第4章 多元函数微积分学

《医用高等数学》课程教学大纲适用专业：临床医学实验班、临床医学5+3一体化、临床医学5+3一体化儿科方向、临床医学精神医学、临床医学麻醉学、临床医学儿科学、临床医学、眼视光医学、基础医学、医学影像学、口腔、法医、临床药学、生物科学、预防医学。

前言课程简介：《医用高等数学》是医科学院校各专业非常重要的数学基础理论课程，它是研究客观世界数量关系和空间形式的一门学科。

运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。

现代医学正向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，预防医学、基础医学、临床医学以及一些边缘学科都在试图运用数学理论方法，通过建立数学模型来探索出其数量规律。

《医用高等数学》课程就是为这些学科奠定了理论基础。

本课程研究的内容包括：一元函数微积分学，多元函数微积分学，微分方程，概率论基础及线性代数。

教学主要任务是使学生掌握本课程的基本理论、基本方法和基本计算技能，提高解决某些实际问题的能力，为后继专业课程奠定基础。

课程负责人及授课团队：课程负责人：王桂杰教授 gjwang@ 十二舍314授课团队：王桂杰教授 gjwang@十二舍314黄德生教授 33864423@ 十二舍315单连峰副教授 907868728@ 十二舍313杨洋讲师 1002459654@ 十二舍317李新讲师 27295492@ 十二舍320高岩峰讲师 48334504@ 十二舍317王秀秀助教 523495009@ 十二舍317李明讲师 875391835@ 十二舍319考评方式：平时成绩占20%，期末成绩占80%使用教材及其他建议参考书：1．教材：《医用高等数学》第6版人民卫生出版社 20132. 参考书：《高等数学》第七版高等教育出版社 2014教学目标：学生掌握一元函数微积分学，多元函数微积分学，微分方程，概率论基础及线性代数内容，并能解决简单的医学问题。

能力培养目标：提高学生抽象思维能力和逻辑推理能力、综合运用所学知识分析问题和定量解决医学实际问题的能力、运算能力和创新能力。

《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。

高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。

对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。

它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。

线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。

它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。

它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。

在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。

多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。

多元函数微积分的应用随着科学技术的不断发展，多元函数微积分日益成为一种重要的数学工具。

多元函数微积分主要是研究多变量的函数，它是单变量微积分的推广和拓展。

其中最重要的内容就是求多变量函数的偏导数、全微分、求极值、积分等。

多元函数微积分在工程、物理、化学等学科中都得到了广泛的应用。

以下将主要介绍多元函数微积分在科学技术领域中的应用。

1. 物理学领域的应用在物理学中，多元函数微积分可以被用来描述物体的运动以及物体与其他物体之间的相互作用。

最常见的例子是牛顿运动定律。

牛顿第一定律说，如果物体不受到任何力的作用，则它将保持运动状态，或保持静止状态。

如果我们要确定一个物体的运动状态，我们需要知道该物体所受到的外力，以及它的初始位置和速度。

这个问题可以用多元函数微积分中的运动学方程来解决，它基于加速度与速度、位移之间的关系。

另一个物理学中的例子是电场的计算。

电场是由电荷在空间中所产生的电力作用，因此了解电场是研究电荷和电流行为的先决条件。

在多元函数微积分中，我们可以利用电场的公式来计算电场的介质性质、电势的强度等。

2. 工程学领域的应用在工程学领域中，多元函数微积分通常用于设计机器和设备，使得它们在运行时能够以最佳的方式工作。

例如，可以使用多元函数微积分来得出一个最佳的轮廓参数，以便使得机器人能够在一定范围内移动。

此外，它还可以被用于热力学方程的求解，以此来改进空调、锅炉、汽车发动机、炉子等工业设备的设计。

另外，多元函数微积分还可以在土木建筑工程领域中得到应用。

例如，在桥梁设计中，可以利用多元函数微积分求得桥梁的建筑比例和强度，从而确保它们可以承受使用过程中的载荷。

在建筑设计中，则可以使用多元函数微积分来计算建筑物的稳定性和质量等方面的参数。

3. 医学领域的应用多元函数微积分在医学领域中的应用也越来越多，它可以帮助研究人体的治疗方法和药物的研发。

例如，它可以帮助研究血液循环系统、神经系统、肺功能等方面的生理现象。

多元函数微积分学考点
1. 多元函数及其图像：多元函数的定义、图像、二元函数的图像特征、三维坐标系及其投影。

2. 极限与连续：多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、方向导数。

3. 高阶导数：多元函数的高阶偏导数、混合偏导数、高阶全微分。

4. 多元函数的微分学定理：麦克劳林公式、泰勒公式、极值与条件极值。

5. 多元不定积分与定积分：二重积分、三重积分、重积分的计算方法。

6. 曲线积分与曲面积分：对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分、格林公式、斯托克斯公式、高斯散度定理。

