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利息理论 第4章 变额年金

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保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

利息理论 年金

利息理论 年金


例2-7 某人从1980年1月1日起开始向希望工程 捐款，每年捐款支付3000元，到2005年1月1 日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将 持续到2019年1月1日为止。假设年实质利率 为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻 的价值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日； （7）2060年1月1日。
2-3 永续年金
a∞
&& && a∞
1=i a∞
a∞ =1/i
（i>0）
2
(2-14A) (2-14B)
1 a∞ =v+v +…= i
（i>0）
1 − vn a∞ = lim an = lim =1/i （i>0） (2-14C) n →∞ n →∞ i
&& 1=d a∞ && a∞ =1/d a∞ =1+v+v2+…=1/d
1．付款频率小于计息频率的 情况
（1）期末付年金
1 0 1 2 …k-1 k
1 … 2k …
1 n-2k …
1 n-k …
1 n
图（2-10A） 年金支付图
假设每个计息期的实质利率为 i，则该年金的现值为： vk+ v2k+…+ v
n ⋅k k
例2-13 在利率为i时，某人存入银行10000 元，然后每年年末从银行支取1000元， 共支取12年，恰好支取完毕，计算i值。
例 2-14 推导如下的求解未知利率问题
an i =k 的初值公式
k 2 1- ( ) n i0= k
第1章利息理论

第1章利息理论


2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
第四章 年金精算现值

第四章 年金精算现值


延期m年的n年定期生存年金
m n 1
a m| x:n|
vk
k
px
a x: m n |
a x:m|
m Ex
a xm:n|
k m
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
一般公式
n年定期变额生存年金的精算现值
x n 1
( APV ) x by v yx yx px yx
终身变额生存年金的精算现值
二、生存年金
（一次性生存给付-精算折现因子）
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年 末获得生存赔付的保险。
也就是上一章讲到的n年期生存保险。n年期生存
保险的趸缴纯保费为 A 1
x:n
在生存年金研究中习惯用
n
Ex表示该保险的精算现
值，且将其称为精算折现因子。
n Ex
A1 x:n
vn n px
二、生存年金
（一次性生存给付-精算积累因子）
精算积累因子
S 1 (1 i)n
n Ex
n px
(x)现在存入1元，仅其n年后生存时才获得 给付，则n年后生存时的给付额为 1 n Ex 元。
二、生存年金
（一次性生存给付相关公式及意义）
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
1 n Ex
二、 期初付年金的精算现值与
寿险精算现值之间的关系
年龄为x岁的人，投资1元能使
其在生存期间每年得到利息额
d 的给付，一旦其死亡，便立
A da 1 x
x
即获得1元的死亡保险金
( Y a 1 vK1 )
A da 1 x:n|
x:n|
K 1|
《利息理论》等额年金知识分析

《利息理论》等额年金知识分析

4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2， ，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|
寿险精算学利息理论基础

寿险精算学利息理论基础

精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
Dvfkpws寿险精算数学教学大纲

Dvfkpws寿险精算数学教学大纲

课程代码
MATH130058
编写时间
2007.1
课程名称
寿险精算数学
英文名称
Actuarial Mathematics
学分数
3
周学时
3
任课教师*
李荣敏
开课院系
数学学院
预修课程
利息理论，概率论与数理统计
课程性质：
本课程是数学学院选修课，为数学学院本科三、四年级学生所选。
基本要求和教学目的：
通过本课程的学习，学生应熟练掌握寿险精算的主要内容，利用精算原理解决寿险中的有关问题，为今后的工作、学习打下坚实的基础。
七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。
-----啸之记。
寿险精算数学教学大纲
(Actuarial Mathematics)
掌握连续、离散、半连续保费的背景及相互之间的关系，能利用计算基数来计算相关保费。
第五章受益保费的责任准备金（一共14学时）
§1完全连续受益保费责任准备金及相关公式（3学时）
§2完全离散受益保费责任准备金及相关公式（2学时）
§3半连续保费及真正m次保费责任准备金（3学时）
§4受益保费责任准备金的递归公式与微分方程（3学时）
课程基本内容简介：
本课程主要内容为寿险精算的基本原理、方法与技巧，包括以下部分：生存分布，人寿保险，生存年金，受益保费，受益保费的责任准备金。
教学方式:
课堂授课+适量的习题
教材和教学参考资料
作者
教材名称
出版社
第1章利息理论

