知识讲解-单调性与最大(小)值-提高

导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。

导数的应用二------函数的极值与最值编稿：赵 雷 审稿：李 霞

【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。2. 会用导数求函数的极大值、极小值。3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。4. 掌握函数极值与最值的简单应用。【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

)(xf0xx

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极大值

0x)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xfy极小值（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

三角函数的最值1．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】3例 1：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x＝2+2cos（2x +2휋4）．解：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x =1―푐표푠2푥2―푠푖푛2푥1+푐표푠2푥2+ 2•2=32+12（cos2x﹣sin2x）=32+2cos（2x +2휋4）．3故答案为：2+2cos（2x +2휋4）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例 2：函数y＝sin2x﹣sin x+3 的最大值是．解：令 sin x＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是t =1 2∴当t =12时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1 时或t＝1 时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1 时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1 时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1 时y 的值即 sin x＝﹣1 时，函数的最大值为 5．这个题就是典型的换元，把 sin x 看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．1/ 2【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．2/ 2。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习 考点知识14 三角函数的单调性和最值1.【2022年北京卷第5题】已知函数22()cos sin f x x x =-，则 A.()f x 在()26ππ--,上单调递减B.()f x 在()412ππ-,上单调递增 C.()f x 在(0)3π,上单调递减D.()f x 在7()412ππ,上单调递增【答案】C【解析】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.2.【2022年乙卷文科第11题】函数()cos (1)sin 1f x x x x =+++在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为A ．ππ,22-B ．3ππ,22-C ．ππ,222-+D ． 3ππ,222-+【答案】D【解析】()(1)cos f x x x '=+，当π(0,)2x ∈时，()0f x '>；当π3π(,)22x ∈时，()0f x '<；当3π(,2π)2x ∈时，()0f x '>.所以，3π3π()()22f x f ==-极小值;ππ()()222f x f ==+极大值.又(0)(2π)2f f ==，所以min 3π3π()()22f x f ==-;max ππ()()222f x f ==+.故选D . 3．【2022年新高考2卷第9题】函数)0)(2sin()(πϕϕ<<+=x x f 的图象以)0,32(π中心对称，则 A ．)(x f y =在)125,0(π单调递减； B ．)(x f y =在)1211,12(ππ-有2个极值点； C ．直线67π=x 是一条对称轴； D ．直线x y -=23是一条切线． 【答案】AD【解析】由题意得：0)34sin()32(=+=ϕππf ,所以πϕπk =+34即：ππϕk +-=34，Z k ∈ 又πϕ<<0，所以1=k 时，32πϕ=,故)322sin()(π+=x x f ． 选项A ：)125,0(π∈x 时)23,32(322πππ∈+x ，由u y sin =图象知)(x f y =是单调递减的； 选项B ：)1211,12(ππ-∈x 时)25,2(322πππ∈+x ，由u y sin =图象知)(x f y =只有1个极值点，由23322ππ=+x 可解得极值点； 选项C ：67π=x 时ππ3322=+x ，0)(==x f y ，直线67π=x 不是对称轴；选项D ：由0)322cos(2'=+=πx y 得：21)322cos(-=+πx ， 解得πππk x 232322+=+或πππk x 234322+=+，Z k ∈ 从而得：πk x =或ππk x +=3，Z k ∈所以函数)(x f y =在点)23,0(处的切线斜率为132cos 2|0'-====πx y k ， 切线方程为：)0(23--=-x y 即x y -=23．1．对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意A 和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．1．对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意A 和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2及⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π及⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 【答案】B【解析】函数y ＝4sin x 在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．故选B.2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减 B ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增 【答案】C【解析】选C.由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3，所以f (x )先减后增；由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )先增后减；由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，所以f (x )单调递减；由x ∈⎣⎡⎦⎤5π6，π得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤4π3，5π3，所以f (x )先减后增． 3．函数y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π2] B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]【答案】D【解析】选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.4．已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )的最小值为( ) A.12B.14C.34D.22 【答案】A【解析】选A.f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin 2x ＋⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x 2＝54sin 2x ＋34cos 2x ＋32sin x cos x ＝34＋1－cos 2x 4＋34sin 2x ＝1＋12⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≥1－12＝12，故选A. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于一切x ∈R 恒成立，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 【答案】B【解析】选B.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6为函数f (x )的最大值，即2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称 【答案】B【解析】因为()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，即())f x x ϕ=-，其中tan b aϕ=，则sin()14πϕ-=，所以24k πϕπ=-，k Z ∈，所以())4f x x π=+，则())42f x x x ππ++=为偶函数．故选：B ．7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，22ππϕ-<<）的最小正周期是π，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数()y g x =图象过点()0,2P ，则关于函数()g x 的说法不正确的是（ ） A ．2x π=-是函数()g x 一条对称轴 B ．5,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心 C ．()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D【解析】2ω=，()f x 向左平移3π个单位长度后所得到的函数是()22sin 23x x g πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 其中图象过()0,2P ，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为22ππϕ-<<，6πϕ=-，所以()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 因为()2cos 22g ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2x π=-是函数()g x 一条对称轴，故A 正确 因为552cos 042g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以5,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心，故B 正确当3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()23,2x ππ∈--，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确 当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调递减，故D 错误故选：D8.