高等数学(同济大学)课件上第1_4无穷小无穷大

定义1. 若 则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
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1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线

（1）
lim x2 ln 1
x
3 x2 ；
解：当 x
ln 1
时，
3 x2
~
3 x2
，所以
lim x2 ln 1
x
3 x2
lim x2
x
3 x2
3
（2）
3 lim
sin x x
3x
x 0 1 cos x
解：
lim
x0
3
sin x x 1 cos x
3x
..
1 sin x x 1
lim 3x
3
x 0 1 cos x
例５
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x x0 (2x)3
0.
错
解 x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x3
例４ 求 lim (x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)

无穷小的性质(运算法则)
时, 有
性质1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
03
例如，
02
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
01
性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
4
时为无穷小量，
6
时为无穷小.
3
成立，
则称函数
定义6. 若
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说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
为
(或 )
则
时的无穷小 .
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第二节 极 限
CONTENTS
5
无穷小与无穷大
2
无穷大
1
第一章
4
无穷小
3
无穷小与无穷大的关系
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
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（一） 无穷小
为无穷小 ;
1.无穷小与无穷大的定义
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内容小结
无穷小与函数极限的关系
Th7
无穷小与无穷大的关系
Th8
无穷小的性质
定理 7 ( 无穷小与函数极限的关系 )

3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及 是当x 时的两个无穷小,
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
又设是当x x 0时的无穷小,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M
当x x Байду номын сангаас时, u 为无穷小.
lim P ( x )
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3,)