复递增年金和每年支付m次的变额年金

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复递增年金和每年支付m次的变额年金

时,V0存在,可以计算 i
•若
,即
时,1式发散.
• 若 i 付款额为 5000元,以后每期付款额是前一期付款额的1.05倍.当利率分别为0.04、0.05和 0.08时,计算该永续年金的现值.
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变.若m
次的付款的每次付款额相等,则其和为1单
位付款的倍数.付款的增长发生在每个计
息期期初.增长幅度为1/m,故增长后本付
款期付款总额要比上一次付款期付款额增
长1单位.从计息期看,每个计息期付款总额
成等差数列,但每个计息期内的付款总额
却保持不变,这种变化年金的现值用符号
表示
,且有( Ia ) (m ) n
• 例3-9某项年金在第1年的每月末支付 2000元,在第2年的每月末支付2100元, 在第3年的每月末支付2200元,…在第10 年的每月末支付3000元.假设年实际利率为5%,计算该年金的现值.
• 练习某期末付年金每年付款4次,首次付款为1000元,以后每次付款较前一次付款增加1000元,共付款5年,年实际利率为 8%.计算第5年年末的年金积累值.
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) n
na n i(m)
(Ds)(m) n
n(1i)n
i(m)
s n
(Da)(m)
na n
n
d(m)
(Ds)(m)
n(1i)n
s n
n
d(m)
• 若 i k ,则
PV n
• 例3-8投资者拥有一份20年期的期初付递增年金,该年金在第一年初给付200元, 以后给付今额按10%的复利递增,假设年实际利率为5%,请计算此项年金在时刻零时的现值.

等额年金

4
1、期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor

第三章变额年金(2)

n
exp(
n)
exp( 2
n)
1
2
1
exp(
n)
n
exp(
n)
a nvn n
v e
11
连续递增年金的终值为
(Is )
(1 i)n (Ia)
s n n
n
n
12
例：一项10年期的连续递增年金，在时刻 t 的付款比率为 9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。
解：可以将此项年金的现金流分解成两部分：连续递增年金连续等额年金
例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款比率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。
解：假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值可表示为：
3(Is ) 4s
7
7
从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：
[3(Is ) 4s ]e0.06(72) [3(Is ) 4s ]e0.3
na n
n
n(1 vn ) a nvn
n
na
n
18
例：一份10年期的年金，在时刻 t 的付款比率为 10t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。
n
(I a ) tetdt n 0
注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此
上式中字母 I 和 a 上都有横线。
10
上式右边可用分部积分法展开：
n
t exp( t)dt
0
n 0
t
dexp( t)
t
exp(
t
)
n 0
n 0
exp( t)dt

《利息理论》等额年金知识分析

4
1、期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， i1，i2，，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|

寿险精算学-年金4

1+ r n j
1.05 10 j
其中
j = i − r = 0.113 − 0.05 = 0.06 1+ r 1+ 0.05
因此该项年金的现值为：
1000 1 a = 1000× 1 × 1−1.06−10 = 7009.61
1.05 10 6%
1.05 0.06
34
期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第 n 年初给付金额为 (1+ r)n−1 元。
25
4.2 递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金：第一期末支付 n 元，第二期末支付 n – 1 元，…，第 n 期末支付1元。按算术级数递减。
时期
0
递减年金
1
2
3
… n –1 n
n n –1 n –2 …
2
1
1
1
1
…
1
1
1
1
1
…
1
等
1
1
1
…
额
…
…
…
年
1
1
1
金
1
1
26
1
因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：
δ n→∞
=
1
δ
11
3.2 连续支付年金的积累值
连续支付年金的积累值可以通过极限方式求得：
s n
|
=
lim s(m)
m→∞ n |
=
lim
m→∞
(1+ i)n i(m)
−1
=
(1+ i)n