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附录Ⅰ 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微积分（基础实验）实验目的 掌握利用Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元 函数极值和条件极值的方法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质. 掌握利用Mathematica 计算二重积分方法; 提高应用重积分解决实际问题的能力.基本命令1.求偏导数的命令D命令D 既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如: 求),,(z y x f 对x 的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x] 求),,(z y x f 对y 的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],y]求),,(z y x f 对x 的二阶偏导数, 则输入D[f[x,y,z],{x,2}] 求),,(z y x f 对y x ,的混合偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x,y] …………2.求全微分的命令Dt该命令只用于求二元函数),(y x f 的全微分时, 其基本格式为Dt[f[x,y]]其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y], 它们分别表示自变量的微分d x ,d y . 若函数),(y x f 的表 达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如a, 则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a], 若采用选 项Constants->{a}, 就可以得到正确结果, 即只要输入Dt[f[x,y],Constants->{a}]3. 计算重积分的命令lntegrate 和NIntegrate 例如,计算dydx xy x ⎰⎰102, 输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]则输出 151又如,计算dydx xy )sin(10102⎰⎰的近似值, 输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839注: Integrate 命令先对后边的变量积分.利用Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限.实验举例求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材 例1.1) 设),(cos )sin(2xy xy z +=求.,,,222yx zx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂输入Clear[z];z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2; D[z,x] D[z,y] D[z,{x,2}] D[z,x,y]则输出所求结果.例1.2 设,)1(y xy z +=求yzx z ∂∂∂∂,和全微分dz. 输入Clear[z];z=(1+x*y)^y; D[z,x] D[z,y]则有输出⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-]1[1)1()1(12xy Log xy xy xy xy y y y再输入Dt[z]则得到输出⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++]1[][1])[][()1(xy Log y Dt xy y xDt x yDt y xy y 例1.3 (教材 例1.2) 设,)(y xy a z +=其中a 是常数, 求dz.输入Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y (y 2Dt[x,Constants->{a}]+Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))其中Dt[x,Constants->{a}]就是d x , Dt[y,Constants->{a}]就是d y . 可以用代换命令“/.”把它们 换掉. 输入wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}]->dy}输出为(a+xy)-1+y (dxy 2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy]))例1.4 (教材 例1.3) 设v u e y v u e x u u cos ,sin -=+=,求.,,,yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 输入eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}](*第一个方程两边对x 求导数, 把u,v 看成x,y 的函数*) eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}](*第二个方程两边对x 求导数, 把u,v 看成x,y 的函数*)Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出}}]v [Sin E ]v [Cos E 1(u ]v [Cos E }]v ,u {ts tan NonCons ,x ,v [D ,]v [Sin E ]v [Cos E 1]v [Sin }]v ,u {ts tan NonCons ,x ,u [D {{u u u u u -+-->->-+->->- 其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u 对x 的偏导数, 而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v 对x 的偏导数. 类似地可求得u ,v 对y 的偏导数.多元函数的极值 例1.5 (教材 例1.4) 求x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值. 输入Clear[f];f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x; fx=D[f[x,y],x] fy=D[f[x,y],y]critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]则分别输出所求偏导数和驻点:2236369y y x x -++-{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=D[f[x,y],{x,2}]; fyy=D[f[x,y],{y,2}]; fxy=D[f[x,y],x,y]; disc=fxx*fyy-fxy^2输出为判别式函数2xy yy xx f f f -的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;TableForm[data,TableHeadings->{None,{ "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "}}]最后我们得到了四个驻点处的判别式与xx f 的值并以表格形式列出.X y fxx disc f -3 0 -12 -72 27 -3 2 -12 72 31 1 0 12 72 -5 1 2 12 -72 -1易见,当2,3=-=y x 时,12-=xx f 判别式disc=72, 函数有极大值31;当0,1==y x 时,12=xx f 判别式disc=72, 函数有极小值-5;当0,3=-=y x 和2,1==y x 时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum 来求一元函数的极值, 实际上,也可 以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]则输出{-5.,{x->1.,y->-2.36603×10-8}}从中看到在0,1==y x 的附近函数),(y x f 有极小值-5, 但y 的精度不够好.*例1.6 求函数22y x z +=在条件0122=-+++y x y x 下的极值. 输入Clear[f,g,la]; f[x_,y_]=x^2+y^2;g[x_,y_]=x^2+y^2+x+y-1; la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y]; extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]==0,D[la[x,y,r],y]==0,D[la[x,y,r],r]==0}]得到输出⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+->-+->-+->-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->--->--->-)31(21),31(21),33(31,)31(21),31(21),33(31y x r y x r再输入f[x,y]/.extpts//Simplify得到两个可能是条件极值的函数值}.32,32{-+但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}] g1=ListPlot[dian,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity]cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes-> Automatic,AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->60,Contours->{0},ContourShading-> False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing[{0.01}],AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----)31(21,2321,)31(21,2321及图1.1. 