用二分法求方程的近似解

二分法求方程近似解：求方程f(x) = x^3 + x^2 - 1 = 0在[0,1]上的近似解，精确度为0.01。

算法分析：二分法求方程近似解的基本思想是将方程的有解区间平分为两个小区间，然后判断解在哪个小区间；继续把有解的区间一分为二进行判断，如此周而复始，直到求出满足精确要求的近似解。

二分法求方程近似解的算法步骤：
⑴确定区间[a,b]，验证f(a).f(b) < 0，给定精确度e
⑵求区间(a, b)的中点mid
⑶计算f(mid)
若f(mid) = 0，则mid就是函数的零点
若f(a).f(mid) < 0，则令b = mid(此时零点a < x0 < mid)
若f(mid).f(b) < 0，则令a = mid(此时零点mid < x0 < b)
⑷判断是否达到精确度e：即若|a-b| < e，则得到零点近似值a（或b）；否则重复⑵-⑷。

4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。

它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。

二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。

在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。

这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。

通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。

在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。

通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。

1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。

特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。

我们需要借助数值计算方法来求得近似解。

二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。

在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。

掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。

本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。

1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。

通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。

通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。

本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。

通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

4.5.2 用二分法求方程的近似解一、二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。

2、注意点：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。

二、用二分法求函数零点1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算2-，精确到0.01，即0.3313（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。

题型一二分法的概念理解【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故D 错.故选：B.【变式1-1】用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的零点，可以取的初始区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为,lg y x y x ==是单调增函数，故()f x 是单调增函数，其零点至多有一个；又()()11,2lg20f f =-=>，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是()1,2.故选：B.【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】观察图象与x 轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B 不能用二分法求零点．故选：B.【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．()43f x x =-B ．()ln 28f x x x =+-C ．()sin 1f x x =+D ．()231=-+f x x x【答案】C【解析】选项C sin 10y x =+≥恒成立，不存在区间(),a b 使()()0f a f b ⋅<，所以sin 1y x =+不能用二分法求零点.故选：C题型二 用二分法求方程的近似解【例2】方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定在（ ）A ．[]2,1-上B ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上C ．71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上D ．75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 【答案】D【解析】设32()236f x x x x =-+-， 则(2)8866280f -=----=-<，(4)6432126380f =-+-=>，因为2412且(1)123640f =-+-=-<，所以函数()f x 在[]1,4上必有零点. 又因为14522+=且5125251537()6028228f =-+-=>，所以函数()f x 在51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点.又因为517224+=且32777797()()2()360444464f =-⨯+⨯-=-<，所以函数()f x 在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点. 即方程的根必在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上.故选：D【变式2-1】若函数()31f x xx =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f （x ） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.25【答案】B【解析】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可.故选：B【变式2-2】若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =- (1.4375)0.162f = (1.40625)0.054f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2B ．1.4C ．1.3D ．1.5【答案】B【解析】因为(1)0,(1.5)0f f <>，所以(1)(1.5)0f f <，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f <，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f <，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .【变式2-3】求方程221x x =+的一个近似解（精确度0.1）【答案】2.4375【解析】设2()21f x x x =--.因为(2)10,(3)20f f =-<=>()f x 在区间()2,3内单调递增，所以在区间()2,3内，方程2210x x --=有唯一的实数根为0x 取2与3的平均数2.5因为(2.5)0.250f =>，所以02 2.5x <<，再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以02.25 2.5x <<；如此继续下去，有(2.375)0,(2.5)0f f <>，所以()0 2.375,2.5x ∈；(2.375)0,(2.4375)0f f <>，所以()0 2.375,2.4375x ∈；因为|2.375 2.4375|0.06250.1-=<，所以方程221x x =+的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375题型三 用二分法求函数的零点【例3】用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A ．()0,0.5，()0.125f B ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f【答案】D【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f ，故选：D.【变式3-1】已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.5【答案】C【解析】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2y x 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3.故选：C.【变式3-2】已知函数()329f x x x =+-在()1,2内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617()f x －6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088要使()零点的近似值精确度为，则对区间()的最少等分次数和近似解分别为（ ）A ．6次1.75B ．6次1.76C ．7次1.75D ．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76．故选：D ．【变式3-3】用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确度为0.01，10.012n∴≤，解得7n ≥，故选：C.【变式3-4】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算，()0.540f <，()0.720f >，()0.680f <，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.68 B ．0.72 C ．0.7 D ．0.6【答案】C【解析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为()0.68,0.72，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选：C ．。