已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－π，－7π12和⎣⎡⎦⎤－π12，0 【解析】由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12和⎣⎡⎦⎤－π12，0. 9.若函数f (x )＝sin (x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为. 【答案】π2⎝⎛⎭⎫只要等于π2＋2k π，k ∈Z 即可 【解析】易知当y ＝sin (x ＋φ)，y ＝cos x 同时取得最大值1时，函数f (x )＝sin (x ＋φ)＋cos x 取得最大值2，故sin (x ＋φ)＝cos x ，则φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故常数φ的一个取值为π2.10.函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是_____. 【答案】⎣⎡⎦⎤－32，3 【解析】B ［y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32， 因为cos x ∈［－1，1］，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3.一、单选题1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数；④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③ 【答案】D 【解析】由于11π12x =时，11ππ3πsin 2sin 11232⎛⎫⨯-==- ⎪⎝⎭，故①结论正确； 由于2π3x =时，2ππsin 2sin π033⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，故②结论正确；由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，令0k =得π5π1212x -≤≤，故③结论正确； 由于3sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度得到π2π3sin 22sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④结论错误.综上所述，正确结论为①②③. 故选：D.2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2sin 22sin f x x x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D ．函数()f x 的图象关于7π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】()()2πsin 22sin sin 21cos 2sin 2cos 21214f x x x x x x x x ⎛⎫=-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是2ππ2=，A 正确；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()π214f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭单调递减，故B 正确；函数2y x =的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到()π212g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故C 错误；当7π8x =时，π22π4x +=，所以()π2114f x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于7π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：C3．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B 【解析】由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数()()sin 20,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin 2y x =的图象C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】D【解析】因为()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ， 因为()f x 的图象过点2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以由五点作图法可知43362πππω⋅+=，得1ω=， 所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，因为2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-为()f x 的图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位后，得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 错误，对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以C 错误，对于D ，sin 2sin 2cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，所以()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以D 正确， 故选：D5．（2022·上海静安·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为非奇非偶函数C ．()f x 在[]0,π上单调递减D ．()f x 的图象关于直线4x π=对称【答案】A【解析】由题得函数的定义域为R ，关于原点对称.()sin()cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以()f x 为偶函数，所以选项A 正确，选项B 错误；当0πx ≤≤时，()πsin cos )4f x x x x =+=+，令322,,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 所以522,,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 令0k =得5,44x ππ≤≤令1k =-得73,44x ππ-≤≤- 所以此时函数的单调递减区间为π[,π]4，所以选项C 错误；=sin πππ4+cos 44f ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎫ ⎭⎭⎛⎪⎝=sin +c 3π3π3os =0ππ4444f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，即()f x 的图象不关于直线π4x =对称，所以选项D 错误. 故选：A6．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()2cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】函数()()()21cos cos 021cos22f x x x x x x ωωωωωω+>++112cos222x x ωω++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0， 所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕB ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈ 【答案】D【解析】因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2p p 轾--犏犏臌单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.8．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．,22k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【答案】D【解析】由图象知，74123T ππ=-，∴T π=，∴2ππω=，2ω=，∴()()2f x x ϕ=+过点7,12π⎛ ⎝，∴72212k πϕππ⨯+=+，26k πϕπ=-，且2πϕ<，∴6πϕ=-，∴()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令2226k x k ππππ-≤-≤，k ∈Z ，即51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 故选：D.二、填空题9．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）函数()5sin 12cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______． 【答案】13【解析】()5sin 12cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51213[sin cos ]136136x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令512cos ,sin 1313ϕϕ==， 所以可得()f x =13[cos sin sin cos ]66x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin 6x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以由正弦函数的性质可知()f x 的最大值为13. 故答案为: 1310．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 【答案】17【解析】由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得2()33k k ωπππ+=∈Z ， 所以61()k k ω=-∈Z .由()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得1253241234ππππωω⨯<-≤⨯，解得618ω<≤，又61()k k ω=-∈Z ，当3k =时，17ω=，则ω的最大值为17，,故答案为：1711．