从图可见，在极值可疑点,2321,2321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-2321,2321处, 函数),(y x f z =的等高线与曲线0),(=y x g (虚线)相切. 函数),(y x f z =的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在)31(21),31(21--=--=y x 的附近观察, 可以得出),(y x f z =取条件极大的结论. 在),31(21+-=x)31(21+-=y 的附近观察, 可以得出),(y x f z =取条件极小的结论.计算重积分例1.7 (教材 例1.5) 计算,2dxdy xyD⎰⎰ 其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.先作出区域D 的草图, 易直接确定积分限,且应先对x 积分, 因此,输入 Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}] 则输出所求二重积分的计算结果.120193例1.8 (教材 例1.6) 计算,)(22dxdy e Dy x⎰⎰+- 其中D 为.122≤+y x如果用直角坐标计算, 输入Clear[f,r];f[x,y]=Exp [-(x^2+y^2)];Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]则输出为dx x 1Erf e 211x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⎰--其中Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难.如果改用极坐标来计算, 可用手工确定积分限, 输入Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出所求二重积分的计算结果eπ-π如果输入NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出积分的近似值1.98587实验习题1.设,x y ez =求.dz2.设),,(y xy f z =求.,,22222y x zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂3.设),sin (cos ),(228/)(22y x ey x g y x +=+-求.,,2yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂4.求265433051830120),(xy x x x x y x f +++--=的极值.5.求324y x z +=在01422=-+y x 条件下的极值.6. 计算⎰⎰-6/02/0.sin sin ππydydx x x y7. 计算下列积分的近似值: (1) ();cos 022dydx y x ⎰⎰-ππ(2)().sin 1010dydx e xy ⎰⎰(3)⎰⎰1010.)arctan(dydx xy8. 交换积分次序并计算下列积分 (1)()d ydx y x x⎰⎰30922cos . (2) .20422dxdy e yx ⎰⎰9. 用极坐标计算下列积分: (1);10122dydx y x yx ⎰⎰+ (2) .13/3/22dxdy yx y y y ⎰⎰-+*实验2 最小二乘拟合（基础实验）实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点,,,2,1),,(n k y x k k =寻求一条曲线),(x f y =使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求),(x f 使∑=-=nk k kyx f 12])([δ达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式),()()()(1100x c x c x c x f m m ϕϕϕ+++=其中)(,),(),(10x x x m ϕϕϕ 称为拟合函数的基底函数.为使δ取到极小值, 将)(x f 的表达式 代入, 对变量i c 求函数δ的偏导数, 令其等于零, 就得到由1+m 个方程组成的方程组, 从中 可解出).,,2,1,0(m i c i =基本命令1.求数据的拟合函数的命令Fit 拟合函数Fit[ ]的基本格式为Fit[data,funs,vars],其中,data 是数据, vars 为变量(可以是多个变量), funs 为1+m 个以vars 为变量的基底函数. 其 输出结果是以基底函数(funs)的线性组合形式为拟合函数的最佳拟合函数(最小二乘估计的 结果). Fit 命令既可以作曲线拟合, 也可以作曲面拟合. 这里只讨论曲线拟合问题.曲线拟合时的数据格式为}}.,{,},,{},,{{2211n n y x y x y x下面是作曲线拟合时常用的几种拟合函数的形式Fit[data,{1,x},x] 用线性函数bx a +拟合数据data.Fit[data,{1,x,x^2},x] 用二次函数2cx bx a ++拟合数据data.Fit[data,Table[x^i,Table[x^i,{i,0,n}],x] 用x 的n 次多项式拟合数据data. 2.多项式拟合函数PolynomialFitMathematica 在程序包NumericalMath 中提供了多项式拟合函数PolynomialFit, 其基本格 式为PolynomialFit[data,n]它按最小二乘法构造n 次多项式函数拟合数据data. 例如,输入<<NumericalMath`PolynomialFit`p=PolynomialFit[{1,4,9,16,25,36,49},3]则输出FittingPolynomial[< >, 3]这里虽然没有给出拟合多项式的解析表达式, 但在计算机中已经存在. 因此可以用来计算函 数的近似值. 输入p[10] (*计算)10(f 的近似值*) 就得到函数的近似值100. 如果要拟合多项式的解析表达式, 输入Expand[p[x]]则输出321515x .0x .1x 1077636.11010543.7++⨯+⨯---3.去掉矩阵中非数值列的命令DropNonNumericColumn 如果矩阵M 中有非数值的列, 可先输入调用软件包命令<<Statistics\DataManipulation.m执行以后, 再输入DropNonNumericColumn[M]则在输出的矩阵中已经把含有非数值的列去掉.4.在Mathematica 中作曲线拟合的一般步骤在Mathematica 中作曲线拟合, 可按以下步骤进行:(1)用ListPlot[数据]作散点图, 观察曲线的分布形状, 确定基底函数; (2)用Fit[ ]命令求拟合函数; (3)用Plot[ ]命令作拟合曲线图;(4)最后用Show[ ]命令把散点图与拟合曲线图放在同一坐标系内, 观察拟合效果.实验举例曲线拟合 例 2.1 (教材 例 2.1) 为研究某一化学反应过程中温度)(C x 对产品得率(%)y 的影响, 测得数据如下:x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89试求其拟合曲线.输入点的坐标, 作散点图, 即输入b2={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},{180,85},{190,89}};fp=ListPlot[b2]则输出题设数据的散点图.通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入Fit[b2,{1,x},x] (*用Fit 作拟合, 这里是线性拟合*)则输出拟合直线-2.73939+0.48303x作图观察拟合效果. 输入gp=Plot[%,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction->Identity]; (*作拟合曲线的图形*)Show[fp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction](*显示数据点与拟合曲线*)例2.2 (教材 例2.2) 给定平面上点的坐标如下表:3627.100253.99493.70978.74337.69378.55687.53057.51234.59.08.07.06.05.04.03.02.01.0y x 试求其拟合曲线.输入data={{0.1,5.1234},{0.2,5.3057},{0.3,5.5687},{0.4, 5.9378},{0.5,6.4337},{0.6,7.0978},{0.7,7.9493},{0.8,9.0253},{0.9,10.3627}};pd=ListPlot[data];则输出题设数据的散点图.