圆中比例线段 作业2 高中数学 选修4-1 苏教版

同步测控我夯基 我达标1.如图1.1-25,l 1∥l 2∥l 3，则下列比例式中正确的是( )图1.1-25A.BC CE DF AD= B.AF BCBE AD= C.BC AD DFCE = D.CEBEDF AF= 解析:∵AD 与CE 、DF 与BC 不是对应线段，故A 错.∵AD 与BC 是对应线段，BE 与AF 也是对应线段，但AD 与BE 及BC 与AF 不是同一条直线被l 1∥l 2∥l 3所截的线段，故B 错，同理C 错. 答案:D2.如图1.1-26，DE ∥BC,EF ∥AB,下列比例式正确的是（ ）图1.1-26A.FC BF DB AD= B.EC AE =FB CFC.BC DE DBAD = D.ABEFBC DE = 解析:∵DE ∥BC,∴DB AD =EC AE.∵EF ∥AB,∴EC AE =FCBF.∴DB AD DB AD =FCBF . 答案:A3.如图1.1-27,已知：直线l 1∥l 2∥l 3,两直线被l 1、l 2、l 3分别截于A 、B 、C 和D 、E 、F 各点，则下列各式中不一定成立的是（ ）图1.1-27A.EF DEBC AB= B.DF DEAC AB= C.CA BCFDEF = D.CEBE BE AD= 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立，只有D 不成立. 答案:D4.如图1.1-28,AD ∥EF ∥BC,AD=15,BC=21,2AE=EB,则EF 等于（ ）图1.1-28A.15B.16C.17D.18 解析:作AG ∥DC ，设AG 交EF 于K ，∵四边形ADCG 为平行四边形.∴KF=AD=15,BG=BC-GC=21-15=6. 在△ABG 中，EK ∥BG . ∴AB AE BG KB ==31,由BG=6，得EK=2,从而EF=EK+KF=2+15=17. 答案:C5.如图1.1-29，在△ABC 中，DE ∥BC,若31=AB AD ,DE=2，则BC 的长为（ ）图1.1-29A.2B.4C.6D.8 解析:因为DE ∥BC ，所以BC DE =AB AD =31.所以BC=6. 答案:C6.如图1.1-30，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）图1.1-30A.18B.12C.9D.3 解析:因为DE ∥BC ，所以BD AD =EC AE =21. 所以DB=12，所以AB=AD+DB=18.答案:A7.已知梯形中位线长为12，一条对角线分中位线所成两条线段的比是2:1，则梯形两底长分别是……（ ）A.8，16B.10，14C.6，18D.4，20解析:设梯形ABCD 中AB ∥DC ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，连AC 交EF 于G ，则G 分EF 为2:1的两段，设EG=8，GF=4，则上底AB=2GF=8，下底CD=2EG=16. 答案:A8.如图1.1-31,AB ∥CD ∥EF,AF 、BE 相交于O ，若AO=OD=DF ，BE=10 cm ，则BO 的长为（ ）图1.1-31A.310cm B.5 cm C.25cm D.3 cm 解析:根据AB ∥CD ∥EF 和AO=OD=DF ，有BO=OC=CE ，所以BO=31BE.答案:A9.如图1.1-32，ABCD,E 在CD 延长线上，AB=10，DE=5，EF=6，则BF 的长为 …（ ）图1.1-32A.3B.6C.12D.16 解析:∵AB ∥DE,则EFBFDE AB =, 即6510BF=,∴BF=12. 答案:C10.如图1.1-33,DE ∥AB,DF ∥BC,若AF:FB=m:n,BC=a,则CE 等于（ ）图1.1-33A.n am B.m an C.n m am + D.n m an+解析:∵FD ∥BC,∴nm mBC FD AB AF +==,∵四边形BEDF 为平行四边形，故BE=FD=n m m +·BC=nm am+. CE=BC-BE=nm ann m am a +=+-. 答案:D11.如图1.1-34,AB ∥CD ∥EF,且AO=OD=DF,OE=6,则BE 等于（ ）图1.1-34A.9B.10C.11D.12 解析:过O 作OP ∥AB ∥CD ∥EF ，由平行线等分线段定理知OB=OC=EC=21OE=3. ∴BE=OB+OC+EC=9. 答案:A12.如图1.1-35，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）图1.1-35A.DB AD =EC AE B.AD AB =AE ACC.AB AC =DB ECD.DB AD =BCDE 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立. 选择项D 中应为AB AD =BCDE. 答案:D我综合 我发展13.如图1.1-36，l 1∥l 2∥l 3,l 4与l 5交于点P ，PA=a ，AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf 等于…（ ）图1.1-36A.abB.bdC.aeD.ce 解析:过P 作PQ ∥l 1∥l 2∥l 3,由平行截割定理知：PA:AB:BC=PD:DE:EF,即a:b:c=d:e:f ⇒b:c=e:f ⇒bf=ce. 答案:D14.如图 1.1-37所示，l 1∥l 2∥l 3,若CH=4.5 cm,AG=3 cm,BG=5 cm,EF=12.9 cm,则DH=__________，EK=__________.图1.1-37解析:由l 1∥l 2∥l 3可得AG BG CH DH =，所以DH=AG CH BG ∙=35.45⨯=7.5,同理可得EK 的长度. 答案:7.5 cm 34.4 cm15.如图1.1-38,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP.若AB=6 cm,则AP=__________;若PM=1 cm,则PC=______________.