第1章利息理论



i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i

例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
金融数学课本知识精粹

金融数学课本知识精粹


n n 1k
或i

1
n 1k
( n 1 =1/2)
2n
2n
2
4、可赎回债券计算收益率时：i i

g (溢价发行)：赎回日尽可能早 g(折价发行): 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
m
系列债券的价格
t 1
pt

m t 1
Kt

g i
m
( Ct
t 1

m t 1
(g i)vnt1
1 (g i)a nt i
n-1 g ng 合计 ng
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i
ng-p
(g i)v2 (g i)v1
1 (g i)a 1i
1
(g i)a p ni
3、票息支付周期内债券的估价
Bf
债券的平价： t k
pk =vnk 1
2、连续偿还的分期偿还表
t时刻的余额
Btp


a nt


Btr

an
(1 i)t

S t
9
t时刻偿还的本金利息


I



Bt

pt 1 I 1 Bt
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
n 1
j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量
B：期末基金的本息和
I：投资期内基金所得收入 Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1）
C：在此期间的现金流之和 C Ct ，
t
第一章利息理论

第一章利息理论

30
p P-300
P+336 p
0
1.

336 i p
p 2800 300 i
p 300
1

2.

Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d

p

2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
利息理论

利息理论

中山大学本科教学大纲学院（实体系）：岭南学院金融系课程名称：利息理论二○○二年利息理论教学大纲课程名称：（中文）利息理论（英文）The Theory of Interest课程类别：必修课编号: 学时：36主编姓名：张勇单位：岭南学院金融系职称：初级主审姓名：单位：职称：授课对象: 本科生专业：保险专业年级：三年级编写日期：2002年12月一、课程目的与教学基本要求牢固掌握。

本课程对如何开发保险产品、分析保险产品特性、偿付能力监管和保险资金运用等方面都是非常重要的，通过对本课程的学习，还要使学生能用其理论对相应问题进行分析。

二、课程内容第一章：利息的度量及其求解。

本章主要讲度量利息的一些基本方法以及它们之间的相互关系，包括实质利率与名义利率、实质贴现率与名义贴现率、单利与复利、利率强度等等；本金、利息、投资时期和现金流之间通过价值方程建立起来的关系。

本章的重点在于理解这里的实质利率与名义利率和通货膨胀条件下的含义是不同的，以及各种度量方法之间的关系；难点是利率强度的运用和货币时间价值与价值方程。

本章的学时数为4学时。

第二章：理论即期利率与利率期限结构。

本章要讲的内容是：到期收益率和理论即期利率的相互关系和计算方法；利率期限结构的特征；用到期收益率来构造利率期限结构存在的缺点；利率期限结构的基本理论：纯预期理论、流动性理论、偏好习性理论和市场分割理论。

本章的重点和难点是理论即期利率的计算方法以及在金融产品定价中的运用。

本章的学时数为4学时。

第三章：基本年金。

本章涉及的内容包括：年金的概念和分类；延付年金现值和积累值计算公式的推导；初付年金现值和积累值计算公式的推导；各公式之间的相互关系；永久年金；任意时期年金值的计算；非标准时期与利率的年金值的计算；如何求解未知时间或未知利率的问题；变利息年金的求解。

本章的重点是推导延付年金和初付年金的计算公式，以及怎样把任意时期年金转化为延付年金和初付年金；难点在于变利息。

(3)变额年金


until 25 payments in total are made.

Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）


含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。

其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05

因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21

期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|

n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1

利息理论总结

第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。

总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。

A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。

那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。

2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。

3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。

利息理论

下述方程：
8|6% Aa8|6% (1 6%) 50000 Aa
因此每年初的租金为 50000 50000 50000 A 7596 (元) 8|6% a a8|6% (1 6%) 6.20981.06 即
8|6% 50000 7596 a
2.2 年金的现值
2.2 年金的现值
2.2.1 期末付定期年金（Annuity-immediate）的现值 • 单位货币期末付定期年金的现值 n n v ( 1 v ) 1 v an| v v 2 v n1 v n (2-1) 1 v i • an| 计算公式的变形及其意义 n (2-2) 1 ia v
n n 1 n i
1 i

k i
(2-6)
• 每期末支付k元的永续年金的现值
ka| lim kan | k lim
n n 1 n i
2.2 年金的现值
2.2.4 期初付永续年金的现值
• 单位货币期初付永续年金的现值 1 n | lim a n | lim d a
2.1.1 年金的基本概念 • 经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金最原始的含义 – 年金含义的延伸 1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以 是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。
•
2.1 年金的含义
购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该 类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把支 付时间间隔相等的一系列款项称为年金（annuity）。年金任意 时刻的价值，与支付方式（期初，期末）、计息期的实际利率 （有效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是 金融保险业务中十分常见的支付款项。