观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数.,,12x x 输入f=Fit[data,{1,x,x^2},x]则输出5.30661-1.83196x+8.17149x 2再输入fd=Plot[f,{x,0,1},DisplayFunction->Identity]; Show[pd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出平面上的点与拟合抛物线的图形.下面的例子说明Fit 的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于2,,1x x 等. 例2.3 (教材 例2.3) 使用初等函数的组合进行拟合的例子. 先计算一个数表. 输入ft=Table[N[1+2Exp[-x/3]],{x,10}]则输出{2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135}然后用基函数)exp(),3/exp(,sin ,1x x x --来做曲线拟合. 输入Fit[ft,{1,Sin[x],Exp[-x/3],Exp[-x]},x]则输出拟合函数][1022045.2.21044089.4.1163/15x Sin e e x x ----⨯++⨯-其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入Chop[%]则输出3/.2.1x e -+实际上,我们正是用这个函数做的数表.注:命令Chop 的基本格式为Chop[expr,δ]其含义是去掉表达式expr 的系数中绝对值小于δ的项,δ的默认值为1010-.实验3 水箱的流量问题（综合实验）实验目的掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.问题(1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L)).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水1~2次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量f并估计一天的总用水量.),(t表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水位落到27E以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.模型假设(1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求.(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以, 可以认为每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记V表示水的容积;V表示时刻i t(单位:h)水的容积;)(t f表示流出水箱的i水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p 表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(,2h r V π=单 位:G 481.7E 1,G 1033= ). 输入tt={0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932, 39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535, 71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270}/3600//Nvv=Pi*(57/2)^2*{3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697, no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767, 2697,no_data,no_data,3475,3397,3340}*10^(-2)*7.481/10^3//N则输出下表.由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点 及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度输入tt1=Table[(tt[[i+1]]+tt[[i]])/2,{i,27}]vv1=Table[(vv[[i]]-vv[[i+1]])/(tt[[i+1]]-tt[[i]]),{i,27}]则输出下表模型求解为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令<<Statistics\DataManipulation.m执行以后再输入Clear[L];L=Transpose[DropNonNumericColumn[{tt1,vv1*10^3}]](*命令中vv1*10^3,使平均水流量vv1的单位变为G/h*)g1=ListPlot[L]则输出图3.1图中空白区域为泵水时间. 从中可以看出数据分布不均匀. 我们采用8阶多项式进行拟合. 输入ft=Fit[L,Table[t^i,{i,0,8}],t]则输出8765432t00024547.0t0248438.0t01085.1t1138.21t101.240t79.1468t62.4690t96.78394.16281+-+-+-+-这就是流出水箱的水的流速关于时间t的函数)(tf. 为作出其拟合曲线图, 输入fg=Plot[ft,{t,0,26},DisplayFunction->Identity];Show[g1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出图3.2.图3.2求解结果将460556.0=t h 和460556.24=t h 代入到水的流速拟合函数),(t f 我们得到这两时刻的 流速分别近似为13532.5G/h 和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为)(t f 能近似表达 一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数)(t f 在24小时周期内的积分.输入Integrate[ft,{t,0.46,24.46}]则输出 336013.G若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.模型评价该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模 型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌 水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.实验报告某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高, 预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.202225282932343841/00.650.500.550.400.450.300.350.200.2/万瓶预期销售量元售价为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入4万元的广告费, 销售增长因 子为1.95. 即销售量将是预期销售量的1.95倍. 根据经验, 广告费与销售增长因子的关系见 下表.8.195.100.295.185.170.140.100.1706050403020100)(销售增长因子元广告费用试确定装饰材料商店的最佳营销策略, 即确定彩漆售价和广告费投入使得预期的利润最 大?实验4 线性规划问题（综合实验）实验目的 通过建立投资收益和风险问题的线性规划模型, 掌握利用线性规划理论建立实际问题的数学模型的思想和方法. 掌握将双目标优化问题转化为单目标优化问题的思想和方法. 掌握用Mathematica 求解线性规划问题的基本方法.基本命令1.约束最大与约束最小命令求解线性规划问题的命令为ConstrainedMax 与ConstrainedMin. 其的基本格式是:ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y,…}]在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f 的最大值, 约定变量{x ,y ,…}都大于或等于0;ConstrainedMin{f,{inequalities},{x,y,…}}在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f 的最小值, 约定变量{x ,y ,…}都大于或等于0.注：上面两个命令都有一个可选参数:Tolerance 允许误差 (默认值是610-).例如, 输入ConstrainedMin[1.5 x+2.5 y,{x+3 y>=3,x+y>=2},{x,y}]则输出{3.5,{x->1.5,y->0.5}}即当5.0y ,5.1x ==时, 函数取得最小值3.5. 在约束条件中可以使用等号, 但要用“= =”表示. 例如,输入ConstrainedMax[5 x+3 y+2 z+4 t,{3 x+y+2 z+8 t==10,2 x+4 y+2 z+t==10},{x,y,z,t}]则输出{18,{x->3,y->1,z->0,t->0}}有时, 输出结果可能有些问题. 输入ConstrainedMax[3x+2y-1,{x<1,y<2},{x,y}]则输出{6,{x->1,y->2}}即当2,1==y x 时, 函数取最大值6.注: 约束条件使用严格不等号, 结果仍旧取在边界上. 