图1.1-38解析:由AB=AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，有D 是BC 的中点，再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点，P 是AN 的中点，由此，AP=31AB ，PM=41PC. 答案:2 cm 4 cm16.如图1.1-39，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC,若AE:EC=7:3，则DB:AB 的值为__________.图1.1-39解析:由AE:EC=7:3有103=AC EC . 根据MN ∥DE ∥BC 可得ACECAB DB =，即得结论. 答案:10317.如图1.1-40,测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10 mm ，AC 被分为60等份.如果小管口DE 正好对着量具上30份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是__________mm.图1.1-40解析:根据106030DEAB DE ==，所以DE=5 mm. 答案:518.如图1.1-41，DE ∥AB ，EF ∥BC ，AF=5 cm ，FB=3 cm ，CD=2 cm ，求BD=__________cm.图1.1-41解析:∵DE ∥AB,EF ∥BC,∴四边形BDEF 是平行四边形，∴BD=EF.∵EF ∥BC,∴BC EF AB AF =,∴DC BD BDFB AF AF +=+. 设BD=x cm,∴2355+=+x x ,∴x=310,即BD=310cm. 答案:310我创新 我超越19.如图1.1-42，D 为△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE ∥BC ，DF ∥AC,AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H.求证：GH ∥AB.图1.1-42分析:要证GH ∥AB ，由三角形一边的平行线的判定定理可知，只要能证明GH ，AB 所在的三角形中，被截得的四条线段对应成比例即可，即证DG EG =HB EH 或HDFHGA FG =，在证明时，平行线得到的比例线段较多，要注意取舍.证明:∵DE ∥BC,∴FB DG AF AG FC GE ==,∴FB FCDG GE =. 又∵DF ∥AC,∴HB EH =FBCF.∴HBEHDG GE =,∴GH ∥AB. 20.(1)阅读下面材料，补全证明过程：如图1.1-43，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于F ，作FG ⊥BC 于G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等分点.图1.1-43证明：在矩形ABCD 中，OE ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴OE ∥DC. ∴DC OE =21.∴FD EF =DC OE =21.∴ED EF =31.（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. 分析:（1）要让G 是BC 的三等分点，只须证明AB GF =31，又AB=CD ，故只需证明31=CD GE ，本题要补全证明过程，故应将前面的证明意图及思路弄清楚.（2）由G 点的作法猜想：连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M ，则M 即为所求.解:（1）补充证明 ∵FG ⊥BC,DC ⊥BC,∴FG ∥DC,∴ED EF DC FG ==31. ∵AB=DC,∴AB FG =31,又∵FG ∥AB, ∴AB FG BC CG ==31. (2)连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M.M 即为所求.21.如图1.1-44，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE:ED=1:3，BE 的延长线交AC 于F.求AF:FC.图1.1-44分析:由已知线段的比，求另外线段的比，通常作平行线，构造平行线分线段成比例定理的基本图形，本题过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，则由DG ∥AF 得DE AF DG AF ==31，从而AF=31DG ，又由DG ∥CF 得BDBCDG CF ==2，得CF=2DG ，由此求得AF:FC=1:6.证明:过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，∵DG ∥AF,∴EDAEDG AF =. ∵ED AE =31,∴DG AF =31. ∵DG ∥CF,∴DG CF =BD BC.∵BC=2BD,∴DGCF=2,∴61=CF AF .。

人教新课标A版选修4-1数学2.5与圆有关的比例线段同步检测D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分）(2014·天津理) 如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②④2. （2分）如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC 的垂线，垂足为D．若AB=4，CE=2 ，则AD=（）A . 3B . 6C . 2D . 43. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA 延长线于点E，若ED= ，∠ADE=30°，则△BDC的外接圆的直径为（）A . 1B .C . 2D . 24. （2分） (2015高三上·房山期末) 如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，BE=2，ED=3，则PC=（）B . 2C . 3D . 