函数的极值及其应用

2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。

1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解解方程组得稳定点 P 0 （ 0 ， 0 ）．因为函数 f(x,y 在 R 2 上可微，所以f(x,y 只可能在 (0,0 点取极值，且容易验证 B 2 -AC=0 ，用二阶偏导数判别法得不到结论，但又知，所以由定理 2 知函数 f(x,y=xy 2 在 (0,0 点不取极值．以上介绍了多元函数极值的相关定义、性质及定理，并给出一些较为有价值的定理，解决了几类在数学分析教材中无法解决的问题，下面我们将给出一些实际例子来验证定理及推论在判别多元函数极值问题中的作用． 2 多元函数极值的应用多元函数极值在实际问题中的应用例 3 考试中心组织非英语专业等级考试，租用学校教室做考场，已知每个大教室可容纳考生 50 名，需 2 名教师监考，租金 70 元；每个小教室可容纳考生 30 名，需 2 名教师监考，租金 40 元，本次考试考生共 1800 名，可提供监考教师 114 名，问怎样安排大小考场才能既满足要求又最省租金？解设用小教室 x 1 个，大教室 x 2 个，则线性规划模型为 min {40x 1 +70x 2 } 使得其中化为标准形使得其中求得全部基本允许点：而可知规划最优点为．即用 30 个小教室，18 个大教室最优．例 3 这道题是最优化问题，主要解决了如何合理配置资源才能达到不浪费资源，取得最优效果的问题。

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

多元函数条件极值及其应用+文献综述摘要：多元函数条件极值在多元函数微分学中占有着很重要的地位.本文主要介绍了求多元函数条件极值的多种方法，例如消元法、拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、数形结合法、三角代换法等等.另外还对多元函数在约束条件下的最值、生产销售等方面的应用进行了探讨.29897 毕业论文关键词：多元函数；极值；条件极值Multivariate Function Conditional Extreme Value and Its ApplicationAbstract：The extreme value of multivariate function has an important status in the differential science of multiple functions. This paper mainly introduces the extremum of function of many variables and methods. For example: Elimination method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality method, gradient method and in combination with number form and so on. It also discusses the multivariate function extremum in such aspects as an inequation, production, sales and application. This paper, we focus on the inequality method for the extreme value of multivariate functionand its application.Key words: Multivariate function; Extremum;Condition Extremum目录摘要 1引言 21.多元函数条件极值的求解方法 31.1消元法 31.2 拉格朗日乘数法 31.3代换法 51.4 不等式法 61.5 二次方程判别式符号法 81.6 梯度法 101.7 数形结合法 111.8 三角代换法 112.多元函数条件极值的应用 122.1函数在约束条件下的最值 122.2生产和销售 14结束语 15参考文献 17致谢 18多元函数条件极值及其应用引言极端是数学的常态，所以极值问题是数学中最有魅力的一部分.多元函数条件极值在多元函数微分学中占有很重要的地位.它不仅在理论上有重要的应用.而且在科学研究中也有很重要的应用，特别是在实际问题中有着很广泛的利用.所以在许多学者研究者对于研究怎样判定和求解多元函数条件极值极感兴趣，可是很多研究仅仅局限在理论上现实应用还是比较少的.很多文献都对极值问题进行了研究.例如:文献[4]详细介绍了两类多元函数条件极值的简便求法；文献[1][2]主要介绍了拉格朗日乘数法求条件极值的方法；文献[7]主要探讨了用梯度法求条件极值；文献[11]主要介绍了多元函数条件极值的充分条件及其应用.本文在归纳总结以上文献的基础上,第一部分介绍了求多元函数条件极值的消元法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、梯度法、数形结合法、三角代换法，并举出实例说明如何恰当地运用上述方法求条件极值；第二节讨论了多元函数条件极值在实际中的应用，利用条件极值不仅可以求函数在约束条件下的最值，而且可以很好地应用在生产销售中，使厂家获利最大.1.多元函数条件极值的求解方法1.1消元法消元法适用于约束函数相对简单的条件极值求解，因为它是通过一个其他量替代的方法达到降元的效果，从而将条件极值问题转化为无条件极值问题来解决.例1 求由方程确定函数的极值.解将方程两边分别对，求偏导，得源自网(加7位QQ3249`114令，，得， .即驻点为 .又，因为，，故取极值.将，代入得， . :当时，，所以为极小值；当时，，所以为极大值.1.2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法比消元法适应范围相对广一些，如果所求多元函数条件极值的约束条件比较多时，那么拉格朗日乘数法就能很容易计算出结果.求函数为条件条件时，函数组条件的极值，若及是偏导数并且是连续的，而且为Jacobi矩阵。