输入ConstrainedMax[x+y,{x+y<=15},{x,y}]则输出{15,{x->15,y->10}}这个问题有无穷多最优解, 这里只给出其中之一, 而且没有给出任何提示信息.前面的例题总是给出一个最优解, 属于正常情况.下面的例子是非正常的情况. 例如, 输入ConstrainedMax[x+y,{x-y>=0,3x-y<=-3},{x,y}]则在输入行的下面给出提示ConstrainedMax::nsat:The specified constraints cannot be satisfied.并输出ConstrainedMax[x+y,{x-y>=0,3x-y<=-3},{x,y}]其含义是: 没有可行解, 因此没有最优解. 然后返回投资的收益和风险问题.输入ConstrainedMax[2x+y,{x-y>=-1,-0.5x+y<=2},{x,y}]在输入行的下面给出提示ConstrainedMax::nbddt:Specified domain appearsunbounded,with tolerance1.’*^-6.并输出{∞,{x->Indeterminate,y->Indeterminate}}其含义是: 可行区域无界, 问题没有最大值, 或说最大值是无穷大. 然后返回投资的收益和风险问题.2.线性规划命令LinearProgramming当自变量和约束不等式较多时, 用ConstrainedMax 或ConstrainedMin 求解就比较麻烦. 此时, 可将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示, 然后使用LinearProgramming. 其基本格式为LinearProgramming[c,m,b]其中c 是行向量, b 是列向量, m 是矩阵, 自变量用x 表示, 使用该命令, 则在满足不等式b mx ≥且0≥x 的可行区域中, 求出函数cx 的最小值点x .注: 实际输入时, b 仍以行向量表示. 此外, 这个命令也有可选参数Tolerance, 其含义与前面的说明相同.例如, 用约束最小命令计算, 输入ConstrainedMin[2x-3y,{x+y<10,x-y>2,x>1},{x,y}]则输出{0,{x->6,y->4}}改为用线性规划命令计算, 输入LinearProgramming[{2,-3},{{-1,-1},{1,-1},{1,0}},{-10,2,1}]则输出{6,4}两者结果一样, 但表示的方法不同.注: 当有无穷多组解时, 线性规划命令仍不会给出提示信息.应用举例例1 生产计划中线性规划模型某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间, 生产A ,B ,C ,D ,E ,F 六种产品,根据车床性能和以前的生产情况, 得知生产单位产品所需车间的工作小时数, 每个车间每月工作小时的上限, 以及产品的价格如表1.数学建模以621,,,x x x 分别表示产品A ,B ,C ,D ,E ,F 的每月生产数量, 则它们应满足约束条件90008.003.010005.002.070005.002.085003.003.003.001.001.001.0635241654321≤+≤+≤+≤+++++x x x x x x x x x x x x , (6,,2,1,0 =≥j x j )并使目标函数65432160.064.072.032.028.040.0x x x x x x f +++++=达到最大. 这里, 称T x x x x x x x ),,,,,(654321=为决策变量, f 为目标函数, 决策变量应满足的不等式组为约束条件, 其中0≥x 称为非负约束.模型求解将上述模型写成矩阵的形式, 并用LinearProgramming 命令求解.在矩阵形式中, 需求目标函数的最小值, 而且要用大于等于约束条件. 因此将目标函数与约束条件改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥---≥---≥---≥------------=-90008.003.010005.002.070005.002.085003.003.003.001.001.001.0..60.064.072.032.028.040.0min 635241654321654321x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x f 其中6,,2,1,0 =≥j x j .输入c={-0.4,-0.28,-0.32,-0.72,-0.64,-0.6};A={{-0.01,-0.01,-0.01,-0.03,-0.03,-0.03},{-0.02,0,0,-0.05,0,0},{0,-0.02,0,0,-0.05,0},{0,0,-0.03,0,0,-0.08}};b={-850,-700,-100,-900}; x=LinearProgramming[c,A,b]则输出{35000.,5000.,30000.,0,0,0}这里只输出决策变量的取值, 而没有目标函数的最优值. 目标函数f -的最小值为,cx f =-输入c.x则得到输出-25000因此, 所求目标函数f 的最优值为25000.例2 投资的收益和风险问题 （1998年全国大学生数学建模竞赛的A 题）市场上有n 种资产(如股票、债券、…)),,1(n i S i =供投资者选择, 某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r , 并预测出购买i S 的风险损失率为.i q 考虑到投资越分散总的风险越小, 公司确定, 当用这笔资金购买若干种资产时, 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量.购买i S 要付交易费, 费率为i p , 并且当购买额不超过给定值i u 时, 交易费按购买i u 计算(不买当然无需付费). 另外, 假定同期银行存款利率是0r , 既无交易费又无风险.已知4=n 时的相关数据如表2：试给该公司设计一种投资组合方案, 即用给定的资金M , 有选择地购买若干种资产或存银行生息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.模型的分析与建立这是一个优化问题, 要决策的是向每种资产的投资额, 要达到的目标包括两方面要求: 净收益最大和总体风险最小, 即本题是一个双目标优化问题. 一般地, 这两个目标是矛盾的, 净收益愈大, 风险也就随之增加; 反过来也一样. 因此, 不可能提供这两个目标同时达到最优的决策方案. 我们能做到的是: 在风险一定的前提下, 取得收益最大的决策; 或在收益一定的前提下, 使得风险最小的决策; 或是在收益和风险按确定偏好比例的前提下的最优决策. 这样, 我们得到的不再是一个方案, 而是一组方案供投资者选择.设购买0 ;,,1,0(S n i S i =表示存入银行)的金额为,i x 所付的交易费记为),(i i x c 则⎪⎩⎪⎨⎧≥==<<==ii ii i i i i i i i u x x p x c n i u x u p x x c ,0)(;,,2,1,0,,0)(00 对i S 投资的净收益为 ),,1,0()()(n i x c x r x R i i i i i i =-= 对i S 投资的风险为0),,,1,0()(0===q n i x q x Q i i i i对i S 投资所需资金(即购买金额i x 与所需的手续费)(i i x c 之和)为),,1,0()()(n i x c x x f i i i i i =+=投资方案用),,,(10n x x x x =表示, 则净收益总额为∑==ni iix R x R 0)()(总体风险为)(max )(0i i ni x Q x Q ≤≤=所需资金为∑==ni iix f x F 0)()(于是, 总收益最大、总体风险最小的双目标优化模型可以表示为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,)()()(min x M x F x R x Q x 上述双目标优化模型一般情况下是难于直接求解的, 根据我们前面的分析, 通常可以把它转化为以下三种单目标优化问题:模型a. 假设投资的风险水平是k , 即要求总体风险)(x Q 限制在风险k 以内: ,)(k x Q ≤ 则模型可转化为,)(,)(..)(max ≥=≤x M x F k x Q t s x R模型 b. 假设投资的盈利水平是h , 即要求净收益总额)(x R 不少于,)(:h x R h ≥ 则模型可转化为:,)(,)(..)(min ≥=≥x M x F h x R t s x Q模型 c. 线性加权法, 在多目标规划问题中, 人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此, 假定投资者对风险—收益的相对偏好参数为),0(≥ρ 则模型可转化为:,)(..)()1()(min ≥=--x M x F t s x R x Q ρρ模型的化简与求解由于交易费)(i i x c 是分段函数, 使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂, 是一个非线性规划问题, 难于求解. 但注意到总投资额M 相当大, 一旦投资资产,i S 其投资额i x 一般都会超过,i u 于是, 交易费)(i i x c 可简化为线性函数i i i i x p x c =)(从而, 资金约束可简化为净收益总额可简化为∑∑∑===-=-==ni iiin i iiii n i iixp r x c x r x R x R 0)()]([)()(在实际进行计算时, 可设1=M , 此时),,1,0()1(n i x p y i i i =+=可视为投资i S 的比例.以下的模型求解都在上述两个简化条件下进行讨论的. (1) 模型a 的求解模型a 的约束条件为k x Q ≤)(, 即k x q x Q x Q i i ni i i ni ≤==≤≤≤≤)(max )(max )(00所以,该约束条件可转化为),,1,0(n i kx q i i =≤这时模型a 可化简为如下的线性规划问题:,1)1(,,2,1,..)