45. （2分）如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD．如果∠DAC=78°，那么∠ADO等于（）A . 70°B . 64°C . 62°D . 51°6. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，AT切⊙O于T，若AT=6，AE=3，AD=4，DE=2，则BC等于（）A . 3C . 6D . 87. （2分）如图，AD切圆O于D点，圆O的割线ABC过O点，BC交DE于F点，若BO=2，AD=2．则给出的下列结论中，错误的是（）A . AB=2B .C . ∠E=30°D . △EBD∽△CDB8. （2分）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 =（）A .B .C .D .9. （2分）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于占E，则（）A . AD•AB=CD2B . CE•CB=AD•ABC . CE•CB=AD•DBD . CE•EB=CD2二、填空题 (共10题；共10分)10. （1分）(2013·重庆理) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．11. （1分）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=8，CE•CB=7，则AD=________12. （1分）(2016·北区模拟) 如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，点D在线段BC上，且DC=2BD，∠BAD=∠PAB，，PB=4，则线段AB的长为________．13. （1分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=________14. （1分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE 的长为________15. （1分）如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上， =2 ，点P是OC上一动点，则PA+PD的最小值为________．16. （1分）(2013·天津理) 如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为________．17. （1分）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于________18. （1分）(2014·陕西理) 如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=________．19. （1分）(2013·湖南理) 如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为________．三、解答题 (共6题；共40分)20. （5分）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．21. （5分）(2017·东台模拟) 在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．22. （5分）(2017·石家庄模拟) 如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．23. （10分） (2016高一上·无锡期末) 如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求| + |的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求• 的取值范围．24. （10分）如图，已知直线MA切圆O于点A，割线MCB交圆O于点C，B两点，∠BMA的角平分线分别与AC，AB交于E，D两点．（1）证明：AE=AD；（2）若AB=5，AE=2，求的值．25. （5分）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC 相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．参考答案一、选择题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共10题；共10分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共6题；共40分) 20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、。

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学第二讲五与圆有关的比例线段课时作业（含解析）新人教A版选修4-11．圆内两条相交弦AB和CD交于点P，AB＝8，AB把CD分成两部分的线段长分别为3和4，那么AP等于( )A．2 B．6C．2或6 D．3或5解析：选C.如图所示，由相交弦定理，得AP·(8－AP)＝3×4，解得AP＝2或6.2．如图，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，那么AF 、BD 、CE 的长分别为( ) A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm B ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cm C ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm解析：选A.∵BC 、AC 、AB 分别切圆于点D 、E 、F ， ∴AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE.设AF ＝x cm ，BD ＝y cm ，CE ＝z cm ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝13，y ＋z ＝14，z ＋x ＝9.