用二分法求方程的近似解（1）【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．【例题精析】例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；（3）计算f （221x x ＋）的值，若f （221x x ＋）＜0，则第二个解区间为（221x x ＋，x 2）；若f （221x x ＋）＞0，则第二个解区间为（x 1，221x x ＋）；若f （221x x ＋）＝0，则近似解为x ＝221x x ＋； （4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（x i ，y i ）满足精确度要求为止；（5）写出原方程的近似解．【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．例3．利用计算器，求方程18lg 3=+x x 的近似解（精确到0.1）．【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间．【解法】分别画出函数x y lg =和318x y -=的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程18lg 3=+x x 的解，由图象可以发现，方程18lg 3=+x x 有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为0x设 x x x f lg 18)(3--=，用计算器计算，得f (2)>0 , f (3)<0 则 )3,2(0∈xf (2.5)>0 , f (2.75)<0 则 )75.2,52(0．∈xf (2. 5)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,52(0．∈x f (2. 5625)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,56252(0．∈x 因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为6.20=x ．【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )A ．B ．C ．D ．4．函数f (x )=5-x 2的负数零点的近似值(精确到0.1)是（） A ．-2.1 B ．-0.2 C ．-2.2 D ．-2.35．求方程2x +x =4的近似解(精确到0.1) （ ）。