(max≥=+=≤-∑∑==x xp n i k x q t s xp r ni iii i ni iii具体到4=n 的情形, 按投资的收益和风险问题中表1给定的数据, 模型为:)4,,1,0(0,1065.1045.102.101.1026.0,055.0,015.0,025.0..185.0185.019.027.005.0max 43210432143210 =≥=++++≤≤≤≤++++i x x x x x x k x k x k x k x t s x x x x x i利用Mathematica 求解模型a, 以005.0=k 为例, 输入Clear[f,st,k,var]; k=0.005;f=0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4;st={0.025*x1<=k,0.015*x2<=k,0.055*x3<=k,0.026*x4<=k,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4==1};var={x0,x1,x2,x3,x4}; Mx p x f x F ni i i ni i i =+==∑∑==0)1()()(ConstrainedMax[f,st,var]则输出{0.177638,{x0->0.158192,x1->0.2,x2->0.333333,x3->0.0909091,x4->0.192308}}这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091, 0.192308)时,可以获得总体风险不超过0.005的最大收益为0.177638M .现计算出当k 取不同值(0~0.03)时的最大收益, 输入Clear[st];st[k_]:={0.025*x1<=k,0.015*x2<=k, 0.055*x3<=k,0.026*x4<=k,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4==1};Table[ConstrainedMax[f,st[k],var],{k,0,0.03,0.002}]模型a 的输出结果列于表3:表300990099.00267327.0030.0000990099.00267327.0028.0000990099.00267327.0026.0000298039.096.00264863.0024.00010902.088.00258314.0022.000188235.08.00251765.0020.000267451.072.00245216.0018.000346667.064.00238667.0016.000425882.056.00232118.0014.000505098.048.00225569.0012.000584314.04.0021902.0010.00127081.0533333.032.00211243.0008.0221221.0109091.04.024.00201908.0006.0153846.00727273.0266667.016.0326554.015211.0004.00769231.00363636.0133333.008.0663277.0101055.0002.00000.105.0043210x x x x x R k 净收益风险从表3的计算结果可以看出, 对低风险水平, 除了存入银行外, 投资首选是风险率最低的,2S 然后是1S 和,4S 总收益较低; 对高风险水平, 总收益较高, 投资方向是选择净收益率i i p r -较大的1S 和.2S 这些与人们的经验是一致的.(ii) 模型b 的求解模型b 为极小极大规划模型,1)1(,)(..)(max min 00≥=+≥-∑∑==≤≤x x p h x p r t s x q ni i i ni i i i i i ni但是, 可以引进变量)(max 01i i ni n x q x ≤≤+=, 将它改写为如下的线性规划:1min +n x具体到4=n 的情形, 按投资的收益和风险问题中表23.1给定的数据, 模型为:)5,,1,0(0,1065.1045.102.101.1,185.0185.019.027.005.0,026.0,055.0,015.0,025.0..min 432104321055352515=≥=++++≥++++≤≤≤≤i x x x x x x h x x x x x x x x x x x x t s x i利用Mathematica 求解模型b, 计算出当h 取不同的值(0.04~0.26)时的最小风险和最优决策, 输入Clear[st,var];var={x0,x1,x2,x3,x4,x5};st[h_]:={0.025*x1-x5<=0,0.015*x2-x5<=0,0.055*x3-x5<=0,0.026*x4-x5<=0,0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4>=h,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4==1};Table[ConstrainedMin[x5,st[h],var],{h,0.04,0.26,0.02}]模型b 的输出结果列于表4(其中第一行171610,10--可以近似看作是0).表40886228.0900599.00022515.026.000330539.0656287.000164072.024.000572455.0411976.000102994.022.0266.01068636.0391733.023504.00107092.000587599.020.0195866.00925914.0339502.0203701.0142615.000509253.018.0165733.00783465.0287271.0172362.027452.000430906.016.01356.00641017.023504.0141024.0406426.000352559.014.0105466.00498569.0182809.0109685.0538331.000274213.012.00753332.00356121.0130578.00783465.0670236.000195866.010.00451999.00213672.00783465.00470079.0802142.00011752.008.00150666.000712241.00261155.00156693.0934047.0000391733.006.01077556.2001011022.1.1004.0171643210--⨯-⨯x x x x x Q h 风险水平净收益从表4的计算结果, 我们可以推出与模型a 类似的结果.(iii)模型c 的求解类似模型b 的求解, 我们同样引进变量)(max 01i i ni n x q x ≤≤+=, 将它改写为如下的线性规划:,1)1(;,,2,1,0,..)()1(min 0101≥=+=≤---∑∑=+=+x xp n i x x q t s xp r x ni iin i i ni iiin ρρ具体到4=n 的情形, 按投资的收益和风险问题表中给定的数据, 模型为95)5,,1,0(0,1065.1045.102.101.1,026.0,055.0,015.0,025.0..)185.0185.019.027.005.0)(1(min 4321054535251432105 =≥=++++≤≤≤≤++++--i x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x i ρρ利用Mathematica 求解模型c, 计算出当ρ取不同的值(0.7~0.98)时的最小风险和最优决策, 输入Clear[f,st,var];f[a_]:=a*x5-(1-a)*(0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4); st={0.025*x1-x5<=0,0.015*x2-x5<=0,0.055*x3- x5<=0,0.026*x4-x5<=0,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4==1};var={x0,x1,x2,x3,x4,x5};Table[ConstrainedMin[f[a],st,var],{a,0.7,0.98,0.04}] 模型c 的输出结果列于下表5:表5000.1098.0228446.0107993.0395973.0237584.000059396.094.0228446.0107993.0395973.0237584.000059396.090.0228446.0107993.0395973.0237584.000059396.086.00142714.0523286.0313972.0000784929.082.00615006.0369004.0000922509.078.000099099.000247525.074.000099099.000247525.070.043210x x x x x Q 风险偏好系数ρ从表5的结果可以看出, 随着偏好系数ρ的增加, 也就是对风险的日益重视, 投资方案的总体风险会大大降低, 资金会从净收益率i i p r -较大的项目,,,421S S S 转向无风险的项目银行存款. 这和模型a 的结果是一致的, 也符合人们日常的经验.实验报告1.有甲、乙、丙三块地, 单位面积的产量(单位:kg)如下:别是25万公斤、8万公斤和50万公斤时, 如何制定种植计划才能使总产量最高, 而总投资最少? 试建立数学模型.2.运输问题: 设有三个工厂A ,B ,C 同时需要某种原料, 需要量分别是17万吨, 18万吨, 15万吨. 现有两厂X ,Y 分别有该原料23万吨.每万吨动费如下表(单位:元):表73.根据表8的数据, 按例2的要求作投资的收益和风险分析.96。