航空工业管理学院毕业论文（设计）2015 届数学与应用数学专业1111061 班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX 学号XXXXXXX指导教师XXX职称XXX二O 一五年四月三十日容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。

无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。

这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。

在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。

通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。

关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用the Extreme Value of Binary Function and ItsApplicationXXXXXX By:XXXX Tutor: XXXXXAbstractDual function theory is the foundation of other disciplines, including extreme value is an important content in function, the extreme value also has a lot of research methods, and the function extreme value theory has a lot in life has practical significance. Both in scientific research, and in the logistics, the actual planning engineering, often need to solve how to make the investment to maximum output, output the most, the highest efficiency optimization.The actual problem can be transformed into a math problem research capabilities, And then into the function of the maximum and minimum value problem to solve. Is first of all, the paper proposes the research background and practical significance of binary function, then give the unconditional extreme value of binary function theory, the conditions of binary function extreme value theory, extreme value of binary function determination, as well as the extreme value of binary function theory application, for example. Illustrated by an example of extreme value problem, using the knowledge in solving the important application of binary function extremum problems.Key wordsDual function； unconditional extremum； conditional extreme value,； judgement； application第二章二元函数无条件极值理论 (2)2.1二元函数无条件极值的定义 (2)2.2二元函数无条件极值存在的必要条件 (2)2.3二元函数无条件极值存在的充分条件 (3)2.4二元函数极值的求解方法 (4)第三章二元函数条件极值理论 (6)1.1二元函数条件极值的定义 (6)1.2二元函数条件极值的求解方法 (6)第四章二元函数极值的判定 (13)4. 1 一阶偏导数判定极值 (13)4.1二元函数条件极值的简单判别法 (14)4.2极值判定的改进 (17)第五章二元函数极值的理论应用举例 (19)5.1二元函数极值的理论应用 (19)5.2极值的实际应用 (21)总结 (24)致 (25)第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。

多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme problemto explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singularKeywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i j nx x n i j i j g f x x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理 3.3[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C ===224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点 因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,i kLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi ii k k k lL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c -+-+-=化简,得 0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1Lx yz x a L y xz yb L z xy zc x y z a b c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===min 2V V abc ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法. 4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值. 解 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a au αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++22222()33a a αβαβ=++++≥等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .4.4 不等式法[4] 4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值.解 0,0,0,x y z >>> (,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z x y z=++++4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有 21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,n a a a 与1,2,nb b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进 而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值. 解 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立；即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =. 4.5 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值. 解 因为 1(2)2y x z f =+-, 代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥ 即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤+-≤≤ (2)或211f z z ≥--≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥, 即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3. 4.6 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 容易解出2x y == 根据题意,22 ⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一 数形结合法[7]解 设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=， 即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二 消元法解 设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+ 故当sin 21θ=，即x y ==22383x y +=达到最小值. 当sin 21θ=-，即x y =-=时，2238x y +=达到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤ 当且仅当x y =时等号成立 因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-， 当且仅当x y =时等号成立即 223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值 由于222x u xu +≤， 所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+=即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1）（4）若0,0x y <>，则问题转化为（2）解法四 拉格朗日乘数法解 设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190F x x y x F y y x y F x xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=； 若 x y =-，则219x =，x y =-=x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.二.多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图）， CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α， 光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值.作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+--解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y=+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为1402025255510x y S x y π=-=+-++ 且 25x y +=设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x-⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Me c c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件 00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。