4.1.2教学分析求方程的解是常见的数学问题， 这之前我们学过解一元一次、 一元二次方程，但有些方 程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解， 这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用. 用二分法求方程近似解的特点是： 运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算. 在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1 •让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2•了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步 了解算法思想. 3•回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣. 重点难点用二分法求方程的近似解. 课时安排 1课时教学过程导入新课师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 生1 ：先初步估算一个价格，如果高了再每隔 10元降低报价.生2 :这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100元降低报价•如果低了， 每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3:先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的 一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报 出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法. 譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障（相距大约3 500米）•电工是怎样检测的呢？是按照生 1那样每隔10米或者 按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生 3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下 新知探究 提出问题① 解方程 ② 解方程 ③ 解方程 ④ 解方程 ⑤ 我们知道，函数f 如何找出这个零点的近似值？⑥ “取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦ 什么叫二分法？⑧ 试求函数f X = In x + 2x — 6在区间 2 , 3 ⑨ 总结用二分法求函数零点近似值的步骤 . ⑩ 思考用二分法求函数零点近似值的特点 . 讨论结果： ① x = 8.② x =— 1, X = 2.③ x =— 1, X = 1, x = 2.④ x=-^f 2, x = ^2, x = 1, x = 2.⑤ 如果能够将零点所在的范围尽量缩小， 那么在一定精确度的要求下， 我们可以得到零 点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 〔“取中点”，利用二分法求方程的近似解（展示多媒体课件，区间逼近法）• 2x — 16= 0. x 2— x — 2= 0. x 3— 2x 2— x + 2= 0.X 2-2 x 2— 3x +2 = 0. x = In x + 2x — 6 在区间2, 3内有零点.进一步的问题是, 内零点的近似值.4° a + b一般地，我们把x =—盯称为区间(a , b )的中点〕⑥ 比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5) < 0,因为f (2.5) - f (3) < 0,所 以零点在区间(2.5,3)内.⑦ 对于在区间［a , b ］上连续不断且f (a ) • f (b ) < 0的函数y = f (x )，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值.像这样每次取区间的中点， 将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的 方法称为二分法.⑧ 因为函数f (x ) = ln x + 2x — 6,用计算器或计算机作出函数 f (x ) = ln x + 2x — 6的对 应值表.由表可知，f (2) < 0, f (3) > 0,则f (2) • f (3) < 0，这说明f (x )在区间(2,3)内有零点 X 0，取区间(2,3)的中点X 1= 2.5，用计算器算得f (2.5) — 0.084，因为f (2.5) - f (3) < 0, 所以 X o € (2.5,3). 同理，可得表(下表)与图像(如图1).由于(2約(2.礼:劝(2. 5, 2.⑸,所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小 (见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在 有限次重复相同步骤后， 将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值. 特别 地，可以将区间端点作为函数零点的近似值. 例如，当精确度为0.01时，由于12.539 062 5 —2.531 25| = 0.007 812 5 <0.01 ,所以，我们可以将 x = 2.531 25 作为函数 f (x ) = In x + 2x — 6零点的近似值.⑨给定精度£，用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下：确定区间［a, b ］，验证f (a ) • f (b ) <0，给定精度£ . 求区间(a , b )的中点c . 计算f (c ): 若f (c ) = 0,则c 就是函数的零点； 若 f (a ) • f (c ) < 0,则令 b = c 〔此时零点 X 0€ (a , c )〕； 若 f (c ) • f (b ) < 0,则令 a = c 〔此时零点 X 0€ ( c , b )〕. 判断是否达到精度 £，即若|a — b | < £ ,则得到零点值a (或b );否则重复步骤2°1°2°3°4°.⑩由函数的零点与相应方程的关系， 我们可用二分法来求方程的近似解. 由于计算量较 大，而且是重复相同的步骤，因此， 我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算 机完成计算.应用示例例1求方程2x 3+ 3x — 3= 0的一个实数解，精确到 0.01.3解：考察函数f (x ) = 2x + 3x — 3，从一个两端函数值反号的区间开始， 应用二分法逐步 缩小方程实数解所在区间.