多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。

而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。

一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。

向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。

对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。

对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。

这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。

而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。

有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。

同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。

二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。

同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。

但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。

第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

大学数学基础教程：多元函数微积分
多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支，它的研究主要集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算。

多元函数微积分的研究内容包括多元函数的微分、积分和极限的概念、多个变量函数的极限和极值、多元函数的微分和积分的计算方法以及相关应用。

多元函数微积分的基本概念是：多元函数是指有任意多个自变量的函数，它的微分和积分的概念是建立在单元函数微积分的基础上的，只是由于自变量的多个性，使得微分和积分的计算更加复杂，也更加有趣。

多元函数微积分的基本概念中涉及了多元函数的微分和积分的概念，其中微分概念是微积分的基础，它是指用来表示函数极限值变化率的量，微分是微积分中最重要的概念，它是指在某一特定方向上函数的变化率或变化速度，微分的计算方法有多种，例如：对多元函数的各个变量的偏导数，和变量的极限的计算等。

积分概念是指把一个多元函数的曲线上某一特定区域的面积积分，它是微积分的另一个重要的概念，积分的概念可以用来计算函数的变化量，也可以用来表示函数的极值，积分的计算方法也有很多，例如：曲面积分、曲线积分等，这些计算方法都可以用来计算某个多元函数的积分值。