利息理论第四章课后答案解析

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。

计算第5次偿还款后的贷款余额。

解：550.125.10000 1.1220004917.7rB S =⨯-=2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。

解：10100.0810(1.081)()468.05,700.14xx x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。

若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：0000040410444104410(1)15001200,16514.374150016514.37rB L S L a=+-==+= 或L=12000v4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。

解：100.0810000(10000)x i S =-00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：72715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]rB a a a i S i S =++-++过去法：71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )373583300020001000(2)ra a V a a =+=+未来法：B6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：（1）2t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）（2）t t+3t+1t+2B +BB +B解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=-- 21311n t n t p V a V a ----=或 2221=()n t Va --或p212=t t ++或（B -B ）（2）1321231n t n t t t t t B B B B VV V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()41+i =1.5。

(3)变额年金-2


(1.061837) 2 − 1 = 2.124948 0.06
( Is ) 2 =
2.124948 − 2 = 2.082467 0.06
⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.06×(7 − 2) = ⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• 因此，本例年金的终值为：
0.5 0
=
∫ (10t + 3) exp ⎡ −(0.1t ⎣
0
2
+ 0.06t ) ⎤dt ⎦
77
= 2.68
78
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
⎡ a ⎤ b ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣ 0 ⎦ a ⎣ a ⎦
81 82
因此上述现金流在时刻零的现值为：
10.88 × 0.90484 = 9.84
3
a 0
t
1
b
c
为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一 时点 c，有两种方法：
方法一：利用前面的公式计算此现金流在时刻b的终 值，再将此值累积到时刻c。
⎡c ⎤ b ⎡b ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣b ⎦ a ⎣t ⎦
上式右边可用分部积分法展开：
6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）
（continuously increasing annuity） 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为δ，则连续支付 连续递增年金的现值为：

利息理论第四章课后答案

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。

计算第5次偿还款后的贷款余额。

解：550.125.10000 1.1220004917.7rB S =⨯-=2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。

解：10100.0810(1.081)()468.05,700.14xx x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。

若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：0000040410444104410(1)15001200,16514.374150016514.37rB L S L a=+-==+= 或L=12000v4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。

解：100.0810000(10000)x i S =-00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：72715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]rB a a a i S i S =++-++过去法：71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )373583300020001000(2)ra a V a a =+=+未来法：B6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：（1）2t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）（2）t t+3t+1t+2B +BB +B解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=--21311n t n t p V a V a ----=或 2221=()n t V a --或p212=t t ++或（B -B ）（2）1321231n t n t t t t t B B B B VV V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()41+i =1.5。

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( m)

nm) n s( d ( m)
(I
( m)
a)
( m)
1 (m) (m) d d
例：某期末付年金，每年支付4次，共支付5
。 年，每年利息结转1次，年利率为4%，现采
用两种方式付款。 （1）第一年每次支付1000元，以后每年各 次支付额比前一年各次支付增加1000元； （2）首次支付1000元，以后每次支付额比 前次付款增加1000元。 求两种付款方式下的年金现值与终值。
1 v i
an
an1 an
五、几何级数年金
各年末给付如下 1，(1+r)，(1+r)2，----，(1+r)n-1 现值：

a v (1 r )v (1 r ) v (1 r ) v
2 2 3
n1 n
两边同乘(1+r)v，得：
n

n(1 i) sn
n
i
2、期初付
现值：
( Da)n
终值：
n an d
n
( D) n (1 i ) ( Da ) n s
n(1 i)n sn d
三、虹式年金
各年末的给付如下 1，2，3，---n，n-1，---3，2，1 现值：

( Ia ) n
1 ir
例、一项年金在第一年末付款为1，000元，以后每年 增长10%，共计10年，i=5%，求该年金的现值。
解：r=10% n=10 年金现值为：

i=5%
1 r 10 1 ( ) 1 i a 1000 (i r ) ir 1184666元 .
六、每年结转k次利息的变额年金
v( Ia ) n v 2v 2 nv n
两式相减： )n (1 v v 2 v n1 ) nv n (1 v)( Ia
an nv
( Ia)n d
n
n nvn a
终值
( I) n (1 i ) ( Ia ) n s
a n an
四、平顶虹式年金
各年末的给付如下 1，2，3，---n，n，n-1，---3，2，1 现值：