经试算，f (0) =— 3< 0, f (2) = 19> 0，所以函数 f (x ) = 2x 3+ 3x — 3 在［0,2］内存在零 点，即方程2x 3+ 3x — 3= 0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1 ,经计算，f (1) = 2> 0,又f (0) < 0,所以方程2x 3+ 3x — 3 = 0在［0,1］ 内有解.3如此下去，得到方程 2x + 3x — 3 = 0的实数解所在区间的表如下.左端点右端点 第1次 0 2 第2次 0 1 第3次 0.5 1 第4次 0.5 0.75 第5次 0.625 0.75 第6次 0.687 5 0.75 第7次 0.718 75 0.75 第8次 0.734 375 0.75 第9次 0.742 187 5 0.75 第10次 0.742 187 5 0.746 093 75 第11次0.742 187 50.744 140 625至此，可以看出，区间 ［0.742 187 5,0.744 140 625］ 是0.74.所以0.74是方程2x 3+ 3x — 3 = 0精确到0.01点评：利用二分法求方程近似解的步骤：① 确定函数f (x )的零点所在区间(a , b )，通常令 ② 利用二分法求近似解. 变式训练利用计算器，求方程 x 2— 2x — 1 = 0的一个近似解. 活动：教师帮助学生分析：2 , .画出函数f (x ) = x — 2x — 1的图像，如图2所示.从图像上可以发现， 方程x 2— 2x — 1 = 0的一个根X 1在区间(2,3)内，另一个根X 2在区间 (—1,0)内.根据图像，我们发现f (2) =— 1< 0, f (3) = 2 > 0，这表明此函数图像在区间 (2,3)上穿过x 轴一次，即方程+ 3、1计算得f I —厂4> 0,发现X 1€ (2,2.5)( 解：设f (x ) = x 2— 2x — 1,先画出函数图像的简图，如图 2.内的所有值，若精确到 0.01，都 的实数解.b —a =1; (精确到0.1) 如图2)，这样可以进一步缩小 x i 所在的区间.因为f(2) =— 1< 0, f (3) = 2> 0,所以在区间(2,3)内，方程x2— 2x— 1 = 0有一解，记为X1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5) = 0.25 > 0,所以2< X i< 2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) =— 0.437 5 < 0, 所以 2.25 < X i < 2.5.如此继续下去，得 f (2) < 0, f (3) > 0= X i € (2,3),f(2) < 0, f(2.5) > 0= x i€ (2,2.5),f(2.25) < 0, f(2.5) >0=x i€ (2.25,2.5),f (2.375) < 0, f(2.5) > 0=x i€ (2.375,2.5),f (2.375) < 0 , f (2.437 5) > 0= X i € (2.375,2.437 5).因为2.375与2.437 5精确到0.i的近似值都为2.4 ,所以此方程的一个近似解为 2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.例2利用计算器，求方程Ig X = 3—X的近似解.(精确到0.i) 活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y = Ig X和y = 3—x的图像，如图3所示.在两个函数图像的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程Ig x= 3—X的解.由函数y = Ig x与y = 3 —x的图像可以发现，方程Ig X = 3 —X有唯一解，记为X i,并且这个解在区间(2,3)内.解：设f(X)= Ig x+ x — 3，设x i为函数的零点即方程Ig x = 3 —x的解. 用计算器计算，得f(2) < 0, f(3) > 0= x i € (2,3),f(2.5) < 0, f (3) >0=X i€ (2.5,3),f(2.5) < 0, f (2.75) >0=X i€ (2.5,2.75),f(2.5) < 0, f (2.625) >0=x i€ (2.5,2.625),f (2.562 5) < 0, f (2.625) > 0= X i € (2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.i的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为 2.6.例3 求方程In x — 2x+ 3 = 0在区间［i,2］内的根.(精确到0.i)解：设f(x) = In x— 2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x i为函数的零点即方程In x — 2x+ 3 = 0的解.因为f(i) = i, f (2) = — 0.306 852 8i9 ,所以f (i) f(2) < 0，即函数f (x)在［i,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以F表格：（步长为0.25）0.062 5）由上述表格可以得到下表与图像（图4）:因为 f (1.75) = 0.059 615 787 >0, f (1.812 5) 所以区间[1.75,1.812 5] 内的所有值若精确到 所以1.8是方程In X — 2x + 3= 0精确到0.1的实数解.点评：①先设出方程对应的函数， 画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解.② 二分法，即逐渐逼近的方法.③ 计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易. 知能训练根据下表中的数据，可以断定方程e X— X — 2= 0的一个根所在的区间为( ).X—1 0 1 2 3 X e0.37 1 2.72 7.39 20.0 X + 21 23 45A. ( —1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)分析：设 f (x ) = e x—x — 2, f (1) < 0, f (2) > 0，即 f (1) f (2) < 0,A X € (1,2).答案：C 课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.① 掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.=—0.030 292 892 < 0,0.1，都是 1.8.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想. 课后作业：P119习题4— 1 A组1,3.。

