同济大学高数E复习题附答案

2011级高数E复习题----答案

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2011级高数E复习题------答案

一、填空题

1． 已知cos20()sinxFxttdt，则()Fx .

2()cossin(cos)(sin)Fxxxx

2． 3sin0lim(12)xxx .

31236sin2sin00lim(12)lim(12)xxxxxxxxe

3. 已知 sinxyx，则y .

sinlnsinsinsincoslncoslnxxxxxyexxxxxxx

4.已知(),+,xfexx且其中x,又知(1)0f,则()fx

（ ）

()ln()lnxxfexuexufuu

()()lnlnfufuduuduuuuC

(1)1ln1101()ln1fCCfxxxx

5． 曲线2ln(1)yx的凹区间是 .凸区间是 。

2222222222(1)222(1)ln(1)1(1)(1)xxxxxyxyyxxx

x (,1) (1,1) (1,)

y 0 0 0

y   

二. 求解微分方程

1． 0lnyyyx

ln0ln(ln)lnlnlnlnlnyydydxCCyyxCyxyyxxx

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Cxye

2.21d1d0yxyxxy

22111ln(1)lnln1(1)121ydydxxdxyCyxxxxx

2211xyCx

3． 21,11xyyxy

2221111ln22xydydxxdxyxxCxx

2211110ln122xyxyxxCC 2211ln122yxx

三、 已知sin,0(),01sin1,0xxxfxkxxxx在 0x处连续，求k的值

00sinlim()lim1xxxfxx 001lim()limsin11xxfxxx 1k

四、求极限运算

1． 0023113132323limlim4113Lxxxxxx

2． 111111111ln(2)12limlimlim11ln(2)(1)ln(2)ln(2)2111limlim2(2)ln(2)12ln(2)12LxxxLxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3． 22200211121limlim22Lxxxxxxx

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4． 000011111limlimlimlime1(1)12xxxLLxxxxxxxxxxxexeexxeexeeexe

5．求极限

2222111sin111lncoscossin1limlimlim011arccotcos1Lxxxxxxxxxxxxx

五、求下列函数的导数或微分：

1．21lnxyx 24331(1ln)2122ln12lnxxxxxxyxxx

2．cosxyx

coslncoslncoscoscossinlnsinlnxxxxxxxyeexxxxxxx

3. 1eyyx，求y 1yyyyeyexeyyxe

4．4252sin2xyxx，求dy

3345ln54cos2(45ln54cos2)xxyxxdyxxdx

5．cossinyxxx，求dy

cossin(sincos)(cossinsinyxxxxxdyxxxxxxdx

6．设函数()yyx由方程33ln()cosxyxyx确定，求dydx

332231ln()cos(3)3sincosxyxyxxyxyxyxxy

3523221()cos33sinsin3dyxxyxyxxyxyxxydx

六、计算下列积分：

1．

00000111sin3cos3cos3cos3333111sin3393xxdxxdxxxxdxx

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2．

dlnln(12ln)12ln12l12nxdxxCxxx

3．

2222ed222xxxxxxxxxxdexeexdxxexeeC

4． 23d65xxxx

23(5)(1)3126515xABAxBxxABxxxx

22312(5)dln65151xxxdxCxxxxx

5．

222222222121111darctan(1)11xxxxdxdxxCxxxxxxx

6.

211111ln2(2)2222dxxdxdxCxxxxxxx

7．

1lne1211001ln13d(1ln)ln(1)22xuexxxdxuduuux

8．

1111100000ed11xxxxxxxxdexeedxeeee

9．

221111222221110101sindsin0211112(arctan)21242xxxxxxxdxdxdxxxxxx

10．

222222223442222sinsin11601133xxxxxdxdxxdxxxx

七. 求下列各曲线所围成的平面图形的面积：

1． 曲线xy1与直线2,xxy

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21,11yyxxxx

22211113lnln222Axdxxxx

2． 曲线2xy与两直线xyxy2,

221201yxxxxxyx 22122022yxxxxxyx

21122223010111177(2)(2)323236Axxdxxxdxxxx

3． 曲线23,xyxy与直线2x

23212301yxxxxxyx

22324311111117()(161)(81)434312Axxdxxx

4．求由曲线243yxx 及其在点(0,3)与(3,0)的切线所围成的图形的面积。

解 ：2402yxx，在点(0,3)，43443yyxyx

在点(3,0)，642(3)26yyxyx

433432669262yxxxxxyx

3322230233323223322303202(4343)(2643)119(69)39334Axxxdxxxxdxxdxxxdxxxxx

八．求由曲线xysin与它在2x处的切线以及直线x所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

解：

222222221cos211sinsin22222224xVxdxdxxx

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九.证明不等式： 当0x时，3arctan3xxx

证：

令3()arctan(0,)3xFxxxx

22442222111()1(0,)()0111xxxxFxxxFxxxx

(0,)()xFx

0()(0)0xFxF 3arctan3xxx ▍