分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。

在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。

分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。

本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。

一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。

分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。

但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。

为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。

二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。

对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。

假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。

具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。

§1-6函数的极值、最值在经济中的应用在各个经济领域和工农业生产中，经常需要解决最优化的问题，这些问题在数学的领域里就是求极值和最值的问题.一.函数的极值设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 如果对于任意)(0x U x ∈有 ))()()(()(00x f x f x f x f ><或,则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.如图4-1所示.图6-1由图4-1可以看出，在极值点出如果曲线的切线存在，则切线比与x 轴平行，此时切线的斜率为0.但是如果在某点的切线平行于x 轴，这一点不一定是极值点.在上述的分析基础上，我们给出函数极值的如下定理： 定理1(必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值,那么0)(0='x f .使0)(0='x f 的点称为驻点.驻点可能是函数的极值点，也可能不是函数的极值点. 定理2（极值判别法1）设函数)(x f 在点0x 的某邻域内连续且可导（但)(0x f '可以不存在）.（1）如果当0x x <时，0<')(x f ；当0x x >时，0>')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极小值；（2）如果当0x x <时，0>')(x f ；当0x x >时，0<')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极大值；（3）如果在点0x 的左右两侧（点0x 除外）的)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有极值. 由定理2，有求函数)(x f 的极值点和极值的步骤： （1）求出函数)(x f 的定义域和)(x f '；（2）解方程0=')(x f ，求出函数的驻点和一阶导数不存在点；（3）判断上述两种点左右两侧的一阶导数的符号，根据定理2求出极值点和极值. 例1求函数321)()(-=x x f 的极值.解 （1）函数的定义域为),(+∞-∞，3323213211-='-='-='x x x x f ])[(])([)(（2）令0=')(x f ，无解；但1=x 时，一阶导数不存在. （3）用1=x 将整个定义域),(+∞-∞划分为两部分，列表讨论：由上表可知，函数)(x f 的极小值为01=)(f ，无极大值. 定理3（极值判别法2）设)(,)(000x f x f ''='存在 （1）如果00>'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极小值； （2）如果00<'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极大值； （3）如果00='')(x f ，那么定理失效. 例2求函数33x x x f -=)(的极值.解 x x f x x x x x x f 611333323-=''+-=-='-=')();)(()()( 令0=')(x f ，得1121-==x x ,.因为061<-='')(f ，所以21=)(f 为极大值； 因为061>=-'')(f ，所以41-=-)(f 为极小值；二.