“用二分法求方程的近似解”的案例分析随着新课程的深入，对新课程的研究也一逐步在加深，由我组织了几位老师共同探讨了“用二分法求方程的近似解”的教学，进行三次教学实践，记述如下：一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如：●“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．●“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．●苏教版内容组织的主要形式是“问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式．●《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”．我们的具体实施过程如下：（1）第一次设计：对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，请两位教师分别在两个平行班级开设公开课．两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题．（2）第一次反思：同行对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见．（3）第二次设计：本人根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案．（4）第二次反思：同行对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见．（5）第三次设计：我再次改进完善教学设计，形成第三轮教案．按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复，形成螺旋式上升．三、教学片段●片段1 提出问题第一次设计：1．能否求解方程lg x=3-x?2．能否求出这个方程的近似解？3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？第二次设计：1．能否求解下列方程：(1)lg x=3-x；(2)x2-2x-1=0；(3)x3-3x-1=0．2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1）第三次设计实录：师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x 2-2x -1=0；（2）lg x =3-x ；（3）x 3-3x -1=0．（三个方程逐个出示）课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解．师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1） 课堂反响：对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是2.4，2.5还是2.6．对于方程（3）学生还是束手无策．师：实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解．片段2 探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x 2-2x -1=0的一个正的近似解（精确到0.1））课堂反响：问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利．于是建议学生来相互交流自己研究的进展．生：我画出了f (x )= x 2-2x -1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为f (2)＜0，f (3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x 轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f (2)＜0，f (2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区图3间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）． 师：同学们能否简述上述求方程近似解的过程． 生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f (a ) f (b )＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解． 师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称． 生：对分法． 师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．● 片段3 变式探究（第三次教学实录）师：能否用二分法求方程lg x =3-x 的近似解（精确到0.1）课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨．生1：我先画了y =lg x 和y =3-x 的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内．师：有没有同学能帮他解决这个困难．生2：可先把方程转化为lg x +x -3=0，再设f (x )=lg x +x -3，由f (2.5)＜0，f (3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．师：很好，这个方程的形式为g (x )=h (x )，而第二位同学则把它转化为g (x )-h (x )=0，并设f (x )=g (x )-h (x )，从而使问题得以有效解决．解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求x 1≈2.6 .● 片段4 总结归纳（第三次教学实录）师：解决了求两种形式方程的近似解的问题，下面请同学们再来完整地归纳用二分法求方程近似解的基本步骤．课堂反响：一番讨论之后，学生们较一致地认为应分三个步骤，第一个步骤为：利用图象法找出解所在的区间：即若方程形式为f (x )=0，则画出y =f (x )图象后，观察图象与x 轴的交点所在的区间；若方程形式为g (x )=h (x )，则画出y = g (x )与y =h (x )的图象，观察它们的交点所在的区间，即为根所在的区间．师：图象法用得很好，但请同学们考虑一下，要得出根所在的区间，是否一定- +2 3- + 2 2.5 - +2 2.25 2.5 3- + 2 2.375 2.5 3- +2 2.375 2.4753 图4要画图？课堂反响：结合前面问题的研究，有学生发现第二个函数 f (x )=lg x +x - 3，f(3)=lg3>0，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如f (1)= -2<0，因此根必属于区间（1，3）．师：非常正确．也就是说我们还可利用函数的性质来判断根所属的区间． 课堂反响：对于解题步骤二和三，学生们归纳得出了以下结论：步骤二：不断二分区间，不妨设)(a f <0，)(b f >0，则),(0b a x ∈， 若)2(b a f +>0，则)2,(0b a a x +∈；若)2(b a f +<0，则),2(0b b a x +∈； 若)2(b a f +=0，则20b a x +=；再依次类推． 步骤三：根据精确度得出近似解．当x 0∈（m ，n ），在给定精确度下，若m 、n 的近似值相同均为P ，则方程的近似解即为P ．片段5 拓展探究（第三次教学实录）师：同学们，你们认为用二分法求方程的近似解最大的困难是什么？生：最大的困难是第一步，即如何确定根所在的区间．师：那好，我们就以方程x 3-3x -1=0为例，再来探讨如何确定根所在的区间． 课堂反响：有了前面研究的基础，学生们很快提出了两种方法，即画出y =x 3和y =3x +1的图象，再观察它们交点所在的范围．或研究函数f （x ）=x 3-3x -1，由f （1）= -3＜0，f （2）=1＞0，得出根在区间（1，2）内．师：有没有同学通过作出函数f （x ）= x 3-3x -1的图象来判断根所在的区间？课堂反响：学生们面面相觑，问及原因，是因为不会作图．师：难道这个函数图象真的不能作？大家回忆一下，作一个函数图象最基本的方法是什么？生：列表、描点、连线．师：对，那么我们今天就利用这个方法并借助电脑来实施这一过程．教师当场示范如何利用Excel 来作图．先对x 限定在（0，4）上取值，取步长为0.1，得到四十个自变量的值，再计算出相应的y 值，点击工具栏中的“图表”，随即生成图形（见图5）．课堂反响：学生们在惊讶的同时，观察图形马上得出了根所属的区间．师：学生们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用Excel 作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器．实际上，如果我们将步长取得足够小，从Excel 表的列B 中，我们可以直接得出近似解，当然，这种方法的背后是电脑要进行大量的计算．