（2022·上海金山·二模）已知向量()()sin2,2cos ,3,cos a x x b x ==，则函数()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________.【答案】,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的单调递增区间：()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，即()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，故()f x 在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______. 【答案】12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题及ππ22x ω-≤≤得()2sin f x x ω=（0>ω）在ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 又函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得203ω<≤ . ()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，所以，1544ω≤<，所以，1243ω≤≤.故答案为：1243⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.1．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()sin()5f x x ωπ=+(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点②()f x 在0,2π)(有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[)510， 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点，分别对应59=,,5222x ππππω+，故①正确． ()f x 在0,2π)(有2个或3个极小值点，分别对应37=,522x πππω+和3711=,5222x ππππω+，，故②不正确．因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229[)510ω∈，，故④正确． 由1229[)510ω∈，，得[0.44,0.49)105ππω+∈ππ，10.492π<π，所以()f x 在(0,)10π单调递增，故③正确． 综上所述，本题选D ．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是( )A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x = 【答案】A【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除B ，故选A .【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；③函数()y f x ==法求三角函数的周期，例如，cos 2y x ===，所以周期242T ππ==. 3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C解析：作出函数sin ,sin ,sin sin y x y x y x x ===+的图象如图所示，由图可知，()f x 是偶函数，①正确，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②错误，4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()cos 3f x x =+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的周期为2n π，n Z ∈，故A 正确；又函数()f x 的对称轴为,3x k k Z ππ+=∈，即3x k ππ=-，k Z ∈，当3k =时，得83x π=，故B 正确；由()0cos 03f x x π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭32x k πππ⇒+=+，所以函数()f x 的零点为,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=，故C 正确；由223k x k ππππ≤+≤+，解得22233k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，而2,2,2233k k ππππππ⎛⎫⎡⎤⊄-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错误． 【点评】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式．（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求()f x 的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可．5．(2015高考数学新课标1理科)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( ) A ．13(,),k 44k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),k 44k k ππ-+∈ZC ．13(,),k 44k k -+∈ZD ．13(2,2),k 44k k -+∈Z【答案】D 【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D ． 6．(2012高考数学新课标理科)已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识05 函数的单调性与最值1. （2022年浙江卷第7题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（） A. 25B. 5C. 259 D. 53【答案】C【解析】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa b b b -====． 故选：C.2. （2022年 新高考1卷第7题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. a c b << 【答案】C【解析】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >， 所以1()(0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.3. （2022年北京卷第14题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求； 若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥ ∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤， 综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x = 【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．函数()22312x x f x --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递减区间是A ．(),-∞+∞B ．(),1-∞C ．()3,+∞D ．()1,+∞ 【答案】D【解析】设t ＝x 2﹣2x ﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f （x ）的单调递减区间． 3．已知函数1()xf x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】B【解析】函数1()xf x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f = 根据指数函数和对数函数的单调性可得：0.50221>=，0.2000.30.31<<=，0.30.3log 2log 01<<，因为函数1()x f x e=在R 上单调递减，且0.50.20.3log 20.23<<， 所以0.20.053.(log 2)(0.23)()f f f >>，即a b c <<. 故选：B 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．已知函数()22cos()(1)sin(),()233x f x x a x a g x x ππ=+-+=-，若()[]0f g x ≤对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1]-∞B ．(,0]-∞C ．1]D ．(,1-∞ 【答案】A【解析】在同一坐标系内画出2231,2,2xy x y y x =+==+的图象，由图象可知，在[]0,1上，223122xx x +≤<+恒成立，即23122x x ≤-<， 当且仅当0x =或1x =时等号成立，()312g x ∴≤<， 设()g x t =，则()(31,02t f g x ⎤≤<≤⎦等价于()0f t ≤， 即()2cos1sin 033t a t a ππ+-+≤， 31,,2332t t πππ⎡⎫≤<∴∈⎪⎢⎣⎭Q ，再设sin13tm m π=≤<，原不等式可化为()212sin 1sin 033t a t a ππ-+-+≤，即()22211210,211m m m a m n a m m +--+-+≤≤=-+，1211m ≤-<，1a ∴≤， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设()g x t =，则原不等式等价于()0f t ≤，再设sin3tm π=，并参变分离求出最值解出实数a 的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题．5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有8()9f x -≥，则m 的取值范围是( ) A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，∴()2(1)f x f x =-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，∴()()37380x x --=（舍），∴173x =，283x =，∴(,]x m ∈-∞时，8()9f x -≥成立，即73m ≤，∴7,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（ ）A ．2()log f x x =B ．()13x f x =-C ．()f x =D ．2()1f x x =-+ 【答案】B【解析】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数()y f x =，若()0f x >且()()0f x xf x '+>，则有（ ）A ．()f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B ．