函数的最值 从几何的角度看，若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，必然有一个最高点和一个最低点，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一定有最大值和最小值，如图4.1所示.取得最小值的点称为最小值点，取得最大值的点称为最大值点.最大值和最小值统称为最值.极值和最值是不同的概念，极值是局部性概念，最值是全局性概念.若函数在一个闭区间上连续，最值既可能在区间内部取得，也可能在区间端点取得，而极值只能在区间内部取得.在一个区间里极大（小）值可以有多个，而最值则是唯一的，如果有最大（小）值则只有一个，但取得最值的点可以有多个.如图4.2所示.如果最值在区间内部取得，若是最大值则一定是极大值，若是最小值则一定是极小值.因此连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最值只可能在以下几种点取得：（1）驻点；（2）导数不存在的点；（3）区间端点.所以有求连续函数在闭区间],[b a 上的最值的一般解题步骤：（1）求出函数在),(b a 内的所有驻点和导数不存在的点； （2）求出函数在上述点对应的函数值和端点函数值)(),(b f a f ；（3）比较这些函数值的大小，其中最大（小）的则是函数在],[b a 上的最大（小）值. 例3 求196)(23-+-=x x x x f 在区间]3,0[上的最大值和最小值.解 )(x f 在]3,0[上连续，)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点3,121==x x ，没有导数不存在的点， 计算3)1(,1)0(=-=f f ，1)3(-=f ,比较各值得函数在]3,0[上的最大值和最小值：,1)3()0(min-===f f y图4-2 图4-33)1(max==f y .例4 求323)4(1)(-⋅-=x x x f 在]3,0[上的最大值和最小值.解)(x f 在]3,0[上连续，313231313232)4()1(2)4()1(32)4()1(31)(---=--+--='--x x x x x x x x f令0)(='x f ，得驻点：2=x ；有导数不存在的点：4,1==x x （舍去，因为4不属于]3,0[）；计算3332)3(,4)2(,0)1(,22)0(===-=f f f f比较各值得)(x f 在]3,0[的最小值和最大值：,22)0(3min -==f y3max4)2(==f y .在求最值时需要注意两点： （1）若)(x f 在],[b a 上单调，则)(a f 和)(b f 是最值；若)(x f 在),(b a 上单调，则无最值；（2）若可导函数)(x f 在一个区间I （有限或无限，开或闭）内只有一个驻点，并且0x 是)(x f 唯一的极值点，那么当)(0x f 时极大值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最大值，当)(0x f 时极小值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最小值.例5 求)1ln(2+=x y 在)2,1(-上的最大值和最小值. 解 函数)1ln(2+=x y在)2,1(-上连续，122+='x xy ，令0='y ，得0=x ，无导数不存在的点.0=x 将)2,1(-分成两个区间：)20()0,1(，、-.列表讨论导数的符号变化及函数值的情况：由上表可得：)(x f 在0=x 取得极小值，极小值为0)0(=y ，并且只有一个极小值，没有极大值，所以此极小值为最小值，因此函数)1ln(2+=x y 在)2,1(-上没有最大值，有最小值为0)0(=y .三.极值、最值在经济中的应用举例 1.收入最大化问题例6 某房产公司有100套公寓要出租，当每套公寓的租金定为每月200元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少每月可获得多少的最大收入？解 设每套公寓的月租金为x （),200(+∞∈x ）元， 则租出去的房子有： )10200(100--x 套， 因此每月的收入：)10200100)(20()(---=x x x R )10120)(20(xx --= 5122)(x x R -=' 令0)(='x R 得610=x (唯一驻点)，因为051)(<-=''x R ，故34810)610(=R 为唯一的极值，且为极大值，此极大值为最大值，所以每月每套公寓租金为610元时收入最高，最高为34810元. 2.利润最大化问题设某商品的销售量为q ，总收益函数为)(q R ，总成本函数为)(q C ，总利润函数为)(q L ，则有)()()(q C q R q L -=，令0)()()(='-'='q C q R q L ，有)()(q C q R '='最大利润原则：必要条件：边际收益=边际成本充分条件：边际收益的变化率<边际成本的变化率例7 某企业的某一产品的一个季度价格函数为60005.0+-=x p （元／件） （100000≤≤x ）该产品的总成本为40020001.0)(2++-=x x x C （元），问该企业该季度应生产多少件产品才能获得最大利润，最大利润是多少？