第三章复变函数的积分

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第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分第10讲复变函数的积分第三章复变函数的积分p69 §3.1复变函数积分的概念教学⽬的：1、理解关于复积分的定义；2、掌握复积分的计算⽅法、熟悉复积分的基本性质；3、注意复积分中值定理与实积分定理的区别；教学重点：复积分的计算⽅法、熟悉复积分的基本性质；教学难点：复积分中值定理与实积分定理的区别；教学⽅法：启发式；教学⼿段：讲解与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的⼀个重要⼯具。

但复积分仍是作为⼀种和的极限来定义的，它的许多性质与实积分既有相同的地⽅也有不同的地⽅，因此，学习时需要加以注意。

§3.1 复变函数积分的概念1. 有向曲线2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法4. 积分性质 1. 有向曲线：0)]('[)]('[],,[)(')('),() ()(:22≠+∈≤≤??==t y t x C t y t x t t y y t x x C 且、设βαβα)1()()()()(:βα≤≤+=t t iy t x t z C0)(')('≠t z t z 连续且，.平⾯上的⼀条光滑曲线z C --光滑或分段光滑曲线约定-C :， ).(因⽽可求长:的⽅向规定C ,,,:为正若终点指定起点开曲线b a b a →;,-→C a b 记作为负则左边。

的内部⼀直在观察者的前进⼀周观察者顺此⽅向沿正⽅向闭曲线C C ,:--2.积分的定义：D z z f w ∈=)()1(设；.)2(的⼀条光滑有向曲线点内点为区域B A D C →B z z z A n AB n ==,,,:)3(10 个⼩弧段任意分划成将⌒；k k kk k z f z z ?∈?-)()4(1ζζ作乘积⌒}{max ,,,)()5(1111k nk k k k k k k nk k k n S z z S z z z z f S ?=?-=??=≤≤--=∑δζ的长度为记作和式⌒)2()(lim 1)(0Iz f nk k k n ∑=?∞→=?→ζδ若如何取⽆论如何分割i C ζ,，?→I Cdz z f B A C z f )(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim )(.,.1--?=∑?=∞→nk k k n Cz f dz z f e i ζ取极限求和取乘积分割→→→说明 ?Cdz z f C )()1(记作若闭曲线==∈baCdt t u dz z f t u z f b a t C )()(),()(],,[:)2(则关。

复变函数课件-第三章复变函数的积分解读

1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z

C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4）积分是在相反的方向上取的。

复变函数积分的性质：

3第三章复变函数的积分3第三章复变函数的积分

1第三章复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。

解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。

同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。

§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。

今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。

在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。

定义3.1.1 复变函数的积分设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。

在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。

在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。

复变函数论钟玉泉第三章

1 2
作和式 Sn f ( k ) ( zk zk 1 ) f ( k ) zk ,
k 1 k 1
A
o
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1

记 max{sk }, 当 n 无限增加且 0 时,
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
2
2.积分的定义: 设函数 w f ( z ) 定义在区域
D 内, C 为区域D 内起点为 A 终点为 B的一条光点为A z0 , , z k 1 , z k , , z n B,
n n
滑的有向曲线 , 把曲线 C任意分成 n个弧段 , 设分 y
在每个弧段zk 1 z（ k 1,2, , n)任取一点 k ,
下式两端极限存在 ,
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
n
在形式上可以看成是 f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到: C f ( z )dz (u iv )(dx idy ) udx vdy i vdx udy. 5
12
第二节柯西积分定理
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f ( z ) z 在复平面内处处解析 ,
此时积分与路线无关.
1 , 观察上节例4, 被积函数当n 0 时为 z z0
它在以 z0 为中心的圆周C 的内部不是处处解析的 , 1 此时 dz 2i 0. c z z 0
0

复变函数的积分及其性质

从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为

C
f ( z )dz
5
注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
12
例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所连接的折线.
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]

复变函数03

若C是闭曲线，沿C正向的积分C f ( z )dz
5
定理
设函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在(逐段)光滑
曲线C上连续，则 f(z)沿C可积，且

C
f ( z )dz u( x , y )dx v ( x , y )dy
C
i u( x , y )dy v ( x , y )dx
C
i u( x , y )dy v ( x , y )dx
C
两个曲线积分和路径无关，必有
u v u v , y x x y
而这个方程又称为C－R方程，也是函数 P Q C P( x, y)dx Q( x, y)dy y x 解析的充要条件。将其推广，可得
25
即C1、C2是D内具有相同起点和终点的任意两条曲线