解得x ＝4，y ＝9，z ＝5.∴AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm.3．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，则过点P 的⊙O 的切线长是( ) A ．60 B ．40 2 C ．35 2 D ．50解析：选A.由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD 与△PCB 相似．∴AD BC ＝PD PB ，即40PA ＋35＝12，解得PA ＝45.若设过点P 的⊙O 的切线长为x ，则x2＝PA·PB＝45×80，∴x ＝60，故选A.4．(2012·高考北京卷)如图， ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A ．CE·CB＝AD·DB B ．CE·CB＝AD·AB C ．AD·AB＝CD2 D ．CE·EB＝CD2解析：选A.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD2＝AD·DB.又CD 是圆的切线，故CD2＝CE·CB. ∴CE·CB＝AD·DB.5．如图，P 为半圆O 的直径AB 延长线上一点，且PB ＝OB ＝2，PC 切半圆O 于C ，CD ⊥AB 于D.则CD 长为( )A ．2 3 B. 3C.32D ．4 3解析：选B.连接OC.∵PC 为半圆O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.又由切线长定理，得PC2＝PB·PA. 又∵PA ＝PB ＋AB ＝PB ＋2OB ＝6， ∴PC2＝2×6，即PC ＝2 3. 又∵Rt △PCD ∽△Rt △POC ， ∴CD OC ＝PC PO ，即CD 2＝234，∴CD ＝ 3. 6．(2013·高考湖北卷)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________． 解析：设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD2＝AD·DB，所以CD ＝223R.在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO ＝8.答案：87．(2013·北京市西城区高三质检)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若PA BC ＝32，则PBBC＝________. 解析：根据切割线定理有：PA2＝PB·PC＝PB(PB ＋BC)，而PA BC ＝32，即PA ＝32BC ，将其代入上式得：PB2＋PB·BC－34BC2＝0，即(2PB ＋3BC)(2PB －BC)＝0，可得PB BC ＝－32(舍去)或PBBC ＝12. 答案：128．(2012·高考湖南卷)如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于__________．解析：设⊙O 的半径为r(r>0)， ∵PA ＝1，AB ＝2，∴PB ＝PA ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r. 设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r ＝ 6.答案： 69．如图，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF ＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．解：AB2＝BC·BE，AB2＝1×9，所以AB＝3(cm)＝BF＝FD.所以CF＝2(cm)，FE＝6(cm)．又因为AF·FD＝CF·FE，所以AF×3＝2×6，即AF＝4(cm)．10．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD 于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA. 因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°， 所以∠CBA ＝90°.因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE. 由DB ＝BE ，有CE ＝DC. 又BC2＝DB·BA＝2DB2， 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.11．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O1的切线，交⊙O2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P.(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD 与⊙O 2相切，且PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB ，CE ，∵CA 切⊙O1于点A ，∴∠1＝∠D.又∵∠1＝∠E ， ∴∠D ＝∠E ，又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE. ∴PA PC ＝PD PE， 即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE＝2×12，∴PE ＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC. ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.。