解 该季度的收入函数：x x px x R 60005.0)(2+-==该季度的利润函数：40040004.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L40008.0)(+-='x x L ，令0)(='x L 得5000=x ，计算 400)0(-=L ，9600)5000(=L ，400)10000(-=L比较各值得9600)5000(=L 为最大值，所以该企业该季度生产5000件产品才能获得9600元的利润.3.成本最小化问题在经济生产中经常会遇到在一定的生产条件下，怎样生产才能使成本最低的问题.在现实中，随着产量的增加总成本肯定呈现的是上升趋势，只会越来越大，所以不可能会有最低的总成本，故成本最小化问题不是讨论总成本最低问题，而是讨论平均成本最小的问题.某产品的平均成本是产量q 的函数：qq C q C )()(=，即)()(q C q q C =，两边求导得： )()()(q C q q C q C '+='，因此有qq C q C q C )()()(-'='，令0)(='q C ，有)()(q C q C ='，即边际成本等于平均成本，这就是平均成本最小化的必要条件.在求实际问题中，如果存在最小的平均成本，并且驻点唯一，则在此点上可以取得最小的平均成本.例8 某工厂生产q 吨产品时的边际成本为20002.0)(+='q q C （元／吨），固定成本为1600元，问产量是多少时平均成本最低？解 生产q 吨的总成本函数：160020001.01600)20002.0()(2++=++=⎰q q dq q q C生产q 吨的平均成本函数：qq q q C q C 160020001.0)()(++==， 求导有2160001.0)(qq C -='，令0)(='q C ，有4,421-==q q （舍去）， 因为)0(,03200)(3>>=''q qq C ，所以04.600)4(=C 为极小值，且为唯一的极值，故04.600)4(=C 为最小值，因此产量是4吨时平均成本最低.习题１－４１.求下列函数在指定区间上或整个定义域内的最值 （1）36)(2++=x x x f ； （2）xxx f +=1)(； （3）xxe x f =)( [-2，0]； （4）12)(2--=x x x f [0，2].２.要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问怎样设计才能使所用材料最省？ ３.某商品的需求量q 是价格p 的函数：p q 260-=，问p 是多少时总收益最大？４.某企业一年生产q 件产品的总成本为2220)(q q q C +=（万元），得到的总收入为232020)(q q q R -=（万元），问该企业一年应该生产多少件产品才能达到最大利润？最大利润为多少？５.某电子公司在一个月内生产q 个某种型号的电子产品，估计边际收益：q q R 4.010)(-='，该公司生产和销售这种型号的电子产品的总成本为：q q C 220)(+= 求该公司在一个月内生产多少个该型号的电子产品才能使利润最大？６.设某商品的总成本函数为1004)(2+=q q C ，求使平均成本最小的产量水平及最小平均成本？７.某商品的平均成本为4)(=q C ，价格是销售量q 的函数，q p 210-=，国家向企业每件商品征税为 t ，问在企业取得最大利润的情况下，t 为何值时才能使总税收最大？习题答案1.（1）解：)(x f 的定义域为R ，62)(+='x x f ，令0)(='x f ，得3-=x ，无一阶导数不存在点，因为02)(>=''x f ，所以6)3(-=-f 为极小值，而没有极大值，因此此极小值为最小值.故在其定义域内有一个最小值为6)3(-=-f .（2）解：)(x f 的定义域为1-≠x0)1(2)1(222)1()1(2)1()2()(222>+=+-+=+'+-+'='x x x x x x x x x x f 所以)(x f 在其定义域内单调递增，无最值.（3）解：)1()(+='x e x f x，令0)(='x f ，得1-=x ，无一阶导数不存在点， 计算 12)1(,0)0(,2)2(---=-=-=-e f f e f ，比较上述值有：最大值为0)0(=f ， 最小值为1)1(--=-e f .（4）最小值：1)2()0(-==f f ；最大值：0)1(=f .2. 解： 要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小.r ，高为h ，，底面积为，因此总表面积为)),0((22222∞+∈+===r r V r S r V h h r V πππ，所以有由体积公式)),0((0442,033∞+∈>+=''=='r r VS V r S ππ，又得令 。