C1
f ( z )dz f ( z )dz
C2
复合闭路定理柯西定理可以推广到多连通区域的情形. 下面先给出复合闭路的定义：
26
复合闭路设C是一条简单正向闭曲线； C1, C2, …,Cn是C内部的正向简单闭曲线，他们互不相交也互不包含； C以及C1, C2, …,Cn围成一个有界多连通区域D. D的边界曲线 C C1 C2 Cn 称为复合闭路. 的正向: 外边界逆时针, 内边界顺时针.
k 1
i [v ( k , k )x k u( k , k )yk ].
k 1
n
7
由于f ( z )在C上连续，从而u, v在C 上连续，当 0时，有m axx k 0
1 k n
及 m axyk 0.于是上式右端极限存在，

复-第三章复变函数的积分作业题

∫ ∫
x
0 x
v y
px
dx +
y=0
∫
y
0
v dy + c x x
px
0
e dx
∫
y
0
pe
sin y dy + c (cos y 1) + c
1 = ( e px 1) + pe p
px
1 解: u = ( e px 1 ) + pe px (cos y 1 ) + c p 1 1 px px = ( p ) e + pe cos y + c , p p 当 p = ± 1时 u = pe f ( z ) = u + iv = pe
2
7.沿指定曲线的正向计算下列各积分: ez 1) ∫C z 2 dz , C : z 2 = 1; 解:根据柯西积分公式
∫
C
f (z) dz = 2πif ( z 0 )得 z z0
ez dz = 2πi e z = 2πie 2 ∫C z 2 z = z0 = 2 1 2) 2 ∫C z a 2 dz , C : z a = a; 解:因 a > 0, 被积函数的奇点 : z = a在 C 内, z = a在 C 外,根据柯西积分公式得
∫
C
it 2π 2e 2π z it dz = ∫ 2ie dt =∫ 2idt =4πi 0 0 z 2
2)C为正向圆周z = 4.由柯西积分公式: f ( z) ∫C z z0 dz = 2πi f ( z0 ) 得∫
C
z z zz 4 dz =∫ dz =∫ dz =∫ dz =8πi z =4 z z z =4 z z z =4 z z

《复变函数》第3章

§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复变函数（第四版）
第三章复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理基本定理的推广－复合闭路定理原函数与不定积分柯西积分公式解析函数的高阶导数解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i

2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
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n
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复变函数论第三版钟玉泉PPT第三章

k 1
k 1
o
1 A
2
z1
z2
C zn1
k zk zk 1
x
这里 zk zk zk1 , sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为函数f (z) 沿曲线C
n
的积分, 记为 C f (z)dz
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
C
即
C1
f (z)dz
AA
AA
f (z)dz 0,
BB
BB
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
C1
17
C
C1
复变函数
如果我们把这两条简单闭曲线C 及 C1 看成一条复合闭路, 的正方向为:
xdx ydy i
C
C
ydx
xdy
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的
曲线,
zdz (3 4i)2 / 2.
C
例2 计算 z dz, 其中C 为 : 圆周 z 2.
解积分路径C 的参数方程为 z 2ei (0 2π ),
z dz 2π 2 2iei d ( 因为 z 2 ) dz 2iei d
C 及 C1 为 D内的任意两条简
C
单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
C 及 C1 为边界的区域D1
D1
全含于D.
︵︵D
作两段不相交的弧段 AA 和 BB,

复变函数答案钟玉泉第三章习题全解

即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy

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F
f ( z )dz f ( z )dz
F
BB

f ( z )dz 0
31
f ( z )dz
E
BB
f ( z )dz f ( z )dz
y
zk ,, zn1 , zn B,
把曲线C分割为n个小段.
o
A z z1 z2
0
C z znD n 1
zk 1 zk
B
x
5
在每个小弧段 zk 1 zk k 1,2,, n 上任取
一点 k ( k 1,2,, n), 做和数
S n f ( k )zk ,
k 1
C
C
n
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy .
u式上可以看成
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
注意1 定理中的C可以不是简单曲线. (柯西积分定理) 注意2 若曲线C是区域 B 的边界1 , 函
2i , n 0, dz n+1 0 , n 0 . (z z ) 0 z-z 函数 f0(=r z)在B内解析 , 在闭区域 B B C上连
C
B

续, 则注意3

C

C

C
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx u
( v ) u x y dxdy 0, C udx vdy D u v x y dxdy 0. C vdx udy 24 D
dz 例 2 计算积分 n1 (n是整数), ( z z0 ) C
其中C是圆周: z z0 r ( r 0) 的正向.
y
z
解积分路径的参数方程为
z z0 re i
(0 2π ),
o
0 z

r
C

0
1 n 1 dz ( z z0 )
i
x
2π
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y ( t )dt .