年金的公式总结范文

年金是指按照一定的时间间隔、一定的利率和一定的期限，定期支付的一笔固定金额的现金流。

年金的计算可以使用不同的公式，下面将总结一些常用的年金公式。

1.普通年金公式：普通年金是指在一定的时间间隔内，每期支付相同数额的现金流。

普通年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、n （总期数）、i（利率）五个变量。

普通年金公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]FV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；n是总期数；i是利率。

2.分期付款公式：分期付款是一种特殊的年金，在分期付款中，每期支付的金额是不同的。

分期付款公式包括PV（现值）、FV（未来值）、n（总期数）三个变量，公式如下：PV=C1/(1+i)^1+C2/(1+i)^2+…+Cn/(1+i)^nFV=C1×(1+i)^1+C2×(1+i)^2+…+Cn×(1+i)^n其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；C1、C2、…、Cn是每期支付的金额；n是总期数；i是利率。

3.延期年金公式：延期年金是指在一定的时间间隔内，推迟一段时间后开始支付的现金流。

延期年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、d（延迟期数）、n（总期数）、i（利率）六个变量，公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]×(1+i)^-dFV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]×(1+i)^-d其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；d是延迟期数；n是总期数；i是利率。

保险精算学公式

《精算技术》公式第一章利息理论1nn v a i-=；()11nn n v a a i d-=+=；()()111nnn n i s a i i+-=+=；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11511000x l x ；1a i ∞=；1a d∞=；1nn v a δ-=；()11nni s δ+-=；()nn na nv Ia i-=；()()()1nn n n s n Is Ia i i-=+=；()nnn a Da i-=；()()1nnn n i s Ds i+-=；()211Ia i i∞=+。

第二章生命表22xx xm q m =+；1x x x l l d +=-； x x x d q l =；()112x x x L l l +=+； 1x x x t t T L ϖ--+==∑；xx xT e l =。

第三章生存年金生存年金的概念及其种类。

生存年金现值计算公式x a :x n a:x n a|n x ax am x am x a)m ()m x ax a -12m m -()|m n x a x +12m m -n ()|m n xa x a -12m m -n ():m x n a +12m m -(1-():m x na :x n a -12m m-(1-x axN D :x n ax N D -)x Ia :)x n Ia:)x n Ia)x n a)x a:)x n Da:)x n Da)x Ia)x Ia各种年金之间的关系式：x a =:x n a +|n x a|n x a =n x E x n a +x a =1+x a :x n a =1+:1x n a -|n x a =1|n x a - |n mx a =1|n m x a -:x n s =:x na 1n x E :x n s =:x na 1n xE ()m x a =()m x a +1m()m x a =():m x n a +()|m n x a ()|m n xa =n x E ()m x n a +转换函数的定义x x x D v l =x N =0x t t D ∞+=∑x S =0x t t N ∞+=∑=()01x t t t D ∞+=+∑x D =0tx tx t v l dt ++⎰=0tx t D dt +⎰x N =0x t t D ∞+=∑=0x t D dt ∞+⎰x S =0x t t N ∞+=∑=()01x t t t D ∞+=+∑第四章人寿保险转换函数的定义：x C =1x x v d + x M =0x t t C ∞+=∑x x t t R M ∞+==∑1110x x x t x t x t x t C v l dt D dt μμ+++++==⎰⎰x x t x t x t t M C D dt μ∞∞+++===∑⎰x x t t R M ∞+==∑通常以x iC δ，()121x i C +，12x i C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭近似x C 。

浅谈货币时间价值与各类年金

230大众商务年金（Annuity)，是一种特殊的现金流，定义为一系列的付款或收款。

由年金延伸出的各种计算问题关系生活的方方面面，小到分期付款大到养老金的领取等都涉及年金理论的应用。

一、年金年金最早的含义是指一种支付时间和支付金额非常规律的现金流，通俗来讲就是，每年付款一次，每次支付相同金额。

现在，年金的含义更广泛应用于一般的情形，如每季付款一次、每月付款一次，或每周付款一次都可以称作年金。

同时，支付金额也可以是按照某种特定规律变化。

年金在我们的经济生活中非常普遍，如支付房屋的租金、商品的分期付款、分期偿还贷款、发放养老金、银行存储，又或是人人热衷的投资，都属于年金。

由此可见，年金与我们的生活联系紧密。

二、货币时间价值在年金上的体现货币的时间价值，是指由于时间因素的作用而使现在一笔货币资金高于将来某个时期的同等金额的数量差额，或指货币资金随时间的推移所具有的增殖能力。