()()11f f ->C ．42x ππ<<时，cos22s (os )(in c )x f ef x x <D ．(0)(1)f <【答案】D【解析】若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又因为()0f x >，与()()f x f x -=-矛盾， 所有函数()y f x =不可能时奇函数，故A 错误； 令()()22ex g x f x =，则()()()()()()222222eeex x x g x x f x f x xf x f x '''=+=+，因为22e 0x >，()()0f x xf x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为增函数， 所以()()11g g -<，即()()1122e 1e 1f f -<，所以()()11f f -<，故B 错误；因为42x ππ<<，所以0cos x <<sin 1x <<， 所以sin cos x x >，故()()sin cos g x g x >，即()()22sin cos 22e sin ecos xx f x f x >，所以()()()22cos sin cos222sin ecos ecos x xx f x f x f x ->=，故C 错误；有()()01g g <，即()()01f <，故D 正确. 故选：D.4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知13e ,(93ln3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】C【解析】令函数ln ()(e)x f x x x=≥，当e x >时，求导得：()21ln 0xf x x '-=<， 则函数()f x 在[e,)+∞上单调递减，又ln 3(3)3a f ==，ln e (e)eb f ==，3333e ln3(3ln 3)e 3()e e 33c f -===， 显然3e e 33<<，则有3e ()(3)(e)3f f f <<，所以c a b <<.故选：C5．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a > 【答案】D【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=->>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增， 由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定， 故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确， 故选：D 6．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈，当12x x <时，都有()()()12122f x f x x x -<-，则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增，又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-，所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<.故不等式解集为()0,2.故选：B二、多选题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数” B ．()e xx f x =在()1,2上是“弱减函数” C ．若()ln x f x x =在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥ D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤ 【答案】BCD【解析】对于A ，1y x=在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误；对于B ，()e x x f x =，()1e x x f x -'=在()1,2上()0f x ¢<，函数()f x 单调递减， ()2e x x y xf x ==，()2220e ex x x x x x y --'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确；对于C ，若()ln x f x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0x f x x -'==，得e x =， ∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立min sin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭， 令()sin x h x x =，()2cos sin x x x h x x -'=，令()cos sin x x x x ϕ=-， ()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()ϕx 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=， ∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， ∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()2cos sin 30g x x x x kx =+'-≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x x F x x+'=>， ∴()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴2233k k ππ≥⇒≥， 综上：213k ππ≤≤，故D 正确. 故选：BCD.8．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当121x x <<时，不等式1221e e 0x x x x -<成立．若e e a b >>，则（ ）A ．e 1e e b b ->B ．e e e aa b b +<C ．e ln b a b a <D ．e ln a ab b >【答案】AD【解析】当121x x <<时，不等式12122112e e e e 0x x x x x x x x -<⇔<，令e (),1x f x x x =>， 则()f x 在(1,)+∞上单调递增，因e>1b >，则ee 1e e ()(e)e e eb b f b f b b ->⇔>⇔>，A 正确； 因e a b >>1，则ee e e ()(e )e e e a a b aa b a f b f b b +>⇔>⇔>，B 不正确； 由e e a>知，1a >，有()()e 1e 1e aa f a f a a >⇔>>⇔>，则ln ln 1a a a a >⇔<， 由选项A 知，e 1b b >，即e ln e ln b b a a b a b a>⇔>，C 不正确； 由e e ab >>得，ln 1b a >>，则ln e e (ln )()e ln ln b aa fb f a ab b b a >⇔>⇔>，D 正确. 故选：AD三、填空题9．（2022·上海长宁·二模）已知函数()f x 满足：()(),01,0x x f x x f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪--<⎩，则不等式()102f x +≥的解集为____．【答案】[)1,-+∞【解析】根据题意可得(),01,01x x x f x x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩，且()f x 为奇函数 当0x ≥时，()11011x f x x x ==-≥++，则()f x 在[)0,∞+上单调递增∴()f x 在R 上单调递增则()12f x =-，即112x x =--，解得1x =- ∴()102f x +≥即()12f x ≥-的解集为1x ≥- 故答案为：[)1,-+∞．10．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =②()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+． 【答案】③④【解析】对于①，()f x =对于②，()2111x f x x x x ==++不单调，不符合题意；对于③，()22222e e e 1e 1221e e e 1e 11e x x x x x x x x xf x ----+-===-++++=单调递增，且()()1,1f x ∈-，则()1f x <，符合题意；对于④，()11e xf x -=+单调递增，且()()0,1f x ∈，则()1f x <，符合题意． 故答案为：③④1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x =【答案】D【解析】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2018·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()12f x x =B ．()3f x x =C ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3x f x = 【答案】D【解析】试题分析：由于x r x r a a a +⋅=，所以指数函数()x f x a =满足()()()f x y f x f y +=+，且当1a >时单调递增，01x <<时单调递减，所以()3xf x =满足题意，故选D ． 考点：幂函数、指数函数的单调性．3．（2019·陕西高考真题（理））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x = 【答案】D【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.4．（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )( )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确． 【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．6．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=++> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.7．(2018北京卷)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．。

函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。

2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。

3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。

4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。

5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。