四、案例所触及的几个焦点问题图51．关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼(M.Polanyi)提出:“我们所知道的多于我们言传的.”据此，他提出人类大脑中的知识分为两类：明确知识(explicit knowledge)和黙会知识(tacit knowledge)．前者可以言传，后者却不能言传，不能系统表达．明确知识存在于书本之中，它可编码(逻辑性)、可传递(共享性)、可反思(批判性)．它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而黙会知识存在于个人经验之中(个体性)，镶嵌于实践活动之中(情境性)，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟.如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而黙会知识则是其水下部分．张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的黙会知识．教学中，基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握，教学的成效也易于达成；而基于黙会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握，教学的成效往往也是隐性和难以达成的．在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度．如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式．在几次案例研究的过程中，我们觉得《课程标准》增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标，苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法的思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中进行渗透并达成，因此，最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展．从第三次教学的实录片断中，可以看到，本节课以问题解决为基本策略将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的过程中，采用了先破后立的方式，使黙会知识镶嵌于教学流程的背后构成了一条暗线（见下图6）．在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的．例如，第二个环节“简单方程入手，寻找一般规律”，在第一次教学过程中，暗线：方法建构、技术运用、算法渗透先破图6用《几何画板》作出了函数图象，由于《几何画板》作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解，这就为后续的教学带来了干扰．在后二次的教学中，要求学生用纸笔作图，使学生能打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法．在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的．2．新教材为什么要在高一讲“二分法”？“二分法”有什么优点和缺点？ 本节课的引发我们思考的第二个焦点问题是新教材为什么要在高一函数中增加“二分法”？首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具．其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”．再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体→局部”、“定性→定量”、“精确→近似”、“计算→技术”、“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值．利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时（两端点的近似值相同），运算终止． “二分法”的优点在于思想方法简单，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快（得到符合条件的近似解的速度快），误差比较小，是同类算法中效率最高的．其缺点在于：无法用其求出方程偶次重根的近似解．因此，类似于图7的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点．3．“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想本节课的引发我们思考的第三个焦点问题是在“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想的精髓？在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标，其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的．例如，在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数→形”，这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形→数”，其中的形包括“图图7图8象→数轴→表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程（见图8）．在这样一个数形转化和逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握，因而能够比较顺利地自主归纳出用二分法求方程近似解的基本步骤（见片断5）．4．教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系本节课的引发我们思考的第四个焦点问题是“二分法”教学中应该如何处理教师传授和学生自主发现的关系？西南师范大学张大均教授在《教学心理学》中指出：在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动．双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系．在教学过程中，师生双方主体作用的发挥应该各有侧重，其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向．在本节课的教学中，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向．本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系．精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时（见图6、图8），学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的和谐统一，是一种有意义的接受式学习．同时，教师在教学流程的局部放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究，例如，本节课教师鼓励学生自行尝试解决问题，大量运用实物投影仪展示学生的研究成果（见片段3）；学生自己概括提炼出“二分法”的基本步骤（见片段4）；教师在Excel中现场操作，即时生成函数图象（见片段5）等．这种自主“生成”的学习是一种有意义的发现式学习，在这样的学习过程中，学生充分体验到了解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习的乐趣．在第一次同题开课的过程中，两位老师对课题名称出现的时机采用了不同的处理，一位采用了“开门见山”式的“课题先行”的方式，在教学的起始阶段就点明了本节课要学习的课题是“用二分法求方程的近似解”，使学生产生了一种“且听分解”的欲望．本节采用了“曲径通幽”式的“问题先行”的方式，课题名称是在学生自主概括“二分法”名称之后生成的，不是预知的．比较两种处理的教学效果，我们认为，学生自主概括“二分法”名称的过程中是对“二分法”本质概括的过程，是一种有效的数学思维的训练．而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程．五、案例研究的价值从本次“二分法”案例的研究过程中，我们充分感受到了案例研究的巨大价值，它既是教师研究新课程的一个重要载体，也是深化课堂教学改革的一个突破口，也是教师专业化成长的一个极好的平台．我们认为，在新课程推进的过程中，课堂教学改革是新课程改革的落脚点和支撑点，教师的课堂教学行为不改变，课改成功就是一句空话．我们希望案例研究能成为基层学校教学研究的一种主要方式，教师迫切需要这种能依托新教材并直接切入到课堂教学的新课程培训，需要这种聚焦课堂的教学研修和专业引领．。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。