3)内的零点.∵f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).解设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：由表可以看出，区间 1.4，所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.。

用二分法求方程的近似解一、内容与内容解析1.内容利用二分法求方程的近似解.2.内容解析对于区间[a,b]上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.二、目标与目标解析1.目标（1）通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.（2）通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.（3）根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志：（1）能够根据函数零点存在定理想到通过一分为二的逐渐缩小零点所在区间的办法，来求方程lnx+2x-6=0的近似解，知道二分法是求方程近似解的常用方法.（2）能够根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.（3）能够借助信息技术，用二分法求具体方程的近似解.三、教学问题诊断分析（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<ε，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.四、教学支持条件分析本节课的教学，需要利用GGB软件绘制函数图象，并进行函数值的计算.五、教学过程设计（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为ε”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于ε”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学内容分析用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。

为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。

第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。

第三层面，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。

本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时为必修3的算法学习做准备。

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。

二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、教学目标分析通过本节的学习达到以下目标：1、知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

3、情感目标：在问题的发现、探究过程中，感受成功的体验，激发学习的兴趣。

从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足，是制定教学目标的重要依据。

这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼，体现了学生的主体地位和新课程理念。

四、教学方法和教学手段建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。

元认知理论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。

高一《用二分法求方程的近似解》数学教案高一《用二分法求方程的近似解》数学教案通过本节课的学习，使学生在知识上学会用＂二分法＂求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的＂绘制新函数＂功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作。

下面和本文库一起看看有关高一《用二分法求方程的近似解》数学教案。

高一《用二分法求方程的近似解》数学教案教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教材分析本节课注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的＂二分法＂，并在总结＂用二分法求函数零点的步骤＂中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在＂阅读与思考＂中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.教学媒体分析多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学环节设计流程图教学设计理念1.构建共同基础，提供发展平台；2.提供多样解法，适应个性选择；3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式；4.注重提高学生的数学思维能力；5.发展学生的数学应用意识；6.与时俱进地认识＂双基＂；7.强调本质，注意适度形式化；8.体现数学的文化价值；9.注重信息技术与数学课程的整合；10.建立合理、科学的评价体系.教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题.生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.Authorware7.02课件展示这节课就让我们来共同学习一下 &sect;3.1.2《用二分法求方程的近似解》想一想我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且0.进一步的问题是，如何找出这个零点做一做第一步：取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得（2.5）≈-0.084.因为（2.5）▪0 THEN=*ELSE=*END IFLOOP UNTIL ABS（-） < OR =0PRINTEND打开QBASIC文件师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性. QBASIC语言应用程序1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorware7.02课件展示。