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第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法与积分法是研究函数性质的重要方法。
同样，在复变函数中，积分法也跟微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数积分的概念一、复变函数的积分设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。
若选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C 理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。
设曲线C 的两个端点为A 与B ，如果从A 到B 的方向作为C 的正方向，那么从B 到A 的方向就是C 的负方向，并把它记作-C 。
在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点。
除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。
关于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P 顺此方向沿该曲线前进时，临近P 点的曲线内部始终位于P 点的左方。
与之相反的方向就是曲线的负方向。
若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t （2.1） t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义2.1 设函数)(z f w =定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为：B z z z z z A n n ==-,...,,,1210 在每个小弧段上任取一点k ζ（图3.1），作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ其中1--=∆k k k z z z ，记=∆k s 的长度，}Δ{max 1k nk s δ≤≤=。
当n 无限增加，且δ趋于零时，如果不论对C 的分法及k ζ的取法如何，当n S 有唯一极限，那么称这个极限值为函数)(z f 沿曲线C 的积分，记作∑⎰=→=nk k kδCz ζf dz z f 1Δ)(lim )( （2.2）图2.1C 称为积分路径，⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-C dz z f )(表示沿C的负方向的积分。
Anhui University 在上一章学习了复变函数，重点介绍了解析函数的许多性质，这些性质都是在可导和可微的基础上得出的。
第2章复变函数积分()(,)(,) 若函数在区域内解析则有：f z u x y iv x y D =+1. 解析函数的调和性：解析函数的实部与虚部均满足二维拉普拉斯方程：（由C-R 条件可证明）。
220,0.xx yy xx yy u u u u v v v v ∆≡∇=+=∆≡∇=+=2. 解析函数的共轭性：解析函数的实部与虚部由C-R 方程联系，称为解析函数的共轭性。
具体说只要知道解析函数的实部或者虚部就可求得解析函数。
3. 解析函数的实部与虚部是彼此相互正交的曲线。
0),(),(=∇⋅∇y x v y x u为了深入理解复变函数，本章用积分理论来分析复变函数积分。
基本内容：1、掌握复积分的概念、性质和计算方法；2、掌握解析函数的基本定理－Cauchy定理及其应用；3、掌握解析函数的基本公式－Cauchy公式及其应用2.1 复数函数积分一. 复积分的定义1max 0()lim ()k n k k n C k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫记作：()w f z l =为被积函数，为积分路径。
二. 复积分存在的条件1max 0()lim ()k n k kn l k z f z dz f z ζ→∞=∆→=∆∑∫由上式可知：一个复积分的实质是两个实积分的和。
实积分存在的条件：(,)(,)分段光滑，，在上连续l u x y v x y l因此复积分存在的条件：分段光滑，在上连续。
()l f z l注1：所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线。
注2：边界的正方向：规定当观察者沿曲线边界前进时，所围的区域始终在观察者的左手边，则前进的方向为正方向。
rzz<−单连通区域Rzzr<−<复连通区域正方向正方向三. 复积分的性质(1)()d ()d l lf z z f z z −=−∫∫反转积分路径：(2)()d ()d ;() l l kf z z k f z z k =∫∫为复常数(3)[()()]d ()d ()d ;l l l f z g z z f z z g z z ±=±∫∫∫121()(),,k n n k L l f z dz f z dz n l l l ==∑∫∫"（4），若曲线L由段线段组成被积函数的线性可叠加性积分路径的可叠加性(5)|()||()|||L L f z dz f z dz ≤⋅∫∫(6) , () () ()d ()d .设曲线的长度为函数在上满足那么l l l L f z l f z M f z z f z s ML ≤≤≤∫∫积分估值定理四. 计算方法1. 用定义计算2. 通过计算实积分结果表明：被积函数与积分路径有关。
第二章复变函数的积分基本要求：1．正确理解复变数函数路积分的概念；2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义；3．理解并会熟练运用柯西公式。
教学内容：§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。
§2.2 柯西定理。
柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。
§2.3 不定积分*。
原函数。
§2.4 柯西公式。
柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。
（模数原理及刘维定理不作要求）本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
§2.1 复变函数的积分（一）复变函数的积分（简称复积分）1.复积分的定义曲线l 是分段光滑曲线（起点0()A z ，终点()n B z ）；()f z 在l 上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。
把曲线l 分成n 小段，1k k z z -→是第k 小段，在1[]k k z z --上任取一点k ζ，求和111()()=()nnkk k k k k k f z z f z ζζ-==-∆∑∑，当n →∞而且每个k z ∆都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个k ζ的选取无关，则这个和的极限称为函数()f z 沿曲线l 从A ，终点B 的路积分，记作()lf z dz ⎰，即max 01()lim()k nkk lz k f z dz f z ζ∆→==∆∑⎰(2.1.1)2. 复积分的计算方法复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。
即：()(,)(,)f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+(,)(,)(()[(,),(,)]())(,)llllu x y dx v x y d f z dz u x y iv x y dx idy i y v x y dx u x y dy-+=++=+⎰⎰⎰⎰3. 复积分的性质复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如(1)常数因子可以移到积分号之外；()d ()d llcf z z c f z z =⎰⎰(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；[]1212()()......()()().......()nnll l l f z f z f z dz f z dz f z dz f z dz +++=+++⎰⎰⎰⎰(3)反转积分路径，积分变号；()()l lf z dz f z dz +-=-⎰⎰(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。