换言之，即同样数量的货币，在今天比在今后某个时期价值更高。

如果把一笔货币作为本金，经过一段时间，就会带来利润，使自身得到增殖。

比如，现在的1元，按社会利率在未来得到增殖；反过来，未来的1元要按贴现率缩小，才能得到它在现在的价值。

货币的时间价值反映的是人们对货币资金的利用效果。

货币时间价值有现在值、将来值、等年值三种形式。

这几种形式，对应到年金上，也就是我们常说的年金的现值、终值以及一定时间内以每年等额支付的费用。

三、年金的分类现实中的年金多种多样，我们可以从不同的角度对它们进行分类。

第一，确定年金和风险年金。

按照支付时间和支付金额，将两者为事先确定的年金视为确定年金；而两者都不确定则视为风险年金，而现实生活中很多情况下都是风险年金。

第二，定期年金和永续年金。

支付期限有限的年金则视为定期年金；如果支付期限无限，则为永续年金。

某些特殊情形下也可视为永续年金，如没有到期期限的西方债券或是无到期日的优先股。

第三，期初付年金和期末付年金。

在每个支付周期初支付的年金称为期初付年金；在每个支付周期末支付的年金称为期末付年金。

第一章利息理论(年金问题)

例1.12

某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？
例1.12答案
（1） Ra1512 0.465% 300000
例1.19:

某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到 10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.19答案
前四次付款第四年年末积累值为 1000 4 0.06 4637 .09 s 这笔存款再按6%的年利率积累到第年年末, 积累值为 10 4637 .09 (1 6%)6 6577 .80 后六年年金积累到第十年的积累值为 1000 6 0.1 8487 .17 s 两笔年金积累值之和为: 6577 .80 8487 .17 15064 .97

分类

等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金

一般年金

二、基本年金

基本年金

等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金

分类

基本年金图示
1.延付年金（期末付年金）
an v v 2 v n
记：an ——延付年金现值
2.初付年金（期初付年金）
记：an ——延付年金现值
an an sn
v (1 v n ) 1 v n v v v 1 v i 基本年金公式推导 1 v n 1 v v n 1 (1 i ) an d 1 (1 i ) n (1 i ) n 1 n 1 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) i

金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一个合约的回收是指合约到期时可以实现的现金价值，不考虑合约签订时发生的初始费用。

答案:正确2.在利率互换合约中，互换利率等于浮动利率的加权平均数。

答案:正确3.假设当前的期货价格为30，年波动率为30%，无风险连续复利为5%。

用两步二叉树计算6个月期的执行价格为31的欧式看涨期权的价格答案:大于24.股票当前的价格为50元，波动率为每年10%。

一个基于该股票的欧式看跌期权，有效期为2个月，执行价格为50元。

连续复利的无风险年利率为5%。

构造一个二步（每步为一个月）的二叉树为该期权定价。

答案:小于0.65.期权价格也称作执行价格答案:错误6.美式看涨期权多头的盈利可以无限大答案:正确7.假设股票的现价为100元，一年期看涨期权的执行价格为105元，期权费为9.4元，年有效利率为5%。

如果一年后的股票价格为115元，则该看涨期权的盈亏为0.13元。

答案:正确8.假设股票的现价为100元，一年期看跌期权的执行价格为105元，期权费为8元，年有效利率为5%。

如果一年后的股票价格为105元，则该看跌期权的盈亏为3元。

答案:错误9.债券的面值为1000元，息票率为6%，期限为5年，到期按面值偿还，到期收益率为8%。

应用理论方法计算该债券在购买9个月后的账面值。

答案:大于93010.一份股票看涨期权的执行价格为40元，期权费为2元，期权的有效期是半年，无风险的连续复利为5%。

假设期权到期时的股票价格为43元，在期权到期时，多头可以达到盈亏平衡点的股票价格为多少？答案:大于40，小于5011.股票现价为60，一份2个月到期的该股票美式看涨期权的交割价格为60，连续复利为5%，股票无红利支付，波动率为30%，应用两阶段二叉树模型计算该期权的价值。