( Ia ) n

v ( Da) n
n
an nv i
n
v
n
n an i

an v an
n
.
i
n 1

an vn (van ) i
讨论

1）若i=r
2 2 3 n1 n
a v (1 i)v (1 i) v (1 i) v
v v v nv n 1 i
2)当r<i时，收敛，有永续年金。
1 r n 1 ( ) lim a lim 1 i n ir n
(1 r )va (1 r )v (1 r ) v (1 r ) v
2 2 3 n n1
两式相减得：
[1 (1 r )v]a v (1 r ) v
n n1
ir 1 r n a v[1 ( ) ] 1 i 1 i
1 r n 1 ( ) 1 i a (i r ) ir
n

s
( m) n
n
i
( m)
3、永续年金
(I
( m)
a)
( m) ( anm) nvn lim ( m) n
i
1 (m) (m) d i
4、对于期初付年金
(I
(I
( m)
a)
) s
( m) n
( m) n

( anm ) nvn d ( m)
( Ia ) n v 2v 3v nv
2 3
n
两边同乘(1+i):
(1 i )( Ia ) n 1 2v 3v 2 nv n1
2 n 1 n
两式相减：
i ( Ia ) n (1 v v v ) nv
an nv
(m ) n
( Ia )
(m) n

3、终值
( Is )
(m) n

n n s i (m )
n n s d (m)
( I) s
(m) n

4、永续年金
( Ia )
(m)
lim
n
an nv i
( m)
n
1 (m) i d
1 (m) d d
k 2k nk
n
akn sk
~ ( Da )n
n
ank sk
isk
2）期初付
ank sk
n ~ ( Da )n
iak
七、每年支付m次的变额年金
等差跳跃式递增年金
等差均匀递增年金
（一）、等差跳跃式递增年金
1、期末付 设年利率为i，第一年内每次给付1/m；第二年内 每次给付2/m；----；第n年内每次给付n/m。则： (m) 第一年给付现值为 a 1 (m) 第二年给付现值为 2va1 ---n 1 ( m ) 第n年给付现值为 nv a
1 m
2 m
3 m
mn m
两边同乘 (1 i)
(1 i) ( I ( m ) a) ( m ) n
1 m
1 m
1 m m m m 2 (1 2v 3v m nv ) m
1
2
mn
1
两式相减：
1 ( m) ( m) m m m m m ( I a) n [(1 i) 1] 2 [(1 v v v v ) m nvn ] m 1 m 1 2 3 mn 1
k
两式相减
~ [(1 i ) k 1](Ia ) n (1 v v
k 2k
v
( n1) k
) nv
ank
nk

akn ak
nv
nk
~ ( Ia )n
ak
nvnk isk
永续年金
ank ( Ia) lim
n
ak
nv isk
nk
1 2 isk i sk ak
n

n n s d
2、永续年金
期末付
( Ia) lim
n
an nvn i
n nvn a d
1 d i
期初付
( Ia) lim
n
1 2 d
例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付 额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的 现值和终值。
1、n年期递增型年金 1）期末付：每次的利率为i，各年末的给付如 下 1，2，3，---，n 现值

~ ( Ia )n v k 2v 2 k nv nk
两边同乘(1+i)k,得：
~) 1 2v k nv ( n 1) k (1 i ) ( Ia n
1 (m) ( an nv n ) m
( I ( m ) a ) (nm ) ( anm ) nvn m[(1 i ) 1]
1 m

( anm ) nvn i ( m)
2、终值
(I
( m)
s)
( m) n

( nm) nvn a
i
( m)
(1 i)
第四章 变额年金
主要内容
标准递增型年金 标准递减型年金 虹式年金 平顶虹式年金 几何级数年金 每年结转k次利息的变额年金 每年支付m次的变额年金 连续变额年金

一、标准递增型年金
1、n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-----，n 现值：


1
该年金的现值为：
( Ia )
(m) n
a1( m ) 2va1( m ) nv n 1a ( m ) 1 n 1 (m) (1 2v nv )a1
an nvn d i i
( m)
a1

an nv i
(m )
n
2、期初付
an nv d

解：该年金的现值为：
900 a10 100 ( Ia )10
900a10 100 1088699元 . a10 10v i
10
二、标准递减型年金
n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-----，1 现值：

(Da)n nv (n 1)v 2 (n 2)v3 v n
两边同乘(1+i):
(1 i )( Da ) n n (n 1)v (n 2)v 2 v n1
两式相减：
i ( Da ) n n (v v v )
2 n
n an
( Da)n n an i
终值
( Ds ) n (1 i ) ( Da ) n
t 0
n

an nvn

( Is ) n
sn n

。

或：
m
lim ( I
( m)
a)
( m) n
lim
a
( m) n
nv
n
n
m
i ( m)

an nv

。