f z ( t ) z ( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义
k 1 n
其中， zk zk zk 1
k 1,2, , n .
记sk为弧zk 1 zk的长度
令 maxsk .
1 k n
y
z0
1 2
k z k
zk 1
C z zn n 1
Z
z1 z2
o
x
6
如果分点的个数无限增多，并且极限
lim S n lim f ( k )zk
C
f ( z )dz 0
说明: 该定理的主要部分是
Cauchy 于1825 年建立的,
C
B
它是复变函数理论的基础.
23
P Q 设 P ( x , y ), Q( x , y ) 以及 , ,在光滑证明根据定理 1 y x 或按段光滑的闭曲线 C 围成的闭区域 B 连续 , 则 f ( z )dz ud x v设 dy i v d x u d y C是光滑(或可求长. )的有向曲线
z2
积分值可能与积分路径有关, 所以记 C f ( z )dz .18
3 积分的性质
(1) (2) ( 3)

C
f ( z )dz
C
f ( z )dz;
kf ( z )dz k f ( z )dz (k是复常数); C C
C [ f ( z ) g( z )]dz C f ( z )dz C g( z )dz;
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z )为实值函数，那么这个积分就是定积分.
7
C
f ( z )dz
2 积分存在的条件及计算方法
定理 1 设C是光滑(或可求长)的有向曲线，如果 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C的区域D内连续，则并且
n
f (
k 1
n
k
) z k u( k ,k ) iv( k ,k ) ( x k i y k )
[u( k ,k )xk v ( k , k )yk ]
k 1 n
定义
k 1
u,v连续取极限
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
第三章复变函数的积分
§2.1 复变函数积分的概念 §2.2 Cauchy-Goursat基本定理 §2.3 基本定理的推广-复合闭路定理 §2.4 原函数与不定积分 §2.5 柯西积分公式 §2.6 解析函数的高阶导数 §2.7 解析函数与调和函数的关系
1
§3.1
1 2
复变函数积分的概念
积分的定义积分存在条件及计算方法
i 2π in ire e d , d n n1 i ( n1) r 0 r e
15
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
y
z
0 z
o

r
x
C
i 2π 1 n (cos n i sin n )d 0. n 1 dz ( z z0 ) r 0
k 1
其中, sk 是 zk 与 zk 1两点之间弧段的长度.
根据积分定义，令 0, 即得性质(4).
20
例 4 设C为从原点到点3+4i的直线段,试求积分
1 C z idz 绝对值的一个上界.
21
§2 柯西-古萨(CAUCHY-GOURSAT) 基本定理
22
柯西-古萨基本定理设f (z)是单连通区域 B上的解析函数，那么函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零：
0 0
k 1 n
存在, 则称该极限值为函数 f ( z ) 沿曲线C的积分, 并记作 C f ( z )dz , 即
f ( z )dz lim f ( k )zk lim f ( k )zk .
0
k 1 n k 1 n n

C
如果C是闭曲线，经常记作
定理中B是单连通区域的假设不可缺少. 参见例2
26
C
f ( z )dz 0
补例计算积分
1 dz 2z 3 z 1
3 在 z 2 上解析,
解因为函数 1 f (z) 2z 3
y
所以根据Cauchy-Goursat 基本定理, 有 1 dz 0. 2z 3 z 1
(4) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则

C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
19
估值不等式
事实上,
f (
k 1
n k 1
n
k
)zk f ( k ) zk
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
30
F
C
F
D1
D
A
A E
C1 C
B
B
E
AEB BE A A

f ( z )dz 0
=
f ( z )dz f ( z )dz
E AA
AAF BBFA
f ( z )dz 0
=
f ( z )dz
E
BB
AA

f ( z )dz

f ( z )dz
其中C 取正向 u . v u v 0, 并且 0. y x x y 由Green公式
Q f ( P z u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C Pdx Qdy ( ) )dxdy 如果因为f (z)解析 , 所以u(D x,y )x 和v (x y ,y)在B内可微, 且 C 区域D内连续，则 C f ( z )dz 存在，
u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y(t )] y(t ) dt
v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y( t )dt .

i
α
f z ( t ) z( t )dt
3
积分的性质
2
1 积分的定义
曲线的方向设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 B 设曲线C的两个端点为A与B，
若把从A到B的方向作为C的正向那么B到A的方向就是C的负向，记作Cˉ

C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k

第三章复变函数的积分

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