答案:2.8412.期权的回收小于期权的盈亏答案:错误13.美式看涨期权和看跌期权的价格之间存在一种平价关系答案:错误14.标的资产的现价越高，欧式看涨期权与看跌期权的价格之差越大答案:正确15.债券的面值,为1000，期限为20年，到期偿还值为1050元，每年末支付一次利息。

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nm
m
1
1
m 1[vm 1( 1 vm 1vn)]nm vnv1 m (1vm 1v)1vni (mn )ivn1
(Ia)(m) n
1
vn nivn1 ivi(m)
1vn nvn iv i(m)
a (1i) nvn a&&nvn
n i(m)
n
i(m)
(Is)(nm) (Ia)(nm)(1i)n-& s& n i(m )n
-
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后本付款期付款总额要比上一次付款期付款额增长1单位。从计息期看，每个计息期付款总额成等差数列，但每个计息期内的付款总额却保持不变，这种变化年金的现值用符号表示( Ia )(m ) ，且有
n
-
(Ia)(m) 1(vm 1vm 2Lv)2(v1m 1v1m 2Lv2)L
nm
m
n(vn1m 1vn1m 2Lvn) m
v(Ia)(m)1(v1m 1v1m 2Lv2)2(v2m 1v2m 2Lv3)L
nmபைடு நூலகம்
m
n(vnm 1vnm 2Lvn1) m
-
iv(Ia)(m)1(vm 1vm 2Lvv1m 1v1m 2Lvn)n(vnm 1vnm 2Lvn1)
-
• 若 i k ，则
PV n
-
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递增，假设年实际利率为5%，请计算此项年金在时刻零时的现值。
-
• 当 n 时，上述年金变为永续年金。
• 若以计11 算 ki 出 1该，年即金k的现i 值时；，V(0)存在，可
-
期初付递增年金
• 假设一项期初付年金各期付款额成等比数列，即各期付款额依次为：1 ,(1 r),(1 r)2,L ,(1 r)n 1。则该年金现值为：
PV1v(1r)v2(1r)2 L vn1(1r)n1
•
1[v(1r)]n
1(1r)n 1i
1v(1r)
ir
(i r)（1）
1i
PV vv2(1r)v3(1r)2 L vn(1r)n1
v[11r (1r)2 L (1r)n1]
1i 1i
1i
•
111ri
n
(i r)
i r
（1）
-
• 若 i k ，则
PV nv n 1 i
-
• 【例3-7】投资者拥有一项10年期期末付的递增年金，第一年末付1000元，此后的给付金额按复利5%递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金时刻0 的现值
复递增年金和每年支付m 次的变额年金
-
复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固定比例增长的年金。
• 用来分析通货膨胀下的现金流。
-
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付年金各期付款额成等比数列，即各期付款
额为：1 ,(1 r),(1 r)2,L ,(1 r)n 1。则该年金现值为：
-
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) n
na n i(m)
(Ds)(m) n
n(1i)n
i(m)
s n
-
(Da&&)(m)
na n
n
d(m)
(D& s& )(m)
n(1i)n
s n
n
d(m)
-
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年实际利率为5%，计算该年金的现值。
-
• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首次付款为1000元，以后每次付款较前一次付款增加1000元，共付款5年，年实际利率为8%。计算第5年年末的年金积累值。
•若
，即
时，（1）式发散。
1 k 1 1 i
ki
• 若 i k 时，永续年金的现值不存在的。
-
• 【练习】某期末付永续年金首期付款额为5000元，以后每期付款额是前一期付款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
-
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金

复递增年金和每年支付m次的变额年金

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