一、选择题1．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )．A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4解析 连接OA ，则OA ⊥PC ，∴△PAO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PC BC ，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2x x ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案 A2．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ( )．A ．1,2B ．2,2C ．2,6D ．1,6解析 ∵PA 、PB 为⊙O 切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，PA ＝PB ，OP 平分∠APB ，∴OP ⊥AB .∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP ，△OBP ，△OCA ，△OCB ，△ACP ，△CBP ；等腰三角形有：△OAB ，△ABP .答案 C3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )．A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析 由相交弦推论即可得．设另一条弦被分成x cm ，4x cm.则⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝x ·4x ，所以x ＝2 cm. 所以弦长为10 cm.答案 C4．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )．A ．2 6B. 6 C ．2 3 D ．2 2解析 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.答案 D二、填空题5．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知EA ·EB ＝EC ·ED . (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3，∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.答案 56．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)解析如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.答案AB OP7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．解析∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案 38．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝ 6.答案 6三、解答题9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.求证：AB＋CD＝AD＋BC证明因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线，垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点.求证：PC·PD＝AE·AO.证明连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．解法一连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝12AB＝12(AP＋PB)＝12(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.因为AB 垂直CD 于P ， 所以CP ＝12CD ＝5 cm.在Rt △COP 中，由勾股定理，得OC 2＝PC 2＋PO 2，所以(3k )2＝52＋(2k )2，即5k 2＝25，所以k ＝5．所以半径OC ＝3k ＝3 5 (cm)． 法二 设AP ＝k ，PB ＝5k ， 由相交弦定理：CP ·PD ＝AP ·PB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫CD22＝k ·5k .∴k ＝5，∴AB 2＝AP ＋PB2＝35，即⊙O 的半径为3 5 cm.。

课后导练基础达标1.圆内两条弦AB 和CD 交于P 点,AB=8,AB 把CD 分成3和4两部分,那么AP 等于( ) A.2 B.6 C.2或6 D.3或5 解析:设AP=x,则BP=8-x, 由相交弦定理得x(8-x)=3×4. ∴x=2或6. 答案:C2.如图2-5-7,AD 为⊙O 直径,BC 切⊙O 于E 点,AB ⊥BC,DC ⊥BC,AB=4,DC=1,则AD 等于( )图2-5-7A.23B.4C.5D.33 解析:连结DF 、OE,∵AD 是直径,∴∠AFD=90°.又AB ⊥BC,DC ⊥BC,∴四边形BCDF 是矩形. ∴BF=DC.由切割线定理得 BE 2=BF·BA=1×4=4,BE=2. ∵OE ⊥BC,DC ⊥BC,AB ⊥BC, ∴CD ∥OE ∥AB.O 为AD 中点, ∴E 为BC 中点. ∴BC=4.∴DF=4. 在Rt △ADF 中,AD=22DF AF +=5.答案:C3.如图2-5-8,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,则AC ∶BD 等于( )图2-5-8A.1∶3B.5∶12C.5∶7D.5∶11 解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD, ∴5×(5+7)=PC(PC+11). ∴PC=4或PC=-15(舍去). 又∵PA·PB=PC·PD,PBPCPD PA =,∠P=∠P, ∴△PAC ∽△PDB.