多元函数微积分的研究不仅仅是为了计算多元函数的微分和积分，更重要的是要理解多元函数的极限和极值，以及多元函数的变化规律，它可以为研究多元函数的变化规律提供有效的方法，也可以帮助我们更好的理解多元函数的变化规律，从而帮助我们做出正确的判断和决策。

总之，多元函数微积分是高等数学中一个重要的分支，它是从单元函数微积分中发展而来的，它的研究集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算，它对研究多元函数的变化规律有重要的意义。

一元和多元函数的微积分学微积分学是数学中的一个重要分支，其理论和方法在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。

微积分学包括一元函数微积分学和多元函数微积分学两个部分，下面将对它们进行介绍。

一元函数微积分学一元函数微积分学主要研究的是只涉及一个自变量的函数及其相关概念和方法。

其中最基本的概念是导数和定积分，它们分别对应着函数的局部变化率和全局面积。

导数具有局部性质，可以用来刻画函数的变化趋势和极值点，而定积分则具有全局性质，可以用来求解曲线下的面积、质量、重心等物理量。

在具体的计算中，需要运用导数和定积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、分部积分法等等。

通过这些方法，我们可以计算给定函数的导函数和不定积分，从而求出函数的局部极值和定积分的值。

此外，还可以运用微积分学的理论和方法来研究曲线的几何性质，如弧长、曲率半径、切线、法线等等。

在实际应用中，一元函数微积分学常常被用来描述物理、经济、工程等领域中的过程和现象。

例如，在物理中，我们可以用速度函数的积分来求出物体的位移、用牛顿第二定律和微积分方法来研究物体的运动轨迹、用曲率和法线来描述曲线道路等等。

在经济学中，我们可以用边际收益和边际成本的分析方法来研究市场的供求变化、用利润函数和成本函数的微分来研究企业的经营策略等等。

多元函数微积分学多元函数微积分学则研究的是涉及多个自变量的函数及其相关概念和方法。

在多元函数中，函数的取值不仅仅依赖于一个自变量，而是依赖于多个自变量，例如三维空间中的坐标系中的点映射到现实生活中物体的形态或函数的变化。

这就需要我们引入偏导数和重积分的概念。

偏导数对应多元函数在某个自变量上的变化率，而重积分对应多元函数在一定区域内的累积值。

在具体计算中，我们需要运用偏导数和重积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、重积分交换积分次序法等等。

在实际应用中，多元函数微积分学同样有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过研究多元函数的偏导数来探索多维空间中的物理规律、用重积分来求解质心、转动惯量等物理量；在经济学中，我们可以将多元函数应用于市场的分析、企业的决策等问题中、运用它来预测消费者对某个产品的接受程度等等。

《微积分学教程》г.м 菲赫金哥尔茨第一卷第一分册绪论实数（四节1－33 共33 页）第一章极限论（四节34－84 共51页）第二章一元函数（五节85－178 共94页）第三章导数及微分（六节179－264 共86页）第四章利用导数研究函数（五节265－338 共74页）第二分册第五章多元函数（五节339－443 共105页）第六章函数行列式及其应用（四节444－505 共62页）第七章微分学在几何上的应用（五节506－592 共87页）附录函数推广的问题（593－606 共14页）第二卷第一分册第八章原函数（不定积分）（五节1－84 共84页）第九章定积分（五节85－159 共75页）第十章积分学在几何学、力学与物理学中的应用（四节160－254 共95页）第二分册第十一章常数项无穷级数（八节255－377 共123页）第十二章函数序列与函数级数（五节378－482 共105页）第三分册第十三章瑕积分（五节483－573 共91页）第十四章依赖于参数的积分（五节574－724 共151页）附录极限的一般观点（725－746 共22页）第三卷第一分册第十五章曲线积分*斯底尔吉斯积分（五节1－119 共119页）第十六章二重积分（五节120－247 共128页）第二分册第十七章曲面面积*曲面积分（四节249－320 共72页）第十八章三重积分及多重积分（五节321－423 共103页）第三分册第十九章傅立叶级数（七节425－590 共166页）第二十章傅立叶级数（续）（四节591－668 共78页）三卷共８分册，分为３个Pdf文档，共32.1M（Http下载）。

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：2222212sin cos 1121u u x dux x u tg dx u u u -====+++，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a'='=-'=⋅'=-⋅'='=+'=222(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arc cot )11()x x x x x x thx ch '='='=+'=-+'=2222sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(xxdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x C x xdx x Ca a dx Ca shxdx chx C chxdx shx C x C==+==-+⋅=+⋅=-+=+=+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x xC a=-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式：·和差化积公式： ·积化和差公式：·和差角公式： ·万能公式、正切代换、其他公式：·倍角公式：[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+--sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x 3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=-222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin cot 1cot 22cot 2tan tan 21tan αααααααααααααα==-=-=--==-2222222222222tan1tan 22sin cos 1tan 1tan 221tan cos sin 1tan 1tan tan sec 1cot csc 1|sin ||||tan |x xx x x xx x x x xx x x x x x x -==++==++=-=-<<， ， ， sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα±=±±=±±=⋅⋅±=±·半角公式：sin cos 221cos sin 1cos sin tancot 2sin 1cos 2sin 1cos αααααααααααα==-+=====+- ·正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcsin arccos arctan arccot 22x x x xππ=-=- 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。