导数的应用二——函数的极值【要点梳理】 要点一：函数的极值 函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则称函数)(x f 在0x 处取极大值，记作0()y f x =极大；并把0x 称为函数)(x f 的一个极大值点.（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，，则称函数)(x f 在0x 处取极小值，记作0()y f x =极小；并把0x 称为函数)(x f 的一个极小值点.极大值与极小值统称极值.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较.②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.用导数求函数极值的的基本步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

函数极值应用案例案例：卖柠檬水的小生意。

想象一下，你是个超级有商业头脑的小朋友，打算在炎热的夏天在街边卖柠檬水赚点零花钱。

你做了一些前期调查，发现柠檬水的价格和每天能卖出去的杯数之间存在着一种函数关系呢。

比如说，你把一杯柠檬水定价为1元的时候，因为价格便宜，可能一天能卖掉100杯。

但是呢，如果你把价格提高到2元一杯，可能因为有点小贵了，每天只能卖掉80杯。

要是你特别贪心，定价为5元一杯，那可能一天就只能卖掉30杯啦。

咱们可以把价格设为变量x（单位：元），卖出的杯数设为函数y。

经过一段时间的观察和统计，你发现这个函数大概是y = -10x^2+120x（这只是为了方便举例假设的一个函数哈）。

那怎么定价才能让自己赚最多的钱呢？这里就用到函数极值啦。

利润就是每杯的利润乘以卖出的杯数，每杯的利润就是价格x，所以总利润P = x× y=x(-10x^2+120x)= 10x^3+120x^2。

要求这个利润函数的极值，咱们就对P求导。

P^′=-30x^2 + 240x。

然后令P^′ = 0，也就是-30x^2+240x = 0。

解这个方程，先提出一个-30x，得到-30x(x 8)=0。

解得x = 0或者x = 8。

x = 0这个解显然没有意义啦，因为你不能免费送柠檬水赚钱呀。

那当x = 8的时候，就是这个利润函数的极值点。

再通过二阶导数P^′′=-60x + 240，把x = 8代入P^′′，得到P^′′(8)=-60×8+240=-240<0，这就说明x = 8的时候是极大值点。

所以呀，你定价8元一杯柠檬水的时候，能赚到最多的钱呢。

这就是函数极值在小生意中的一个超酷的应用啦，是不是很有趣？。

函数极大值极小值的定义在数学中，函数的极大值和极小值是函数理论中非常重要的概念。

它们帮助我们研究函数的特性和性质，进而解决各种实际问题。

本文将围绕函数的极大值和极小值展开讨论，介绍它们的定义、性质和应用。

一、极大值和极小值的定义在函数的定义域内，如果存在某个点，使得该点的函数值比它周围的其他点的函数值都要大或都要小，那么这个点就被称为函数的极大值或极小值。

具体来说，设函数f(x)在区间(a, b)上有定义，如果存在x0∈(a, b)，使得对于任意的x∈(a, b)，都有f(x0)≥f(x)，那么f(x0)就是函数f(x)在区间(a, b)上的极大值；如果存在x0∈(a, b)，使得对于任意的x∈(a, b)，都有f(x0)≤f(x)，那么f(x0)就是函数f(x)在区间(a, b)上的极小值。

二、极值点的性质1. 极值点是局部性质：极大值和极小值都是函数在某个区间内的性质，只关注该区间内的函数值，而不关注整个函数的性质。

2. 极值点的必要条件：如果函数f(x)在点x0处有极值，那么在x0处的导数f'(x0)应该不存在或为零。

这是因为导数表示函数在某点的变化率，极值点处函数的变化率应该为零或不存在。

3. 极值点的充分条件：如果函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)存在，并且在x0的左右两侧导数的符号相反，那么x0就是函数f(x)的极值点。

这是因为导数的符号表示函数的增减性，符号相反说明函数在x0的左右两侧增减性改变，即存在极值点。

三、求解极值的方法1. 导数法：根据极值点的必要条件，可以通过求函数的导数来寻找极值点。

首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标，再带入函数中计算纵坐标。

2. 二阶导数法：根据极值点的充分条件，可以通过求函数的二阶导数来判断极值点的类型。

如果二阶导数大于零，则函数在该点处有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处有极大值。

四、极值在实际问题中的应用函数的极值在实际问题中有着广泛的应用。