∴31155===PD PA BD AC . 答案:A4.如图2-5-9,AB 、CD 是⊙O 的两条平行切线,B 、D 为切点,AC 为⊙O 的切线,切点为E 点,若AB=4,CD=9,则⊙O 的半径为( )图2-5-9A.9B.8C.6D.5 解析:连结OB,并作BO 的延长线,过A 作AF ⊥CD,F 为垂足. ∵AB 切⊙O 于B,∴OB ⊥AB. ∵AB ∥CD,∴BO ⊥CD.∴BO 经过D 点.∴BD 为⊙O 直径. 又∵AF ⊥CD,∴四边形ABDF 是矩形. 在Rt △ACF 中,AF=22CF AC -.由切线长定理得AB=AE,CE=CD.∴AC=AE+CE=AB+CD=13,CF=CD-DF=CD-AB=5. ∴AF=22513-=12,OB=6.答案:C5.如图2-5-10,PA 切⊙O 于A,PB 切⊙O 于B,OP 交⊙O 于C,下列结论中错误的是( )图2-5-10A.∠1=∠2B.AB ⊥OPC.PA=PBD.PA 2=PC·PO 解析:由切线定理知,A 、C 正确. 由等腰三角形三线合一知B 正确. D 无依据. 答案:D 综合运用6.如图2-5-11,⊙O 中半径OB 垂直于直径AC,M 为OA 上一点,BM 延长线交⊙O 于N,过N 的切线交CA 的延长线于P 点. 求证:PM 2=PA·PC.图2-5-11证明:连结ON,∵PN 切⊙O 于N, ∴ON ⊥PN.∴∠MNP+∠ONM=90°. ∵OA ⊥OB,∴∠B+∠OMB=90°,∠OMB=∠PMN. ∴∠MNP=∠PMN.∴PM=PN. 由切割线定理得PN 2=PA·PC, ∴PM 2=PA·PC.7.如图2-5-12,已知AB 是⊙O 的直径,CA 交弦BF 延长线于E,DE ⊥AC 于E,CB 交⊙O 于D 且AB=AC,求证:AE·EC=BE·EF.图2-5-12 证明:连结OD 、AD,∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°.∴AD=BC. ∵AB=AC,∴BD=DC. ∵BO=OA,∴OD ∥AC. ∵DE ⊥AC,∴DE ⊥OD.∴DE 是⊙O 切线,∴DE 2=EF·EB.① 在Rt △ACD 中,DE ⊥AC, ∴DE 2=AE·EC.② ∴由①②得AE·EC=BE·EF.8.如图2-5-13,已知AT 切⊙O 于T,ADB 是割线,BC 是直径,在AB 上截取AE=AT,过E 作AB 的垂线EF,交AC 延长线于F. 求证:AB·AC=AE·AF.图2-5-13证明:连结CD,由切割线定理得AT 2=AD·AB, ∵AE=AT,∴AE 2=AD·AB. ∴ADAEAE AB =.① ∵BC 是直径,∴∠BDC=90°,即CD ⊥AB. 又EF ⊥AB,∴CD ∥EF.∴ACAFAD AE =.②由①②得ACAFAE AB.∴AB·AC=AE·AF.9.如图2-5-14,已知AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,CD ⊥AB 于D,以C 为圆心,CD 为半径作⊙C 交⊙O 于E 、F,连结EF 交CD 于M. 求证:CM=MD.图2-5-14证明:双向延长CD 分别交⊙O 、⊙C 于Q 、P, ∵AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB, ∴CD=DQ.∵CD=PC,∴PC=DQ. 根据相交弦定理得CM·MQ=EM·MF=MD·MP. ∴CM(MD+DQ)=MD(MC+PC). ∴CM·MD+CM·DQ=MD·MC+MD·PC. ∴CM·DQ=MD·PC. 又∵DQ=PC, ∴CM=MD. 拓展探究10.如图2-5-15,⊙O 1和⊙O 2相交于点A 、B,⊙O 2和⊙O 3相交于C 、D,分别延长BA 、DC 相交于P,过P 作⊙O 1和⊙O 3的切线PM 、PN,M 、N 为切点,连结MN,求证:∠PMN=∠PNM.图2-5-15证明:由切割线定理得PM 2=PA·PB,PN 2=PC·PD.又由割线定理得PA·PB=PC·PD, ∴PM 2=PN 2.∴PM=PN. ∴∠PMN=∠PNM. 备选习题11.如图2-5-16,△ABC 中,∠C=90°,⊙O 的直径CE 在BC 上,且与AB 相切于D 点,若CO ∶OB=1∶3,AD=2,则BE=____________.图2-5-16解析:∵CO∶OB=1∶3,OC=OE,∴BE∶EC=1∶1.设BE=x,则BC=2x.由切割线定理得BD2=BE·BC=2x2,2.∴BD=x又由切线长定理得AD=AC,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,2+2)2=22+(2x)2.∴(x2.解得x=22答案:212.如图2-5-17,⊙O分别与△ABC的边AB、AC切于M、N点,交边BC于E、F点,且BE=EF=FC. 求证:∠B=∠C.图2-5-17证明:由切线长定理得AM=AN,由切割线定理得BM2=BE·BF,CN2=CF·CE.∵BE=EF=FC,∴BE·BF=CF·CE.∴BM2=CN2.∴BM=CN.∴AM+BM=AN+CN,即AB=AC.∴∠B=∠C.13.如图2-5-18,已知⊙O1与⊙O2相交于E、F两点,过E任作直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B 两点,G为AB的中点,直线FG分别交两圆于C、D.求证:CG=DG.图2-5-18证明:由相交弦定理得AG·GE=CG·GF.由割线定理得BG·GE=GD·GF.∵AG=BG,∴AG·GE=BG·GE.∴CG·GF=GD·GF.∴CG=DG.14.如图2-5-19,△ABC内接于⊙O,AB=AC,AD是⊙O的切线,BD∥AC,BD交⊙O于点E,连结AE,求证:AE2=DE·DB.图2-5-19证明:∵AD是⊙O切线,∴∠DAE=∠ABD.∵BD∥AC,∴∠CAB=∠ABD.∴∠DAE=∠CAB.∵∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC.∴∠D=∠ABC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∴∠D=∠AED.∴AD=AE.∵AD2=DE·DB,∴AE2=DE·DB.。